平面向量中的范圍與最值問題

目錄

01重點(diǎn)解讀..................................................................................................................................................2

02思維升華..................................................................................................................................................3

03典型例題..................................................................................................................................................6

題型一：定義法.............................................................................................................................................6

題型二：基底法.............................................................................................................................................8

題型三：萬能建系法..................................................................................................................................11

題型四：極化恒等式..................................................................................................................................14

題型五：等和線、等差線、等商線..............................................................................................................17

題型六：矩形大法、平行四邊形大法.........................................................................................................19

題型七：三角向量不等式法.......................................................................................................................22

題型八：向量投影法..................................................................................................................................24

04課時(shí)精練...............................................................................................................................................26

1

平面向量中的范圍與最值問題是高考熱點(diǎn)與難點(diǎn)，常涉及向量的模、數(shù)量積、夾角等。解題關(guān)鍵在于建立函

數(shù)關(guān)系或利用數(shù)形結(jié)合，常用方法有定義法、坐標(biāo)法、基底法及幾何意義法，需靈活運(yùn)用二次函數(shù)、不等式等知識(shí)

求解。

2

技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標(biāo)法

第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

技巧二．極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：

平行四邊形模式：AC|2-|DB|2[

①幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的

1．

4

三角形模式

@

3

技巧三．矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證

明：OA2+OC2=OB2+OD2．

技巧四．等和線

1、向量等和線的定義

——→—→—→—→——→—→

給定一組基底{OA，OB}，則平面內(nèi)的任一向量OP都唯一分解，記為OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)．

若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k為定值，反之也成立，我們把直線AB及與直線

AB平行的直線稱為等和線．

如圖k其中l(wèi)為與AB平行的直線，點(diǎn)P在l上，OP交AB于點(diǎn)Q，A1，B1分別為

OA，OB與l的交點(diǎn))

注意：等和線的位置影響k的取值：

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；

(2)當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1)；

(3)當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k∈(1，+∞)；

(4)當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)O時(shí)，k=0；

(5)當(dāng)?shù)群途€與直線AB在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，k<0；

解題關(guān)鍵：先找到系數(shù)和等于1的等和線，把它和基底起始點(diǎn)的距離定義為1倍遠(yuǎn)，看目標(biāo)等和線的遠(yuǎn)近和

方向，離起始點(diǎn)越遠(yuǎn)，k值的絕對(duì)值越大，幾倍遠(yuǎn)，k的絕對(duì)值就是幾，正負(fù)由方向決定．

(方向定正負(fù)，倍數(shù)定k值)．

2、向量等和線的證明

—→——→—→

如圖，已知點(diǎn)P在與AB平行的直線l上，且OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)．

—→—→—→

記直線OP與直線AB相交于點(diǎn)Q，因?yàn)锳，Q，B三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ/，μ/使得OQ=λ/OA+μ/OB，

則根據(jù)向量共線定理可知=1，記

—→——→——→—→

則OP=kOQ=kλ/OA+kμ/OB，于是λ+μ=kλ/+kμ/=k，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有=

=k，于是λ+μ=k恒成立．

技巧五．平行四邊形大法

1、中線長(zhǎng)定理

—→2

2|AO|=|AB|2+|AD|2-|DB|2

2、平行四邊形大法

—→—→

|PA|2+|PC|2-(|PD|2+|PB|2(==2AB.AD

4

技巧六．向量對(duì)角線定理

5

題型一：定義法

→→→→

1.已知向量,b滿足=1，|b|=2，則+b|+-b|的最小值與最大值的和是()

A.4-25B.4+25C.25D.4

【答案】B

→→→

【解析】設(shè)向量,b的夾角為θ,則.b=b|cosθ=2cosθ,

→→2→→

-b|=-b(=2+b2.b=、5-4cosθ,

→→

+b|+-b|=、5+4cosθ+、5-4cosθ,

令y=、5+4cosθ+、5-4cosθ,可得y

→→→→

則+b+-b=+b+-b=，

||(max25||(min4

→→

+b|+-b|的最小值與最大值的和是4+25.

故選：B.

→→→→

2.已知平面向量,b,滿足=4，|b|==2，.b=+b-的最大值為()

A.6B.23+4C.26+2D.43

【答案】D

→→

【解析】∵cosb〈∈[0,π[，∴,b〈=，

→

則可設(shè)=(4,0(，b=(1,3(，=(2cosθ,2sinθ((0≤θ<2π(，

→

∴+b-=(4+2cosθ,2sinθ(.(1-2cosθ,3-2sinθ(=4-6cosθ-4cos2θ+23sinθ-

4sin2θ=23sinθ-6cossin

則當(dāng)，即時(shí)，sin(θ-取得最大值1，

→

+b-取得最大值43.

故選：D.

→

→→→→的最大值為

3.已知,b是兩個(gè)非零向量，且-b|=b|=2，則b+|b()

A.2B.22C.32D.2

6

【答案】B

→→→→

【解析】由題意，令-2b=，b=-=b|=2+=-b|=2，

-=+|，由向量加法、減法的幾何意義可得⊥,

222

+=+=4，

→→22

b|+|b|=+≤2(+(=22==2，且⊥時(shí)取等號(hào)，

→→

b|+|b|的最大值為22.

故選：B.

—→

4.(2025·黑龍江大慶·一模)如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP.

—→——→

(AB+AC(()

A.為定值16B.為定值32C.最大值為32D.與P的位置有關(guān)

【答案】B

【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD，

因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以AD⊥BC，又AB=AC=5,BC=6，

所以AD=、52-32=4.

—→—→——→—→——→—→——→——→2

所以AP.(AB+AC(=2AP.AD=2|AP|·|AD|cos∠PAD=2|AD|=32.

—→—→——→

所以AP.(AB+AC(為定值32.

故選：B.

——→

5.(2025·北京豐臺(tái)·一模)在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為△ABD外接圓的圓心，2DO

—→—→——→—→——→—→

=DA+DB，且|DO|=|DA|=2，則DOE的最大值為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

—→—→—→

【解析】由2DO=DA+DB可知O為AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為△ABD外接圓的圓心，

—→—→

所以△ABD為直角三角形，DA⊥DB，所以DA·DB=0，

——→—→—→

又因?yàn)閨DO|=|DA|=2所以|AB|=4所以DB=23，

—→—→

又因?yàn)镋為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，所以BE=λBC,λ∈[0,1[

7

——→—→—→—→—→—→—→—→—→—→

DOE=(DA+DB).(DB+BE)=(DA+DB).(DB+λBC)

—→—→—→—→—→2—→2—→2—→2

=(DA+DB).(DB-λDA)=(DB-λDA)=(|DB|-λ|DA|(

=((23)2-4λ)=(12-4λ)=6-2λ,

因?yàn)棣恕蔥0,1[，所以-2λ∈[-2,0[即6-2λ∈[4,6[

—→——→

所以DO.DE的最大值為6.

故選：C

題型二：基底法

—→—→—→—→—→

6.在△ABC中，∠A=60°,|BC|=3,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若BF=BC，則AE.AF

的最大值為．

【答案】

【解析】

如圖，設(shè)△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，

—→—→

因點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BF=BC，∠A=60°,

—→——→——→—→——→

則AE=(AD+AC)=AB+AC，

—→—→—→—→—→—→——→—→—→——→

AF=AB+BF=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+AC，

—→—→—→——→—→——→—→—→——→——→

則AE.AF=AB+ACAB+AC(=AB2+AB.AC+AC2

=c2+bccos60°+b2=(b2+c2)+bc，

—→

因|BC|=3，由余弦定理，b2+c2-2bccos60°=a2=9，即b2+c2=9+bc，

—→—→

于是AE.AF=(9+bc)+bc=+bc，

因b2+c2=9+bc≥2bc，可得bc≤9，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)等號(hào)成立，

—→—→

此時(shí)AE.AF=+bc≤+×9=，

—→—→

即當(dāng)b=c=3時(shí)，AE.AF的最大值為.

故答案為：.

7.(2025·天津河北·二模)如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上.若

8

—→—→—→——→—→——→—→—→—→

BP=PC，CQ=2QD，則用AB和AD表示PQ=；若∠PAQ=45°,則AP.AQ的最小值為

.

—→——→

【答案】-AB+AD12(2-1(

—→—→—→——→—→—→——→——→—→—→

【解析】由BP=PC，CQ=2QD，則BP=BC=AD，QD=CD=BA，

—→—→—→——→——→—→—→——→—→—→——→—→——→

由PQ=AQ-AP=(AD+DQ)-(AB+BP)=AD+AB-AB-AD=-AB+AD，

若∠BAP=θ∈[0,φ[且tan(，則∠DAQ=-θ,

—→

所以|AP|=，，

—→—→—→—→

所以AP.AQ=|AP||AQ|cos∠PAQ=××=

==，而2θ+∈,2φ+，2φ+>，

—→—→

所以AP.AQ的最小值為=12(2-1).

—→——→

故答案為：-AB+AD；12(2-1(

8.(2025·上海黃浦·三模)設(shè)Ox、Oy是平面內(nèi)相交成α(0<α<π(的兩條射線，e、e分別是與Ox、Oy同

—→

向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系xOy為α-仿射坐標(biāo)系，在α-仿射坐標(biāo)系中，若OP=+ye，則記

—→—→

OP=(x,y(.已知在如圖所示的-仿射坐標(biāo)系中，B、C分別在x軸、y軸正半軸上，且|BC|=2，點(diǎn)

—→—→

D、E、F分別為OC、BD、BC的中點(diǎn)，則OE.OF的最大值為()

【答案】A

【解析】由題意，=,e?=,則e.ecos=，

—→——→—→——→—→

設(shè)OB=,OC=,則BC=OC-OB=-，

—→

則|BC|2-2=n2e2-.e+m2e2=m2+n2-2mn=4，

9

2

整理得：(m-n(+n2=4，不妨設(shè)m-n=2cosθ,n=22sinθ,則m=2cosθ+2sinθ.

因點(diǎn)D、F分別為OC、BC的中點(diǎn)，

——→——→—→—→——→

則OD=OC=e，OF=OB+OC=e+e，

—→—→——→

同理可得OE=OB+OD=e+e，

—→—→

故OE.OF=e+ee+e=(2m2e2+.e+n2e2)

=2m2+mn+n2(=2m2+(m2+n2-4)+n2=(7m2+5n2-12)，

將m=2cosθ+2sinθ,n=22sinθ代入上式，

—→—→

可得：OE.OF=[7(2cosθ+2sinθ)2+5(22sinθ)2-12]=1+sin2θ+sin2θ

=1+sin2θ+(1-cos2θ)=sin2θ-cos2θ+=sin(2θ-φ)+，

—→—→

其中φ是銳角，且tanφ=，故OE.OF的最大值為.

故選：A.

——→—→—→

9.如圖所示，點(diǎn)O為正八邊形的中心，已知|OA|=1，點(diǎn)P為線段BC,CD上一動(dòng)點(diǎn)，則AP.AB的范圍是

()

A.[1，2[B.[2-2,2[C.[2-2,1[D.[2-2,1[

【答案】D

——→

【解析】點(diǎn)O為正八邊形的中心，|OA|=1，故∠AOB=360°÷8=45°,

取AB的中點(diǎn)T，連接OT，則OT⊥AB，∠AOT=∠BOT=22.5°,

其中sin，

-

故AT=OAsin22.5°=22，AB=2AT=2-2，

2

故BC=AB=2-2，

其中∠CBS=360°÷8=45°,CD⊥AB，

當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P過PH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，

則BS=BCsin45°=22×=，AS=AB+BS=22+，

—→—→—→—→—→—→

則AP.AB=AS.AB=|AS|.|AB|=(22+.22

10

=2-2+=2-2+(2-2(=1，

—→—→

由圖象可知，此時(shí)AP.AB為最大值，

—→—→—→—→—→—→

當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP.AB=AS.AB=|AS|.|AB|，

—→—→—→—→

顯然當(dāng)P與B重合時(shí)，AP.AB=|AS|.|AB|取得最小值，

—→22

最小值為|AB|=(2-2(=2-2，

—→—→

所以AP.AB的范圍是[2-2,1[

故選：D

題型三：萬能建系法

——→—→——→——→

10.在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，點(diǎn)M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且AM.BC=0，則AM.CM的

最小值為.

【答案】-4/-0.8

5

AC2+BC2-AB2+-

【解析】在△ABC中，由余弦定理cosC==5516=-3，故C為鈍角；

2AC×CB2×5×55

——→—→

又AM.BC=0，故M點(diǎn)在△ABC底邊BC的高線上，

則以BC所在直線為x軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：

11

又cos∠ACO=-cosC=，則sin∠ACO=，

故OA=AC×sin∠ACO=5×=，OC=AC×cos∠ACO=5×=；

——→——→

則A(0,C,0(,B,0(，設(shè)M(0,m(,m∈R，AM=(0,m-CM=(-,m(，

——→——→2

故AM.CM=m(m-=(m--≥-，當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取得等號(hào)；

——→——→

也即AM.CM的最小值為-.

故答案為：-.

→→→→

11.已知平面向量,。b,。滿足=|b|=.b=2,。--b(=0，則.的最小值是．

【答案】1

→→

b|=2且.b=2，

→→

由點(diǎn)積公式.bb|cosθ?2=2.2cosθ?cosθ=，所以夾角θ=.

→→→

設(shè),0)，因?yàn)閨b|=2，.b=2，設(shè)b=(m,n)，

m2n2=4→

則(，解得m=1,n=±3，不妨取b=(1,3)，

{(2m2

→

設(shè),y)，則-,y)，-b=(x-1,y-3)；

由

22

化簡(jiǎn)得(x-+(y-=1，

即向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以,為圓心，半徑為1的圓；

則.=2x，需在圓上求2x的最小值,

因?yàn)閳A心橫坐標(biāo)為，半徑1，故x的最小值為-1=；

因此2x的最小值為2×=1，即.=2×=1為最小值.

故答案為：1.

—→—→—→

12.在△ABC中，AB=6,BC=8,∠B=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PB=2，則PB.(PA+PC)

的最小值為()

A.-4B.-6C.-8D.-12

【答案】D

【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，AB=6,BC=8,∠B=90°,

12

所以以B為原點(diǎn)，BC,BA所在的直線分別為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,6),B(0,0),C(8,0)，

因?yàn)镻B=2，所以點(diǎn)P在以B(0,0)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π]，

—→—→—→

所以PB=(-2cosθ,-2sinθ)，PA=(-2cosθ,6-2sinθ)，PC=(8-2cosθ,-2sinθ)，

—→—→—→

所以PB.(PA+PC)=(-2cosθ,-2sinθ).(8-4cosθ,6-4sinθ)

=-16cosθ+8cos2θ-12sinθ+8sin2θ

=8-4(3sinθ+4cosθ)

=8-20

=8-20sin(θ+φ)(其中tan，

—→—→—→

所以當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí)，PB.(PA+PC)取得最小值-12.

故選：D

13.(2025·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，∠BAC=90°,AB=4,AC=2,M為BC的中點(diǎn)，P為平面ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且，則()

——→——→

A.|AM+MP|的最大值為25B.的最大值為25

——→—→—→—→

C.AM.MP的最大值為5D.AC.MP的最大值為5

【答案】A

【解析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

所以A(0,0(,M(1,2(,C(2,0(,B(0,4(，設(shè)P(x,y(，

——→—→—→—→—→

所以AM=(1,2(,AC=(2,0(,MP=(x-1,y-2(,BP=(x,y-4(,CP=(x-2,y(，

—→—→

因?yàn)锽P.CP=0，

所以x(x-2(+y(y-4(=0，即x2-2x+y2-4y=0，即(x-1(2+(y-2(2=5，

所以P(x,y(為以(1,2(為圓心，半徑為5圓上一點(diǎn)，

13

——→——→—→——→——→

對(duì)于A，AM+MP=AP=(x,y(，所以|AM+MP|=、x2+y2,幾何意義為P(x,y(到原點(diǎn)的距離，

——→——→

所以|AM+MP|的最大值為P(x,y(到原點(diǎn)的距離的最大值，

最大值為原點(diǎn)到圓心(1,2(距離加上半徑，即(1-0(2+(2-0(2+5=25,故A正確；

——→——→——→——→

對(duì)于B，AC+MP=(x+1,y-2(，|AC+MP|=(x+1(2+(y-2(2,幾何意義為P(x,y(到(-1,2(的距

離，

——→——→

所以|AC+MP|的最大值為P(x,y(到(-1,2(的距離的最大值，

最大值為(-1,2(到圓心(1,2(距離加上半徑，即(1+1(2+(2-2(2+5=2+5,故B錯(cuò)誤；

——→—→

對(duì)于C，AM.MP=x-1+2(y-2(=x+2y-5，令z=x+2y-5，即x+2y-5-z=0，

+1+5|1+4-5-z|

即y=-xz,當(dāng)x+2y-5-z=0與圓相切時(shí)有最值，即=5,

2212+22

——→—→

解得z=±5，所以z的最大值為5，即AM.MP的最大值為5，故C錯(cuò)誤；

—→—→

對(duì)于D，AC.MP=2x-2，因?yàn)镻(x,y(為以(1,2(為圓心，半徑為5圓上一點(diǎn)，

—→—→

所以x的最大值為1+5,所以AC.MP的最大值為2(1+5(-2=25,故D錯(cuò)誤，

故選：A.

題型四：極化恒等式

14.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作

一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒洛三角形中，已知AB=4，P為

—→—→—→

弧AC(含端點(diǎn))上的一點(diǎn)，則PB.(BC-BP)的范圍為()

A.[0,8[B.[1,8[C.[0,43[D.[0,9[

【答案】A

—→

【解析】取BC中點(diǎn)為O，連接PO，顯然|PO|∈[2,23]，

—→—→—→—→—→—→—→—→——→—→—→—→—→

所以PB.(BC-BP)=PB.PC=(PO+OB).(PO+OC)=(PO+OB).(PO-OB)

14

—→2—→2—→2

=PO-OB=PO-4∈[0,8].

故選：A

—→—→

15.已知AB為雙曲線上經(jīng)過原點(diǎn)的一動(dòng)弦，P為圓C:x2+(y-3(2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則PA.PB

的最大值為()

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

——→—→

【解析】如下圖示，OA+OB=，∠POA+∠POB=π,C(0,3)，

—→—→—→——→—→—→—→2——→2

所以PA.PB=(PO+OA(.(PO+OB(=|PO|-|OA|，

—→——→

由圖知：2222且可以同時(shí)取到，

|PO|max=(3+1)=16，|OA|min=(a)=4

—→—→—→——→

所以的最大值為22

PA.PB|PO|max-|OA|min=16-4=12.

故選：D

2

16.已知直線l1:mx+y-m-3=0與l2:x-my+m-3=0相交于點(diǎn)M，線段AB是圓C:(x+1(+

——→——→

(y+1(2=4的一條動(dòng)弦，且|AB|=23，則MA.MB的最大值為()

A.16+42B.30+82C.5+63D.205-1

【答案】B

【解析】依題意得C(-1,-1(，半徑r=2，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)(x,y(，

易知直線l1:mx+y-m-3=0恒過點(diǎn)E(1,3(，

—→—→

直線l2:x-my+m-3=0恒過F(3,1(，且l1丄l2，則ME丄MF，即ME.MF=0，

點(diǎn)M軌跡為圓G:(x-2(2+(y-2(2=2，圓心為G(2,2(，半徑為2，但是去掉點(diǎn)(1,1(，

若點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，位置關(guān)系如圖：

——→——→——→

MA+MB=2MD，連接CD，由|AB|=23，易知|CD|=22-(3(2=1，

15

|CG|=(-1-2(2+(-1-2(2=32，

又點(diǎn)M,D分別為圓G、圓C上的點(diǎn)，

所以|MD|≤|MC|+|CD|=|CG|+2+1=42+1，當(dāng)M在(3,3(處取等號(hào)，

—→——→—→——→

22——→2—→2

——→——→(A+MB(-(A-MB(MD-AB

所以MA.MB==4

44

——→2

=MD-3≤(42+1(2-3=30+82，

—→—→

即MA.MB的最大值為30+82．

故選：B．

17.(多選題)(2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè))圓的相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)

的積相等．如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=1，弦AC，BD均過點(diǎn)P，則下列說

法正確的是()

A.當(dāng)∠ABC=時(shí)，△ABC面積的最大值為43

—→—→

B.OB.OD的取值范圍是[-4,-2[

—→—→

C.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB.CD為定值

D.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值為8

【答案】BC

【解析】

AC

對(duì)于A，當(dāng)∠ABC=時(shí)，由正弦定理=4,AC=23,

sin60°

要使得△ABC面積的最大，則在圓上，B到AC的距離要最大，

此時(shí)BO⊥AC即△ABC為等邊三角形，

所以△ABC面積的最大值為1×23×23×3=33，

22

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若M為BD中點(diǎn)，連接OM，則

—→——→——→——→——→——→

OB.OD=(OM+MB(.(OM+MD(

16

——→2——→—→——→——→——→——→2——→2——→2

=OM+OM.(B+MD(+MB.MD=OM-(4-OM(=2OM-4，

——→2—→2——→——→

由題意0≤OM≤OP=1，則OA.OC∈[-4,-2[，故B正確；

—→—→—→—→

對(duì)于C，若AC⊥BD，故PB.CP=AP.PD=0，

—→—→—→—→—→—→—→—→—→—→—→—→—→—→

則AB.CD=(AP+PB(.(CP+PD(=AP.CP+PB.CP+AP.PD+PB.PD，

—→—→—→—→

又PA.PC=-|PA|PC|=-|FP||PE|

=-(|OF|-|PO|((OF|+|PO|(=|PO|2-|OF|2=-3，

—→—→—→—→—→—→

則AP.CP=-3，同理可得PB.PD=-3，故AB.CD=-6，

故C正確；

22

對(duì)于D，設(shè)圓心到AC,BD的距離為d1,d2，由OP=1，可得d1+d2=1

2222

當(dāng)AC⊥BD時(shí)四邊形面積為|AC||BD|=×2r-d1×2r-d2=

2222

2、(4-d1((4-d2(≤(4-d1(+(4-d2(=7，當(dāng)且僅當(dāng)又d1=d時(shí)，取等號(hào)，所以面積的最大值為

7，故D錯(cuò)誤．

故選：BC

題型五：等和線、等差線、等商線

—→—→——→

18.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O,P為圓O上任一點(diǎn)，若AP=xAB+yAC，則x+y

的最大值為．

【答案】

【解析】解法一：

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意可得A(-1,-B(1,-C(0,(．

17

23

因?yàn)椤魇沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以其外接圓的半徑為=，

ABC2R3

232

由點(diǎn)P在△ABC的外接圓上，可設(shè)Pcosθ,3sinθ，其中θ∈[,(，

(33(02π

則cossin

又

所以2x+ycosθ+1,3y=23sinθ+3，

33

23

所以2x+2y=cosθ+1+2sinθ+1=4sinθ++4，

3333((3

8

當(dāng)θ+=，即θ=時(shí)，2x+2y取得最大值，

3

4

所以x+y的最大值為．

3

解法二：

如圖，過點(diǎn)P作BC的平行線，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，

—→—→—→

設(shè)AP=λAE+μAF，則λ+μ=1，

由BC∥EF，可設(shè)k，

當(dāng)EF過點(diǎn)A且與圓O相切時(shí)，k取最小值0，

43

34

當(dāng)點(diǎn)O位于BC與EF同側(cè)，且EF與圓O相切于點(diǎn)P時(shí)，k取最大值=，

33

所以k

—→—→—→——→—→—→—→—→——→

所以AE=kAB,AF=kAC,AP=λAE+μAF=λkAB+μkAC，

所以x=λk,y=μk，

4

所以x+y=(λ+μ(k=k≤，

3

所以x+y的最大值為4．

3

故答案為：4

3

19.(2025·浙江寧波·二模)已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，動(dòng)點(diǎn)M、N分別在射線CB、CD上運(yùn)動(dòng)，且

—→—→——→

滿足對(duì)角線AC交MN于點(diǎn)P，設(shè)AP=xAB+yAD，則x+y的最大值是.

【答案】8

5

【解析】由于，所以CM2+CN2=CM2.CN2，

22

所以|MN|2=CM.CN，所以|MN|=|CM|.|CN|，所以點(diǎn)C到MN的距離為1，所以|CP|≥1，而|AC|

=32+42=5，所以|AP|≤4，

34

設(shè)∠CAB=α,則sinα=,cosα=，

55

所以sincos則x=yAP|.

112|AP|8

則x+y=|AP|+|AP|=≤.

5555

18

故答案為：

20.已知點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，AOB120,OAOB1．若，其

中，則的最大值是．——→—→

xyRxy∠=°||=||=

【答案】

,∈2+

【解析】設(shè)AOCα,

則∠=

即，

xy

所以xy2cosαco+s120αcossinα2sin

即xy+的最=大[值為+2．(°-([==

故答案為：．

+2

21.如圖所示，B是AC的中點(diǎn)，BE2OBP是平行四邊形BCDE內(nèi)含邊界的一點(diǎn)，且OPxOA

yxyR，則當(dāng)y2時(shí)，x—的→范圍是—→.—→——→

=,()=+

,∈(=

【答案】10

【解析】如圖，過P作PMAO，交OE于M，作PNOE，交AO的延長(zhǎng)線于N，

[-,[

則：，

OPONOM??

又因—為→—→——→，，則點(diǎn)為中點(diǎn)，

O=Px+OAyOBy2MBE

又B是AC—→的中點(diǎn)—，→所以—C→MOA，則點(diǎn)P在CM上，

=+=

由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：，此時(shí)取最小值，

PC?OPOA2OBx1

當(dāng)與重合時(shí)：—→，—此—→時(shí)取—最→大值，

PMOP0OA2O=B-+x0-

所以x的范圍是1—0→—→—→

=.+

故答案為：10[[

-,

[-,[

題型六：矩形大法、平行四邊形大法

2222

22.已知圓C1xy9與C2xy36，定點(diǎn)P20，A、B分別在圓C1和圓C2上，滿足PAPB，則線

段的取值范圍是．

AB:+=:+=(,)⊥

【答案】412412

19[-,+]

【解析】以PA,PB為鄰邊作矩形PAQB，則|AB|=|PQ|

由|OP|2+|OQ|2=|OA|2+|OB|2得

|OQ|2+4=9+36，即|OQ|=41，

Q的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為41的圓，

|PM|=41-2,|PN|=41+2，

∴|AB|=|PQ|∈[4