2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)綜合測(cè)試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,1))B.((-\infty,-1))C.((3,+\infty))D.((1,+\infty))某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=2)，則輸出的(y=)（）A.4B.6C.8D.10已知(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，則(\cos\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=)（）A.(-\frac{7}{9})B.(\frac{7}{9})C.(-\frac{8}{9})D.(\frac{8}{9})已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b))（(a\neqb)），則(a+b)的取值范圍是（）A.((-\infty,0))B.((-\infty,1))C.((0,1))D.((1,+\infty))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則三棱錐(P-ABC)的外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(34\pi)D.(50\pi)已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})），若對(duì)任意(x\geq0)，(f(x)\geq0)恒成立，則(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,e])C.([1,+\infty))D.([e,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________。已知直線(l:mx-y+1-m=0)與圓(C:x^2+(y-1)^2=5)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(m=)________。已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且其圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(\varphi=)________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)，則數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式為(a_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大??；（2）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若從成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)均在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-DE-B)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleOMN)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha,\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)(O)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)(P)在曲線(C_1)上，點(diǎn)(Q)在曲線(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此時(shí)點(diǎn)(P)的直角坐標(biāo)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.A10.B11.C12.A二、填空題914.±115.(-\frac{\pi}{6})16.(n\cdot2^{n-1})三、解答題（1）由余弦定理得(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2})，解得(c=2)（舍負(fù)）。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinB=\frac{1}{2})，又(B\in(0,\frac{\pi}{3}))，故(B=\frac{\pi}{6})。（5分）（2）(C=\pi-A-B=\frac{\pi}{6})，(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\sqrt{3})。（10分）（1）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.30+85\times0.35+95\times0.15=79)；中位數(shù)為70+(\frac{0.5-0.2}{0.3}\times10=80)。（6分）（2）成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人，[90,100]的學(xué)生有15人，總基本事件數(shù)為(C_{20}^2=190)，滿足條件的事件數(shù)為(C_{15}^2=105)，概率為(\frac{105}{190}=\frac{21}{38})。（12分）（1）連接(A_1B,A_1C)，易證(DE\parallelA_1B)，由線面平行判定定理得證。（6分）（2）以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面(A_1DE)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，平面(BDE)的法向量(\vec{m}=(1,1,2))，二面角的余弦值為(\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，及點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由韋達(dá)定理得(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OM}\cdotk_{ON}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，化簡(jiǎn)得(2m^2=4k^2+1)，則(|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(4k^2+1-m^2)}}{1+4k^2}=2\sqrt{2})，原點(diǎn)到直線的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2})，故面積(S=\frac{1}{2}|MN|\cdotd=\sqrt{2})（定值）。（12分）（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)。當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(f'(x)>0)；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(f'(x)<0)，故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((1,+\infty))。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a\leq0)在((1,+\infty))上恒成立，即(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(g(x)=\frac{\lnx}{x-1})（(x>1)），求導(dǎo)得(g'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(h(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx)，則(h'(x)=-\frac{x-1}{x^2}<0)，故(h(x)<h(1)=0)，(g(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，(\lim_{x\to1^+}g(x)=1)