試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知命題：，，那么命題為（

）A．， B．，C．， D．，3．若，則（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．5．已知兩個(gè)非零實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中一定成立的是A． B． C． D．6．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）.A． B．C． D．7．已知，，，則三者大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在上的函數(shù)，則“對，都成立”是在上是增函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系為，其中，k是常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，那么污染物減少需要花多少時(shí)間（精確到）？（，）（

）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)、、、，使得，則的取值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．在的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)是.12．函數(shù)的定義域?yàn)?13．能夠說明“設(shè)是任意正實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組的值依次為.14．設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），若為奇函數(shù)，則；若是定義域上的減函數(shù)，則的取值范圍是.15．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋蝗艉瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，對任意，或；③當(dāng)時(shí)，對任意，；④存在，對任意，.其中正確結(jié)論的序號是.三、解答題17．如圖，三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)若在時(shí)，有極值，求a的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(3)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．19．體育測試成績分為四個(gè)等級：優(yōu)、良、及格、不及格.某校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康情況，在高一、高二年級分別抽取名學(xué)生進(jìn)行測試，測試的結(jié)果如下：等級年級優(yōu)良及格不及格高一高二(1)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該學(xué)生的測試成績?yōu)椤皟?yōu)”或“良”的概率；(2)從樣本中高一年級和高二年級中各隨機(jī)抽取人，以表示這兩個(gè)人中測試成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知高一學(xué)生升入高二后，進(jìn)行體育抽測的學(xué)生不變.現(xiàn)從這名抽測的學(xué)生中隨機(jī)抽查人，發(fā)現(xiàn)他們的測試成績都為“優(yōu)”.結(jié)合表格數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為學(xué)生升入高二后體育成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)有變化？說明理由.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：存在實(shí)數(shù)，使方程有正實(shí)根.21．已知集合，其中且，，非空集合，記為集合中所有元素之和，并規(guī)定當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，．(1)若，，寫出所有可能的集合；(2)若，，且是12的倍數(shù)，求集合的個(gè)數(shù)；(3)若；證明：存在非空集合，使得是的倍數(shù)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案題號12345678910答案BCABDDCBCA11．12．13．，14．；.15．；.16．①②③17．解：（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于，則是的中點(diǎn)，連結(jié)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（Ⅱ）三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，，．，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，，0，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角的正弦值為．18．（1）定義域?yàn)镽，，由題意得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為極大值點(diǎn)，滿足要求，故；（2）時(shí)，，，由（1）可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）定義域?yàn)镽，，，當(dāng)，即時(shí)，故恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)變號零點(diǎn)，故有2個(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.19．（1）由題意知，樣本中高一學(xué)生為人，測試成績?yōu)椤皟?yōu)”或“良”的有人.記“從高一學(xué)生中任意抽取人，測試成績?yōu)椤畠?yōu)’或‘良’”為事件，則.（2）的所有可能取值為.記“從樣本中高一年級學(xué)生中任意抽取人，測試成績?yōu)椤畠?yōu)’”為事件，記“從樣本中高二年級學(xué)生中任意抽取人，測試成績?yōu)椤畠?yōu)’”為事件，由題意知，相互獨(dú)立.，，則；，.

所以的分布列為.（3）記“從樣本高一學(xué)生升入高二后，抽測學(xué)生不變，現(xiàn)抽查人，成績都為‘優(yōu)’”為事件，則.

答案示例1：可以認(rèn)為有變化，理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為升入高二后成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化，理由如下：事件為隨機(jī)事件，比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.20．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）對任意，不等式，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，因此，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，則；當(dāng)時(shí)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由，，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，取正數(shù)，則直線與函數(shù)在上的圖象有交點(diǎn)，此交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間，所以存在實(shí)數(shù)，使方程有正實(shí)根.21．（1），集合可能為：，，，；（2）不妨設(shè)，則，，因此或，時(shí)，，時(shí)，，因此中只能選項(xiàng)一個(gè)，中選兩個(gè)，為，綜上集合有，共有4個(gè)；（3）（1）若，則是從這個(gè)數(shù)所取，把這個(gè)數(shù)分成組，每組中兩個(gè)數(shù)的和為，從這組中取個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)屬于同一組，例如，則取，是的倍數(shù)，結(jié)論成立；（2）若，不妨設(shè)，從中任取3個(gè)數(shù)，，若與都是的倍數(shù)，則，這與矛盾，所以中任意兩個(gè)數(shù)的差都不是的倍數(shù)，不妨設(shè)不是倍數(shù)，考慮這個(gè)數(shù)：，①若這個(gè)數(shù)除以的余數(shù)各不相