11/122017-2021北京重點校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的概念及其表示章節(jié)綜合一、單選題1．（2019·北京師大附中高一期末）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),當(dāng)時，，若關(guān)于的方程，有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．2．（2021·北京二中高一期末）如圖，動點在正方體的對角線上，過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．（2021·北京二中高一期末）已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．4．（2019·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，則的值是（）A．1 B． C．0 D．5．（2021·北京·清華附中高一期末）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2020·北京·清華附中高一期末）函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．二、填空題7．（2018·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，定義函數(shù)，若函數(shù)無零點，則實數(shù)k的取值范圍為______．8．（2019·北京師大附中高一期末）函數(shù)，則__________.9．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）函數(shù)的定義域為_________.三、解答題10．（2018·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．（1）若f（x）=sinx，x∈[，]，請直接寫出f1（x），f2（x）的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的k；如果不是，請說明理由．11．（2020·北京·清華附中高一期末）若函數(shù)定義域為，且存在非零實數(shù)，使得對于任意的恒成立，稱函數(shù)滿足性質(zhì)(1)分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質(zhì)并說明理由①②(2)若函數(shù)既滿足性質(zhì)，又滿足性質(zhì)，求函數(shù)的解析式(3)若函數(shù)滿足性質(zhì)，求證：存在，使得12．（2019·北京·101中學(xué)高一期末）正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設(shè)，求出函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性（無需證明）.13．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域：（2）若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有交點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍．14．（2021·北京·清華附中高一期末）已知函數(shù)，，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直線與x軸交于點T，且與函數(shù)的圖像只有一個公共點.求的最大值.（其中O為坐標(biāo)原點）

參考答案1．C【詳解】作出的圖象如下，又∵函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且關(guān)于x的方程，a，b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根，∴x2+ax+b=0的兩根分別為或；由韋達(dá)定理可得，若，則，即；若，則，即；從而可知或；故選C．點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．2．B【詳解】試題分析：由題意知，MN⊥平面BB1D1D，則MN在底面ABCD上的射影是與對角線AC平行的直線，故當(dāng)動點P在對角線BD1上從點B向D1運動時，x變大y變大，直到P為BD1的中點時，y最大為AC．然后x變小y變小，直到y(tǒng)變?yōu)?，因底面ABCD為正方形，故變化速度是均勻的，且兩邊一樣．故答案為B．考點：函數(shù)的圖像與圖像項變化．點評：本題考查了函數(shù)圖象的變化，根據(jù)幾何體的特征和條件進(jìn)行分析兩個變量的變化情況，再用圖象表示出來，考查了作圖和讀圖能力．屬于中檔題．3．C【分析】對a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時分兩種情況討論，比較兩個函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域為[1,+∞），函數(shù)的值域為[0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[a+2,-a+2],因為a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時函數(shù)g(x)的值域為（2a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[-a+2,a+2],當(dāng)a≥時，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4．A【分析】根據(jù)自變量滿足的范圍代入對應(yīng)表達(dá)式求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值.屬于基礎(chǔ)題型.5．B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合定義域與值域的概念可以得到實數(shù)m的取值范圍.【詳解】函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,+∞)上單調(diào)遞增，時時，函數(shù)的部分圖象及在上的的圖象如圖所示.所以為使函數(shù)在上的值域為，實數(shù)m的取值范圍是，故選：B.6．B【分析】解不等式，且，即可求出函數(shù)的定義域．【詳解】解：要使函數(shù)有意義，則，且，即且，故函數(shù)的定義域為且，故選：B7．【分析】由分段函數(shù)的解析式得函數(shù)在，上遞減，可得；在上遞減，可得，即的值域為，，由的圖象與無交點，即可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，可得時，遞減，可得；當(dāng)時，遞減，可得，即有的值域為，，由函數(shù)，若函數(shù)無零點，的圖象與無交點，則無解，即無解，所以k的范圍是．故答案為．【點睛】函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.8．【分析】先求的值，再求的值.【詳解】由題得，所以.故答案為【點睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)運算和分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9．【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零，分式分母不為零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.【詳解】依題意有，解得.故答案為【點睛】本小題主要考查具體函數(shù)定義域的求法，考查對數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．(1)f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，](2)存在k=4【詳解】試題分析:（1）由題意可得：f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，];（2）由函數(shù)f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4],寫出f1（x）和f2（x）的解析式,根據(jù)f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，分段列出不等式,求出函數(shù)最值代入,可得k的取值范圍,即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數(shù).試題解析:（1）由題意可得：f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，].（2）f1（x）=f2（x）=f2（x）-f1（x）=當(dāng)x∈[-1，1）時，3+2x-x2≤k（x+1），所以k≥3-x，所以k≥4；當(dāng)x∈[1，3）時，4≤k（x+1），所以k≥，所以k≥2；當(dāng)x∈[3，4]時，（x-1）2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥.綜上所述，k≥4，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數(shù)．11．(1)①②滿足性質(zhì)，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）計算，，得到答案.（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)變換得到，，，解得答案.（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到，取，當(dāng)時滿足條件，得到答案.(1)，故滿足；，故滿足.(2)且，故，，，解得.(3)，故，取得到，即，取，當(dāng)時，，故存在滿足.12．（1），；（2）x>，是減函數(shù).【分析】（1）畫出圖形，分別求出四棱錐的高，及側(cè)面的高的表達(dá)式，即可求出表面積與體積的表達(dá)式；（2）結(jié)合表達(dá)式，可求出的范圍，即定義域，然后判斷其為減函數(shù).【詳解】（1）過點作平面的垂線，垂足為，取的中點，連結(jié)，因為為正四棱錐，所以，，，，所以四棱錐的表面積為，體積.（2），解得，是減函數(shù).【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了表面積與體積的計算，考查了學(xué)生的空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.13．（1）；（2）或【解析】（1）分段討論去絕對值得出解析式，即可求出值域；（2）分和兩種情況討論可求出.【詳解】（1）可得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)的值域為；（2）的定義域為，當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時的圖像與的圖像有交點，滿足題意，當(dāng)時，要使函數(shù)圖像有交點，需滿足，解得，綜上，或.【點睛】本題考查分段函數(shù)的值域以