2025年上學期高二數學周測（第九周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函數(f(x)=\ln(x^2-4x+5)+\sqrt{3-2x})的定義域是（）A.((-\infty,\frac{3}{2}])B.((-\infty,1)\cup(5,+\infty))C.((-\infty,1])D.([\frac{3}{2},5))已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則實數(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2函數(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,2])上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.-4已知等比數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=±\sqrt{2}x)B.(y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=±2x)D.(y=±\frac{1}{2}x)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（注：三視圖中，主視圖和左視圖為直角三角形，俯視圖為矩形）A.8cm3B.12cm3C.16cm3D.24cm3已知函數(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(\omega)和(\varphi)的值分別為（）（注：圖象過點((0,\frac{1}{2}))，且相鄰對稱軸之間的距離為(\pi)）A.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{6})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{3})D.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{6})已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y+1)^2=4)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(±\sqrt{3})B.(\sqrt{3})C.(-\sqrt{3})D.(±\frac{\sqrt{3}}{3})若函數(f(x)=e^x-ax-1)在(R)上單調遞增，則實數(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,0])B.([0,+\infty))C.((-\infty,e])D.([e,+\infty))已知定義在(R)上的奇函數(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(x\in[0,1])時，(f(x)=x^3)，則(f(2025)=)（）A.-1B.0C.1D.2025二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）曲線(y=x^2-\lnx)在點((1,1))處的切線方程為________。若(\tan\theta=2)，則(\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=)________。已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，準線為(l)，過點(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，若(|AF|=3)，則(|BF|=)________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=2^{a_n})，求數列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(\cosA=\frac{3}{5})，(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6)。（1）求(\triangleABC)的面積；（2）若(b+c=7)，求(a)的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別是棱(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱錐(A_1-BDE)的體積。（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極值，且在(x=2)處的切線方程為(y=12x-15)。（1）求函數(f(x))的解析式；（2）求函數(f(x))在區(qū)間([-2,3])上的最值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\inR)）。（1）討論函數(f(x))的單調性；（2）若函數(f(x))有兩個零點(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求證：(x_1+x_2>2)。參考答案及評分標準（以下內容僅為補充說明，實際試卷中無需呈現）一、選擇題A2.A3.C4.A5.C6.A7.A8.A9.D10.A11.A12.C二、填空題(y=x)14.315.(\frac{3}{2})16.(\sqrt{7})三、解答題（1）設等差數列({a_n})的公差為(d)，由(a_3=5)，(S_5=25)，得(\begin{cases}a_1+2d=5\5a_1+10d=25\end{cases})，解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，則(T_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cosA=6)，得(bc=10)，又(\sinA=\frac{4}{5})，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=4)。（6分）（2）由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=(b+c)^2-2bc(1+\cosA)=49-2\times10\times\frac{8}{5}=25)，故(a=5)。（12分）（1）連接(A_1B,A_1C)，易證(DE\parallelA_1B)，又(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）(V_{A_1-BDE}=V_{E-A_1BD}=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1BD}\cdoth=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times1=\frac{2}{3})。（12分）（1）由題意得(f'(-1)=0)，(f'(2)=12)，(f(2)=9)，解得(a=-3)，(b=0)，(c=-5)，故(f(x)=x^3-3x^2-5)。（6分）（2）(f'(x)=3x(x-2))，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)，計算得(f(-2)=-25)，(f(0)=-5)，(f(2)=-9)，(f(3)=4)，故最大值為4，最小值為-25。（12分）（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(a=2b)，將點((2,1))代入橢圓方程得(b^2=2)，(a^2=8)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）聯立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，得(2m^2=4k^2+1)，則(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(4k^2+1-m^2)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{2(1+k^2)}}{2m^2})，原點到直線的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，故(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{2})（定值）。（12分）（1）(f'(x)=\frac{1}{x}-a)，當(a\leq0)時，(f(x))在((0,+\infty))上單調遞增；當(a>0)時，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))上單調遞增，在((\frac{1}{a},+\infty))上單調遞減。（6分）（2）由題意得(\lnx_1-ax_1+1=0)，(\lnx_2-ax_