2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“多方法融合”綜合試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）已知集合A={x|log?(x-1)≤2}，B={x|x2-4ax+3a2≤0}（a>0），若A∩B=A，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(0,1]B.[1,2]C.[2/3,2]D.[1,+∞)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值之和為（）A.-2B.0C.2D.4已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(√3,1)，且a⊥b，則tanθ的值為（）A.√3B.-√3C.√3/3D.-√3/3某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，則c的值為（）A.√7B.√13C.4D.5已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2-i，則|z|=（）A.√5/2B.√10/2C.√5D.√10已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q=（）A.2B.-2C.3D.-3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=5，則輸出的結(jié)果為（）A.10B.15C.20D.25已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，點P在拋物線上，且在第一象限，PF⊥x軸，垂足為M，則直線MF的斜率為（）A.1B.-1C.2D.-2某外賣平臺的送餐員小李接到一份訂單，需要從A地送餐到B地，再返回位于C地的配送站。已知A、B、C三地在同一直線上，且AB=3km，BC=2km。若小李的電動車充滿電后最多可行駛10km，則小李完成這次配送任務(wù)后能否直接返回配送站？（）A.能B.不能C.不確定D.以上都不對二、填空題（本大題共6小題，共30分）若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在x=1處取得極值2，則a=，b=。已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A、B兩點，若|AB|=2√3，則k=______。已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(X<4)=0.8，則P(0<X<2)=______。在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=4，b=5，c=6，則sin2A=______。已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，則f(x)的解析式為______。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n，則數(shù)列{an}的通項公式為______。三、解答題（本大題共6小題，共60分）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[0,π/2]，求函數(shù)f(x)的值域。（本小題滿分10分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點。（1）求證：A1B//平面ADC1；（2）求二面角A1-AD-C1的余弦值。（本小題滿分10分）某學(xué)校為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行體能測試，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生302050女生104050合計4060100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為學(xué)生的體能測試是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）從體能測試優(yōu)秀的學(xué)生中隨機抽取3人，記其中男生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)|0.05|0.01|0.001----|----|----|----k0|3.841|6.635|10.828（本小題滿分10分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2/a。（本小題滿分10分）某公司計劃投資A、B兩種產(chǎn)品，已知投資A產(chǎn)品的收益函數(shù)為f(x)=x2/4+3x，投資B產(chǎn)品的收益函數(shù)為g(x)=6lnx+8x，其中x為投入資金（單位：萬元）。該公司現(xiàn)有10萬元資金，問如何分配資金才能使總收益最大？最大收益是多少？（精確到0.01萬元）四、選做題（本大題共2小題，每題10分，考生任選一題作答）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}（θ為參數(shù)）。（1）求曲線C的普通方程；（2）過點P(2,0)作直線l交曲線C于A、B兩點，若|PA|·|PB|=4/5，求直線l的斜率。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案與解析一、選擇題A2.B3.B4.C5.A6.B7.A8.B9.B10.A二、填空題-2,312.0或√3/313.0.314.24/2515.f(x)=2sin(2x+π/6)16.an=2n+1-n-2三、解答題（1）f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x=1+√3/2sin2x+1/2cos2x+1/2=3/2+sin(2x+π/6)，所以最小正周期T=π，單調(diào)遞增區(qū)間為[-π/3+kπ,π/6+kπ]（k∈Z）。（2）當(dāng)x∈[0,π/2]時，2x+π/6∈[π/6,7π/6]，sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]，所以f(x)的值域為[1,5/2]。（1）連接A1C交AC1于點O，連接OD，則OD//A1B，又OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B//平面ADC1。（2）以A為原點，AB、AC、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求得二面角A1-AD-C1的余弦值為√3/3。（1）K2=100×(30×40-20×10)2/(50×50×40×60)=100×100002/60000000≈16.667>3.841，所以有95%的把握認為學(xué)生的體能測試是否優(yōu)秀與性別有關(guān)。（2）X的可能取值為0,1,2,3，P(X=0)=1/120，P(X=1)=1/8，P(X=2)=3/10，P(X=3)=1/6，E(X)=9/5。（1）由題意得{c/a=√3/2,4/a2+1/b2=1,a2=b2+c2}，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理及OA⊥OB得m2=8k2+2/5，再由弦長公式及點到直線距離公式得S△AOB=√(16k?+16k2+4)/5≤√(2×(16k?+16k2+4+1))/5=√2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1/2時取等號，所以△AOB面積的最大值為√2。（1）f'(x)=1/x-a，當(dāng)a≤0時，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（2）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2/a-x)，證明F(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，從而有F(x1)<F(1/a)=0，即f(x1)<f(2/a-x1)，又f(x1)=f(x2)=0，所以f(x2)<f(2/a-x1)，再由函數(shù)單調(diào)性得x2>2/a-x1，即x1+x2>2/a。設(shè)投資A產(chǎn)品x萬元，則投資B產(chǎn)品(10-x)萬元，總收益R(x)=x2/4+3x+6ln(10-x)+8(10-x)=x2/4-5x+80+6ln(10-x)，求導(dǎo)得R'(x)=x/2-5-6/(10-x)，令R'(x)=0，解得x=4，所以當(dāng)投資A產(chǎn)品4萬元，投資B產(chǎn)品6萬元時，總收益最大，最大收益約為44.61萬元。（1）曲線C的普通方程為x2/4+y2=1。（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為{x=2+tcosθ,y=tsinθ}（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程得(1+3sin2θ)t2+4tcosθ=0，由|PA|·|PB|=|t1t2|=4/(1+3sin2θ)=4/5，解得sinθ=±√3/3，所以直線l的斜率k=±1/√2=±√2/2。（1）當(dāng)x<-2時，f(x)=-2x-1≤5，解得-3≤x<-2；當(dāng)-2≤x≤1時，f(x)=3≤5恒成立；當(dāng)x>1時，f(x)=2x+1≤5，解得1<x≤2，所以不等式f(x)≤5的解集為[-3,2]。（2）f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，所以a2-2a≤3，解得-1≤a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為