2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)填空題專項訓(xùn)練（二）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（共10題）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax$在$x=1$處取得極值，則實數(shù)$a=$______。解析：對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}+a$，由極值條件$f'(1)=0$，代入得$1+a=0$，解得$a=-1$。函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,3]$上的最小值為______。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。計算端點及極值點函數(shù)值：$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，最小值為$-2$。若函數(shù)$f(x)=e^x-ax$在$R$上單調(diào)遞增，則$a$的取值范圍是______。解析：$f'(x)=e^x-a\geq0$恒成立，即$a\leqe^x$對$\forallx\inR$恒成立，而$e^x>0$，故$a\leq0$。曲線$y=x^2\lnx$在點$(1,0)$處的切線方程為______。解析：求導(dǎo)得$y'=2x\lnx+x$，切線斜率$k=y'(1)=1$，方程為$y-0=1\cdot(x-1)$，即$y=x-1$。已知$f(x)$是奇函數(shù)，當(dāng)$x>0$時，$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$，則$f(-1)=$______。解析：由奇函數(shù)性質(zhì)$f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2$。函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的間斷點為$x=$，該間斷點屬于（填“可去間斷點”或“無窮間斷點”）。解析：$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2(x\neq2)$，故$x=2$為可去間斷點。若函數(shù)$f(x)=\log_a(x^2-ax+3)$在區(qū)間$(-\infty,1]$上單調(diào)遞減，則$a$的取值范圍是______。解析：令$t=x^2-ax+3$，外層函數(shù)$\log_at$單調(diào)遞增時$a>1$，內(nèi)層函數(shù)$t$在$(-\infty,1]$遞減需滿足$\frac{a}{2}\geq1$且$t(1)=1-a+3>0$，解得$2\leqa<4$。已知$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases}$，則$f(f(e))=$______。解析：$f(e)=\lne=1$，$f(f(e))=f(1)=\ln1=0$。函數(shù)$f(x)=x^3-3ax+2$有三個不同零點，則$a$的取值范圍是______。解析：$f'(x)=3x^2-3a$，極值點$x=\pm\sqrt{a}(a>0)$。需滿足極大值$f(-\sqrt{a})>0$且極小值$f(\sqrt{a})<0$，解得$a>1$。定積分$\int_0^1(x^2+\sqrt{x})dx=$______。解析：原式$=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$。二、三角函數(shù)與解三角形（共10題）$\sin15^\circ\cos15^\circ=$______。解析：由二倍角公式$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{4}$。在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，則$c=$______。解析：由余弦定理$c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\cos60^\circ=13$，故$c=\sqrt{13}$。函數(shù)$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期是______，最大值是______。解析：周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，最大值為$2$。已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$______。解析：分子分母同除以$\cos\alpha$得$\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$。在$\triangleABC$中，$\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，則$\cosC=$______。解析：由正弦定理$a:b:c=2:3:4$，設(shè)$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，則$\cosC=\frac{4k^2+9k^2-16k^2}{2\times2k\times3k}=-\frac{1}{4}$。函數(shù)$y=\cos^2x-\sin^2x$的單調(diào)遞減區(qū)間是______。解析：化簡得$y=\cos2x$，遞減區(qū)間為$[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi](k\inZ)$。已知$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，則$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$______。解析：$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{7}{5}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$。函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最大值為______，此時$x=$______。解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，最大值為$\sqrt{2}$，此時$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi(k\inZ)$。若$\cos(\pi+\alpha)=\frac{1}{3}$，則$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=$______。解析：$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=\frac{1}{3}\Rightarrow\cos\alpha=-\frac{1}{3}$，而$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha=-\frac{1}{3}$。在$\triangleABC$中，若$a=5$，$b=8$，$\angleA=30^\circ$，則滿足條件的三角形有______個。解析：由正弦定理$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{8\times\frac{1}{2}}{5}=\frac{4}{5}<1$，且$b>a$，故有$2$個解。三、數(shù)列與不等式（共10題）等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，則公差$d=$，$a{10}=$。解析：$a_7-a_3=4d=8\Rightarrowd=2$，$a{10}=a_7+3d=13+6=19$。等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，則公比$q=$，前$5$項和$S_5=$。解析：$a_4=a_1q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq=2$，$S_5=2(2^5-1)=62$。數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，則$a_5=$______。解析：$a_5=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+(a_5-a_4)=1+2+4+6+8=21$。不等式$x^2-3x-4<0$的解集為______。解析：因式分解$(x-4)(x+1)<0$，解集為$(-1,4)$。若$x>0$，則$x+\frac{4}{x}$的最小值為______，此時$x=$______。解析：由均值不等式$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$，當(dāng)$x=2$時取等號。已知$a>0$，$b>0$，$a+2b=3$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為______。解析：$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{3}(a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}\right)=\frac{1}{3}\left(3+\frac{2b}{a}+\frac{a}\right)\geq\frac{1}{3}(3+2\sqrt{2})=1+\frac{2\sqrt{2}}{3}$。數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=n^2+2n$，則$a_n=$_____。解析：當(dāng)$n=1$時，$a_1=3$；當(dāng)$n\geq2$時，$a_n=S_n-S{n-1}=2n+1$，綜上$a_n=2n+1$。不等式$\frac{x-1}{x+2}\leq0$的解集為______。解析：等價于$(x-1)(x+2)\leq0$且$x\neq-2$，解集為$(-2,1]$。若關(guān)于$x$的不等式$x^2+ax+1>0$對$\forallx\inR$恒成立，則$a$的取值范圍是______。解析：判別式$\Delta=a^2-4<0\Rightarrow-2<a<2$。等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=12$，$S_6=42$，則$S_9=$______。解析：由等差數(shù)列性質(zhì)$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$成等差，即$12$，$30$，$S_9-42$成等差，故$2\times30=12+(S_9-42)\RightarrowS_9=90$。四、立體幾何（共10題）棱長為$a$的正方體的外接球半徑為______，內(nèi)切球半徑為______。解析：外接球直徑為體對角線$\sqrt{3}a$，半徑$\frac{\sqrt{3}}{2}a$；內(nèi)切球直徑為棱長$a$，半徑$\frac{a}{2}$。已知圓錐的底面半徑為$3$，母線長為$5$，則圓錐的體積為______。解析：高$h=\sqrt{5^2-3^2}=4$，體積$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times9\times4=12\pi$。直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=1$，則異面直線$AB_1$與$BC_1$所成角的余弦值為______。解析：建立坐標(biāo)系，$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(0,1,1)$，$\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BC_1}=(-1,1,1)$，$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC_1}|}{|\overrightarrow{AB_1}||\overrightarrow{BC_1}|}=\frac{0}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}=0$。正四棱錐的底面邊長為$2$，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則其側(cè)面積為______。解析：斜高$h'=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$，側(cè)面積$S=4\times\frac{1}{2}\times2\times2=8$。已知平面$\alpha\perp$平面$\beta$，$\alpha\cap\beta=l$，直線$m\subset\alpha$，$m\perpl$，則$m$與$\beta$的位置關(guān)系是______。解析：由面面垂直性質(zhì)定理，$m\perp\beta$。一個幾何體的三視圖均為邊長為$2$的正方形，則該幾何體的體積為______。解析：三視圖均為正方形，幾何體為正方體，體積$V=2^3=8$。在長方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$BC=1$，$AA_1=3$，則點$A$到平面$A_1BD$的距離為______。解析：用等體積法，$V_{A-A_1BD}=V_{A_1-ABD}$，解得距離為$\frac{6}{7}$。若直線$l$與平面$\alpha$所成角為$30^\circ$，則直線$l$與平面$\alpha$內(nèi)所有直線所成角的最小值為______。解析：線面角是斜線與平面內(nèi)直線所成角的最小值，故為$30^\circ$。已知球的表面積為$16\pi$，則該球的體積為______。解析：表面積$4\piR^2=16\pi\RightarrowR=2$，體積$V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{32}{3}\pi$。三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=AB=AC=2$，則三棱錐的外接球表面積為______。解析：補形為長方體，體對角線長$\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$，外接球半徑$R=\sqrt{3}$，表面積$4\piR^2=12\pi$。五、解析幾何（共10題）雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的實軸長為______，漸近線方程為______。解析：$a=3$，實軸長$2a=6$；漸近線$y=\pm\frac{4}{3}x$。拋物線$y^2=4x$的焦點坐標(biāo)為______，準(zhǔn)線方程為______。解析：$2p=4\Rightarrowp=2$，焦點$(1,0)$，準(zhǔn)線$x=-1$。直線$3x+4y-5=0$與圓$x^2+y^2=1$的位置關(guān)系是______（填“相交”“相切”或“相離”）。解析：圓心到直線距離$d=\frac{5}{\sqrt{3^2+4^2}}=1=r$，故相切。橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率為______。解析：$a=5$，$b=3$，$c=4$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$。過點$(1,2)$且與直線$2x-y+1=0$平行的直線方程為______。解析：設(shè)方程為$2x-y+c=0$，代入點得$2-2+c=0\Rightarrowc=0$，方程為$2x-y=0$。圓$x^2+y^2-4x+6y+9=0$的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。解析：配方得$(x-2)^2+(y+3)^2=4$，圓心$(2,-3)$，半徑$2$。雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$2$，則漸近線方程為______。解析：$e=\frac{c}{a}=2\Rightarrowc=2a$，$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{3}a$，漸近線$y=\pm\frac{a}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$。若點$P(2,m)$在拋物線$y^2=4x$上，則點$P$到焦點的距離為______。解析：拋物線準(zhǔn)線$x=-1$，由定義得距離為$2-(-1)=3$。橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距為$2$，則$m=$______。解析：焦距$2c=2\Rightarrowc=1$。若焦點在$x$軸，$m-4=1\Rightarrowm=5$；若在$y$軸，$4-m=1\Rightarrowm=3$，故$m=3$或$5$。直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k=$______。解析：圓心到直線距離$d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=1\Rightarrowk^2+1=1\Rightarrowk=0$。六、概率統(tǒng)計（共10題）從$1,2,3,4,5$中任取$2$個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是______。解析：總情況$C_5^2=10$，和為偶數(shù)需兩奇或兩偶，共$C_3^2+C_2^2=3+1=4$，概率$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。一組數(shù)據(jù)$2,3,5,7,11$的方差為______。解析：均值$\bar{x}=6$，方差$s^2=\frac{1}{5}[(2-6)^2+\cdots+(11-6)^2]=\frac{1}{5}(16+9+1+1+25)=10.4$。某射手射擊命中率為$0.8$，連續(xù)射擊$3$次，至少命中$2$次的概率為______。解析：$P=C_3^2(0.8)^2(0.2)+C_3^3(0.8)^3=0.384+0.512=0.896$。已知隨機變量$X\simN(2,\sigma^2)$，$P(X\leq0)=0.2$，則$P(2<X<4)=$______。解析：正態(tài)分布對稱性，$P(X>4)=P(X<0)=0.2$，故$P(0<X<4)=0.6$，$P(2<X<4)=0.3$。從$5$件正品和$2$件次品中任取$3$件，恰有$1$件次品的概率是______。解析：$P=\frac{C_2^1C_5^2}{C_7^3}=\frac{2\times10}{35}=\frac{4}{7}$。某班$50$名學(xué)生中，$10$人身高在$170cm$以上，現(xiàn)從中隨機抽取$5$人，用$X$表示抽取的身高在$170cm$以上的人數(shù)，則$X$服從參數(shù)為______的超幾何分布。解析：超幾何分布參數(shù)為$N=50$，$M=10$，$n=5$。已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，某組的頻數(shù)為$10$，頻率為$0.2$，則樣本容量為______。解析：樣本容量$=\frac{頻數(shù)}{頻率}=\frac{10}{0.2}=50$。若事件$A$與$B$互斥，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，則$P(A\cupB)=$______。解析：互斥事件$P(A\cupB)=P(A)+P(B)=0.8$。某小組有$3$名男生和$2$名女生，從中任選$2$人參加活動，則至少有$1$名女生的概率是______。解析：對立事件“全是男生”概率$\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，故所求概率$1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。已知隨機變量$X$的分布列為$P(X=k)=\frac{k}{10}(k=1,2,3,4)$，則$E(X)=$______。解析：$E(X)=1\times0.1+2\times0.2+3\times0.3+4\times0.4=3$。七、復(fù)數(shù)與向量（共10題）復(fù)數(shù)$z=(1+i)(2-i)$的實部為______，虛部為______。解析：$z=2-i+2i-i^2=3+i$，實部$3$，虛部$1$。已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(m,4)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m=$______。解析：$\vec{a}\cdot\vec=2m+12=0\Rightarrowm=-6$。復(fù)數(shù)$z=\frac{1+i}{1-i}$的模為______，輻角主值為______。解析：$z=\frac{(1+i)^2}{2}=i$，模$1$，輻角主值$\frac{\pi}{2}$。已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,1)$，則$2\vec