一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】對于A，，故A錯誤，對于B，或，所以，故B錯誤，對于C，，但，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：D2.已知，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由題意可知，，所以，而在方向上的投影向量為.故選：D3.已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，當(dāng)取最大值時，的最大值為（）A.63 B.64 C.71 D.72【答案】C【詳解】因?yàn)槭嵌ㄖ?，要使?dāng)取最大值時也取得最大值，需滿足各項(xiàng)盡可能取到最小值，又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，即是首相為，公差為的等差數(shù)列，其中；的前項(xiàng)和為；當(dāng)時，；當(dāng)時，；又因?yàn)?，所以的最大值為，此時，取得最大值為.故選：C.4.我市某中學(xué)高二學(xué)生到一工廠參加勞動實(shí)踐，欲將一個底面直徑為，高為的實(shí)心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面上，若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，側(cè)面積為，由題意得，，，所以，在中，因?yàn)?，所以，即，解得，所以圓柱的側(cè)面積為，又，所以時，取得最大值為，故圓柱的最大側(cè)面積為，故選：C.5.已知，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，則，可知，，則，又因?yàn)?，可得，所?故選：D.6.已知拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，則（因?yàn)椋?，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程是，拋物線方程是，又軸，，所以縱坐標(biāo)為2，設(shè)，，，兩式相減得，所以，又，，即，所以圓半徑為，圓方程為．故選：A．7.已知函數(shù)（ω＞0），若f（x）在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】函數(shù)，因?yàn)椋?，由于函?shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點(diǎn)和2條對稱軸，根據(jù)函數(shù)的圖像：所以，整理得：．故選：D．8.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)，由，則，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∵，，∴即，設(shè)，由，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，∴，∴，綜上：，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則的最小值為1【答案】ACD【詳解】對于A，設(shè)，則，故A正確；對于B，令，滿足，故B錯誤；對于C，設(shè)，，則，所以，故C正確；對于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.存在實(shí)數(shù)使得B.當(dāng)時，有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心D.若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，則【答案】AC【詳解】對A，根據(jù)已知的導(dǎo)函數(shù)，令則，令，，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理存在實(shí)數(shù)使得，故A正確；對B，根據(jù)題意知，令得到，在和上，所以在和單調(diào)遞增，在上，所以在單調(diào)遞減，是的極大值，且的極大值大于極小值，，，所以在定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，故B錯誤；對C，令，該函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，是的對稱中心，將向下移動兩個單位得到的圖像，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；對D，過的切線的切點(diǎn)為，切線斜率為，則切線方程為，把點(diǎn)代入可得，化簡可得，令，則，令可得或，在和上大于零，所以在和上單調(diào)遞增，在上小于零，所以在單調(diào)遞減，要使有兩個解，一個極值一定為，若函數(shù)在極值點(diǎn)時的函數(shù)值為，可得，所以若函數(shù)在極值點(diǎn)時的函數(shù)值為，可得，所以，故D不正確.故選：AC11.已知的面積為，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項(xiàng)正確；由誘導(dǎo)公式，，展開可得，即，下證.方法一：分類討論若，則可知等式成立；若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導(dǎo)出，則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：邊角轉(zhuǎn)化時，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負(fù)會有兩個鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，則，可同方法一種討論的角度，推出，方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：，可知同時為或者異號，即，展開可得，，即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.由，由，則，即，則，同理，由上述推導(dǎo)，，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項(xiàng)正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，，D選項(xiàng)錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以是等差數(shù)列．因?yàn)?，所以的公差為，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：13.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所?故答案為：14.已知三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球表面上，，，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為__________；若，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】①.##②.##【詳解】如圖，根據(jù)題意，，，，，，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則是外接圓的圓心，則平面，則，，，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，即，.由，由于，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，即，兩式相減解得，代回上式可得，所以，即，又平面的一個法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，所以三棱錐的體積最大值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，，故，，即，又，則．【小問2詳解】由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，所以，因?yàn)槭瞧椒志€，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，則，所以.16.已知三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，，，平面與底面的交線為直線．（1）若，證明：；（2）若三棱錐的體積為為交線上的動點(diǎn)，若直線與平面的夾角為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】由題意：，∴分別為棱的中點(diǎn)，∴，．為等邊三角形，為中點(diǎn)，．又平面，平面，平而；【小問2詳解】如圖，在底面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線，即為平面與底面的交線，（因?yàn)?，則，A為平面與底面的公共點(diǎn)，故為平面與底面的交線）由題意，可得，即，故底面的面積為，設(shè)底面上的高為，則，于是，注意到側(cè)面是邊長為2的正三角形，取中點(diǎn)，連接，則，從而即為三棱錐的高，故平面，取中點(diǎn)，連接，則，于是，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，設(shè)平面的一個法向是為，則，即，解得，即，由線面所成角的定義可知.17.已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）存在滿足題意，理由見解析.（3）.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處切線方程為，即.【小問2詳解】令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價于在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍.19.“熵”常用來判斷系統(tǒng)中信息含量的多少，也用來判斷概率分布中隨機(jī)變量的不確定性大小，一般熵越大表示隨機(jī)變量的不確定性越明顯．定義：隨機(jī)變量對應(yīng)取值的概率為，其單位為bit的熵為，且．（當(dāng)，規(guī)定．）（1）若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為，正面向上的次數(shù)為，分別比較與時對應(yīng)的大小，并根據(jù)你的理解說明結(jié)論的實(shí)際含義；（2）若拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，設(shè)表示正面向上的總次數(shù)，表示第次反面向上的次數(shù)（0或