2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)張繼平試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，且a⊥(a+b)，則實數(shù)m=（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-1,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5=14，S7=49，則a7=（）A.11B.13C.15D.17執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.-1B.0C.1D.2在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=√3，b=1，B=30°，則A=（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別為（）A.ω=2，φ=π/3B.ω=2，φ=π/6C.ω=1，φ=π/3D.ω=1，φ=π/6已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若|AF|=4，則△AFM的面積為（）A.4√3B.3√3C.2√3D.√3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x+a的極大值為5，則實數(shù)a=（）A.2B.3C.4D.5已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則函數(shù)g(x)=f(x)-log?|x|的零點個數(shù)為（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤3}，則z=2x+y的最大值為________。已知(1+2x)?的展開式中第3項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中x2的系數(shù)為________。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b(n+1)=2bn+an。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男401050女203050合計6040100（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”；（Ⅱ）從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人參加體育知識競賽，求抽取的2人中至少有1名女生的概率。附：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。P(K2≥k?)0.0500.0100.001k?3.8416.63510.828（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D，E分別是A1B1，BB1的中點。（Ⅰ）求證：DE∥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A-A1C-E的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為1/2，且過點(1,3/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，M是線段AB的中點，若|OM|=|MF2|，求直線l的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，求證：f(x1)+f(x2)>2-2/e。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+2cosα，y=2sinα}（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ。（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)射線l：θ=π/3(ρ≥0)與曲線C1交于O，A兩點，與曲線C2交于O，B兩點，求|AB|的值。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.A4.B5.C6.B7.C8.C9.A10.A11.B12.D二、填空題914.6015.x2/3-y2/6=116.19π三、解答題解：（Ⅰ）因為數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1?！?分（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n-1，所以b(n+1)=2bn+2n-1，即b(n+1)+2(n+1)+1=2(bn+2n+1)，………………4分又b1+2×1+1=1+2+1=4，所以數(shù)列{bn+2n+1}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，…………6分所以bn+2n+1=4×2??1=2??1，所以bn=2??1-2n-1?！?分所以Sn=b1+b2+…+bn=(22+23+…+2??1)-(3+5+…+(2n+1))=4(2?-1)/(2-1)-n(3+2n+1)/2=2??2-4-n(n+2)=2??2-n2-2n-4?！?0分解：（Ⅰ）由列聯(lián)表得K2=100×(40×30-10×20)2/(50×50×60×40)=100×(1200-200)2/(50×50×60×40)=100×1000000/(50×50×60×40)=100×1000000/600000≈16.667>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”?！?分（Ⅱ）由題意得，從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，其中男生4人，女生2人，設(shè)男生為A，B，C，D，女生為a，b，………………6分從這6人中隨機(jī)抽取2人，所有可能的情況有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)，共15種，……8分其中至少有1名女生的情況有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)，共9種，……10分所以抽取的2人中至少有1名女生的概率P=9/15=3/5。…………12分解：（Ⅰ）證明：取A1B的中點F，連接DF，CF，因為D，F(xiàn)分別是A1B1，A1B的中點，所以DF∥BB1，且DF=1/2BB1，又E是BB1的中點，所以BE=1/2BB1，所以DF∥BE，且DF=BE，所以四邊形DEBF是平行四邊形，所以DE∥BF，………………2分又DE?平面A1BC，BF?平面A1BC，所以DE∥平面A1BC。…………4分（Ⅱ）以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(0,2,1)，所以A1C=(-2,0,-2)，CE=(0,2,1)，CA=(2,0,0)，………………6分設(shè)平面A1CE的法向量為n=(x,y,z)，則{n·A1C=0，n·CE=0}，即{-2x-2z=0，2y+z=0}，令z=2，則x=-2，y=-1，所以n=(-2,-1,2)，………………8分因為CA⊥平面A1CC1，所以CA=(2,0,0)是平面A1CC1的一個法向量，……9分設(shè)二面角A-A1C-E的平面角為θ，則cosθ=|n·CA|/(|n||CA|)=|(-2)×2+(-1)×0+2×0|/(√(4+1+4)×√(4+0+0))=4/(3×2)=2/3，所以二面角A-A1C-E的余弦值為2/3?！?2分解：（Ⅰ）由題意得{e=c/a=1/2，1/a2+9/4b2=1，a2=b2+c2}，解得{a2=4，b2=3，c2=1}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2/3=1?！?分（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，此時A(1,3/2)，B(1,-3/2)，M(1,0)，|OM|=1，|MF2|=0，不滿足|OM|=|MF2|，舍去；………………5分當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{y=k(x-1)，x2/4+y2/3=1}，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2=8k2/(3+4k2)，x1x2=(4k2-12)/(3+4k2)，………………7分所以M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(4k2/(3+4k2),-3k/(3+4k2))，…………8分因為|OM|=|MF2|，所以(4k2/(3+4k2))2+(-3k/(3+4k2))2=(4k2/(3+4k2)-1)2+(-3k/(3+4k2))2，……10分化簡得16k?/(3+4k2)2=(-3/(3+4k2))2，即16k?=9，解得k=±3/4，所以直線l的方程為y=±3/4(x-1)，即3x±4y-3=0。…………12分解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，定義域為(0,+∞)，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，…………1分令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2=1-2x/x，當(dāng)x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-2×1/2+2=-ln2+1>0，所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間?！?分（Ⅱ）因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2≤0在(0,+∞)上恒成立，即2a≥(lnx+2)/x在(0,+∞)上恒成立，……4分令h(x)=(lnx+2)/x，則h'(x)=(1/x·x-(lnx+2))/x2=(1-lnx-2)/x2=(-lnx-1)/x2，當(dāng)x∈(0,1/e)時，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/e,+∞)時，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(1/e)=(ln(1/e)+2)/(1/e)=(-1+2)e=e，所以2a≥e，即a≥e/2，所以實數(shù)a的取值范圍是[e/2,+∞)。…………7分（Ⅲ）證明：因為函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，所以f'(x)=lnx-2ax+2=0有兩個不同的實根x1，x2，即lnx1-2ax1+2=0，lnx2-2ax2+2=0，兩式相減得lnx1-lnx2=2a(x1-x2)，即2a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)，……8分所以f(x1)+f(x2)=x1lnx1-ax12+x1+x2lnx2-ax22+x2=x1(2ax1-2)-ax12+x1+x2(2ax2-2)-ax22+x2=2ax12-2x1-ax12+x1+2ax22-2x2-ax22+x2=ax12-ax22-x1-x2=a(x12-x22)-(x1+x2)=a(x1-x2)(x1+x2)-(x1+x2)=(x1+x2)(a(x1-x2)-1)=(x1+x2)((lnx1-lnx2)/(2(x1-x2))(x1-x2)-1)=(x1+x2)((lnx1-lnx2)/2-1)，……10分令t=x1/x2(0<t<1)，則x1=tx2，所以lnx1-lnx2=lnt，x1+x2=(t+1)x2，所以f(x1)+f(x2)=(t+1)x2(lnt/2-1)，又lnx2=2ax2-2，lnx1=2ax1-2=2a(tx2)-2，兩式相減得lnt=2a(t-1)x2，即x2=lnt/(2a(t-1))，所以f(x1)+f(x2)=(t+1)·lnt/(2a(t-1))·(lnt/2-1)，又2a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)=lnt/(x2(t-1))，即a=lnt/(2x2(t-1))，所以f(x1)+f(x2)=(t+1)·lnt/(2·lnt/(2x2(t-1))·(t-1))·(lnt/2-1)=(t+1)x2·(lnt/2-1)，因為x2>1/e，t+1>1，lnt/2-1>ln1/2-1=-ln2-1，所以f(x1)+f(x2