2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)與要素試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))解析：解集合(A)中的不等式(x^2-3x+2<0)，因式分解得((x-1)(x-2)<0)，解得(1<x<2)，即(A=(1,2))。解集合(B)中的不等式(2^x>4)，即(2^x>2^2)，可得(x>2)，即(B=(2,+\infty))。因此(A\capB=\varnothing)，無正確選項(xiàng)。（注：題目可能存在疏漏，若修正(B)為(2^x<4)，則(B=(-\infty,2))，此時(shí)(A\capB=(1,2))，選A）復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)(z)：[z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i]共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))，位于第四象限，選D。已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(-4)B.(-2)C.(2)D.(4)解析：計(jì)算(\vec{a}-2\vec=(2-2\times1,m-2\times(-2))=(0,m+4))。因?yàn)?\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，所以(\vec{a}\cdot(\vec{a}-2\vec)=2\times0+m(m+4)=0)，解得(m=0)或(m=-4)。結(jié)合選項(xiàng)，選A。函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,-1))B.((-\infty,1))C.((1,+\infty))D.((3,+\infty))解析：先求定義域：(x^2-2x-3>0)，解得(x<-1)或(x>3)。令(t=x^2-2x-3)，則(f(x)=\lnt)，外層函數(shù)(\lnt)單調(diào)遞增，因此求(f(x))的遞減區(qū)間即求(t)的遞減區(qū)間。(t=x^2-2x-3)的對(duì)稱軸為(x=1)，在((-\infty,1))上遞減，結(jié)合定義域，遞減區(qū)間為((-\infty,-1))，選A。某學(xué)校高二年級(jí)共有學(xué)生1200人，其中男生700人，女生500人。為調(diào)查學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間，采用分層抽樣的方法抽取容量為120的樣本，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.50B.60C.70D.80解析：分層抽樣中女生抽取比例為(\frac{500}{1200}=\frac{5}{12})，因此女生抽取人數(shù)為(120\times\frac{5}{12}=50)，選A。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.(4)解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC)，代入得：[c^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=4+9-4=9\impliesc=3]（注：題目選項(xiàng)可能存在疏漏，若(\cosC=-\frac{1}{3})，則(c^2=4+9+4=17)，無對(duì)應(yīng)選項(xiàng)。此處按計(jì)算結(jié)果，可能原題(\cosC=\frac{1}{4})，則(c^2=4+9-3=10)，選C）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)（）A.45B.50C.90D.100解析：等差數(shù)列中，(a_3+a_7=2a_5=10\impliesa_5=5)。(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=9\times5=45)，選A。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=3)，則輸出的(y=)（）（注：程序框圖邏輯為：若(x\leq0)，則(y=x+1)；否則(y=\log_2x)）A.2B.(\log_23)C.4D.1解析：輸入(x=3>0)，則(y=\log_23)，選B。函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(\omega=)（）（注：圖象顯示周期為(\pi)，過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）A.1B.2C.(\frac{1}{2})D.4解析：由周期(T=\pi=\frac{2\pi}{\omega}\implies\omega=2)。代入點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))：(\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=1\implies\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}\implies\varphi=\frac{\pi}{6})，符合條件，選B。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm1)C.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})D.0解析：圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為((x-1)^2+y^2=4)，圓心((1,0))，半徑(r=2)。圓心到直線(l)的距離(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})。由弦長(zhǎng)公式(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})，得(r^2-d^2=3\implies4-\frac{(k+1)^2}{k^2+1}=3)，解得(k=0)，選D。若(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\geq0\-x^2+ax,&x<0\end{cases})為奇函數(shù)，則(a=)（）A.2B.-2C.1D.-1解析：當(dāng)(x<0)時(shí)，(-x>0)，則(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x)。因?yàn)?f(x))為奇函數(shù)，所以(f(x)=-f(-x)=-x^2-2x)，對(duì)比(x<0)時(shí)的表達(dá)式(-x^2+ax)，得(a=-2)，選B。已知(a>0)，(b>0)，且(a+b=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{4})的最小值為（）A.5B.7C.9D.11解析：(\frac{1}{a}+\frac{4}=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{4})=1+4+\frac{a}+\frac{4a}\geq5+2\sqrt{\frac{a}\times\frac{4a}}=9)，當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{a}=\frac{4a})即(b=2a=\frac{2}{3})時(shí)取等號(hào)，選C。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知冪函數(shù)(f(x)=x^k)的圖象過點(diǎn)((2,\frac{1}{2}))，則(k=)________。答案：(-1)解析：(2^k=\frac{1}{2}=2^{-1}\impliesk=-1)。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為________(cm^3)。（注：三視圖顯示為底面半徑2cm、高3cm的圓柱）答案：(12\pi)解析：體積(V=\pir^2h=\pi\times2^2\times3=12\pi)。在(\triangleABC)中，(D)為(BC)中點(diǎn)，若(\vec{AB}=\vec{a})，(\vec{AC}=\vec)，則(\vec{AD}=)________。答案：(\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec))解析：(\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec))。若隨機(jī)變量(X)服從正態(tài)分布(N(2,\sigma^2))，且(P(X\leq4)=0.8)，則(P(X\leq0)=)________。答案：(0.2)解析：正態(tài)分布關(guān)于(x=2)對(duì)稱，(P(X\leq0)=P(X\geq4)=1-0.8=0.2)。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。解析：（1）由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2)，故({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（2）(a_n+1=2^n\impliesa_n=2^n-1)，則(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-2-n)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對(duì)邊分別為(a,b,c)，且(2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=4)，(\triangleABC)的面積為(\sqrt{3})，求(a+c)的值。解析：（1）(2\cos^2\frac{B}{2}=1+\cosB=\sqrt{3}\sinB\implies\sqrt{3}\sinB-\cosB=1\implies2\sin(B-\frac{\pi}{6})=1)，解得(B-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6})或(\frac{5\pi}{6})，又(B\in(0,\pi))，故(B=\frac{\pi}{3})。（2）(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}\impliesac=4)。由余弦定理：(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\implies16=(a+c)^2-3ac\implies(a+c)^2=16+12=28\impliesa+c=2\sqrt{7})。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求異面直線(A_1B)與(AC_1)所成角的余弦值。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于(O)，則(O)為(A_1C)中點(diǎn)，又(D)為(BC)中點(diǎn)，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，(A_1(0,0,2))，(B(2,0,0))，(A(0,0,0))，(C_1(0,2,2))，(\vec{A_1B}=(2,0,-2))，(\vec{AC_1}=(0,2,2))，(\cos\theta=\frac{|\vec{A_1B}\cdot\vec{AC_1}|}{|\vec{A_1B}||\vec{AC_1}|}=\frac{|-4|}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2})。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，銷售單價(jià)為60元，每月可銷售300件。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每提高1元，每月銷量減少10件。設(shè)銷售單價(jià)為(x)元（(x\geq60)），每月銷量為(y)件。（1）求(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）(y=300-10(x-60)=-10x+900)（(x\geq60)，且(y\geq0\impliesx\leq90)）。（2）利潤(rùn)(L=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x^2+1300x-36000)，對(duì)稱軸(x=65)，此時(shí)(L_{\text{max}}=-10(65)^2+1300\times65-36000=6250)元。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleOMN)的面積為定值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c^2=\frac{3}{4}a^2)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)，代入點(diǎn)((2,1))：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1\impliesa^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立直線與橢圓：((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，(k_{OM}\cdotk_{ON}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4}\implies4y_1y_2+x_1x_2=0)，代入(y_1y_2=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，化簡(jiǎn)得(2m^2=4k^2+1)，原點(diǎn)到直線距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，(|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16(8k^2-m^2+2)}}{1+4k^2})，代入(2m^2=4k^2+1)，得(S=\frac{1}{2}|MN|d=2)（定值）。（12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)，令(g(x)=\lnx-2x+2)，(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(shí)，(g'(x)>0)，(g(x))遞增；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(shí)，(g'(x)<0)，(g(x))遞減，(g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0)，(g(1)=0)，(g(e^{-2})=-2-2e^{-2}+2=-2e^{-2}<0)，故(f(x))在((0,x_0))遞減，((x_0,1))遞增，((1,+\infty))遞減（(x