2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)周向宇多復(fù)變試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）設(shè)(i)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(z=\frac{2+3i}{i})，則(z)的共軛復(fù)數(shù)為（）A．(3-2i)B．(3+2i)C．(-3-2i)D．(-3+2i)復(fù)數(shù)(z)滿足(z\cdot(i+3)=2-i^5)，則(z)的虛部是（）A．(\frac{1}{2})B．(-\frac{1}{2})C．(-\frac{1}{2}i)D．(\frac{1}{2}i)復(fù)數(shù)(z=\frac{(1+i)^2}{1-i})，則(z)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限歐拉公式(e^{ix}=\cosx+i\sinx)（(i)為虛數(shù)單位）被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，(e^{2i})表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限設(shè)(x\in\mathbb{R})，則“(x=1)”是“復(fù)數(shù)(z=(x^2-1)+(x+1)i)為純虛數(shù)”的（）A．充分必要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件在復(fù)平面內(nèi)，(O)是原點，(\overrightarrow{OA})、(\overrightarrow{OC})、(\overrightarrow{AB})對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為(-2+3i)、(3+2i)、(1+5i)，那么(\overrightarrow{BC})對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．(4+7i)B．(1+3i)C．(4-4i)D．(-1+6i)已知(i)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(z=\frac{3+2i}{2-i})，則以下命題為真命題的是（）A．(z)的共軛復(fù)數(shù)為(\frac{7-4i}{5})B．(z)的虛部為(\frac{7}{5})C．(|z|=3)D．(z)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限多復(fù)變函數(shù)是單復(fù)變函數(shù)的自然推廣，下列關(guān)于多復(fù)變函數(shù)的說法正確的是（）A．單復(fù)變函數(shù)中的柯西積分公式可直接推廣到多復(fù)變函數(shù)B．多復(fù)變函數(shù)的定義域是復(fù)數(shù)域的笛卡爾積C．多復(fù)變函數(shù)的解析性等價于各變量分別解析D．多復(fù)變函數(shù)的零點集一定是離散的設(shè)(z_1=a+bi)，(z_2=c+di)（(a,b,c,d\in\mathbb{R})），定義多復(fù)變函數(shù)(f(z_1,z_2)=z_1\cdot\overline{z_2}+\overline{z_1}\cdotz_2)，則(f(z_1,z_2))的值域為（）A．全體復(fù)數(shù)B．非負實數(shù)C．實部為零的復(fù)數(shù)D．全體實數(shù)華羅庚先生在多復(fù)變函數(shù)論中研究的“典型域”是一類重要的齊性空間，下列空間中屬于典型域的是（）A．單位圓盤({z\in\mathbb{C}\mid|z|<1})B．復(fù)平面(\mathbb{C}^n)C．超球({(z_1,\cdots,z_n)\in\mathbb{C}^n\mid\sum_{i=1}^n|z_i|^2<1})D．全純函數(shù)空間若多復(fù)變函數(shù)(f(z_1,z_2)=z_1^2+z_2^2)在點((0,0))處滿足柯西-黎曼方程，則下列說法正確的是（）A．(f)在((0,0))處可微B．(f)在((0,0))處解析C．(f)的實部與虛部滿足拉普拉斯方程D．(f)在((0,0))的鄰域內(nèi)存在冪級數(shù)展開周向宇院士在多復(fù)變領(lǐng)域的研究成果中，關(guān)于全純函數(shù)延拓問題的貢獻主要體現(xiàn)在（）A．解決了Cartan猜想B．證明了Levi問題C．推廣了Hartogs定理D．建立了多復(fù)變函數(shù)的指標(biāo)定理二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）設(shè)復(fù)數(shù)(z=\frac{1+i}{1-i}+(1-i)^2)，則(|z|=)__________。在多復(fù)變函數(shù)中，“Hartogs現(xiàn)象”指的是：__________（用一句話描述）。已知(z_1,z_2\in\mathbb{C}^2)，且(z_1=(1+i,2-3i))，(z_2=(2-i,1+4i))，則內(nèi)積(\langlez_1,z_2\rangle=z_1\cdot\overline{z_2}^T=)__________（結(jié)果用(a+bi)形式表示）。陸啟鏗院士是我國多復(fù)變學(xué)科的重要奠基人之一，他在1950年代的代表性工作是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知復(fù)數(shù)(z=x+yi)（(x,y\in\mathbb{R})）滿足(|z-2|=\sqrt{3})，且(\frac{z}{1+i})為純虛數(shù)，求(z)。（12分）設(shè)多復(fù)變函數(shù)(f(z_1,z_2)=(z_1+z_2)^2+i(z_1-z_2)^2)，其中(z_1=x_1+y_1i)，(z_2=x_2+y_2i)（(x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R})）。（1）證明(f)在(\mathbb{C}^2)上解析；（2）計算(f)在點((1,i))處的Jacobi矩陣。（12分）在復(fù)平面中，已知三角形(ABC)的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為(z_A=1+2i)，(z_B=3-i)，(z_C=-2+4i)。（1）求(\overrightarrow{AB})與(\overrightarrow{AC})對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求三角形(ABC)的面積。（12分）設(shè)(D\subset\mathbb{C}^n)為有界域，(f:D\to\mathbb{C})為全純函數(shù)。（1）敘述多復(fù)變函數(shù)的“極大模原理”；（2）若(f)在(\overline{D})上連續(xù)，證明(|f|)在(\partialD)上達到最大值。（12分）（1）利用歐拉公式證明：(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta)，(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta)；（2）設(shè)(z=e^{i\theta})，將(\cos3\theta)表示為(\cos\theta)的多項式。（12分）閱讀以下材料，回答問題：“華羅庚先生在1950年代創(chuàng)建了我國多復(fù)變函數(shù)論學(xué)科，他的《多復(fù)變數(shù)函數(shù)論中的典型域的調(diào)和分析》是該領(lǐng)域的經(jīng)典著作。周向宇院士繼承并發(fā)展了這一方向，在全純函數(shù)空間、復(fù)幾何等領(lǐng)域做出了國際領(lǐng)先的成果。”（1）簡述典型域在多復(fù)變研究中的意義；（2）結(jié)合周向宇院士的研究，說明多復(fù)變函數(shù)論與單復(fù)變函數(shù)論的主要區(qū)別（至少列舉兩點）。四、附加題（本大題共1小題，共10分，不計入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）設(shè)(\Omega\subset\mathbb{C}^2)為單位球({(z_1,z_2)\mid|z_1|^2+|z_2|^2<1})，(f:\Omega\to\mathbb{C})為全純函數(shù)，且(f(0,0)