2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“空間中的平行與垂直”小專題試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）若m為直線，α、β為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若m∥α，n?α，則m∥nB.若m⊥α，m⊥β，則α⊥βC.若α∥β，m⊥α，則m⊥βD.若m?α，α⊥β，則m⊥β在正三棱柱ABC-A?B?C?中，D為BC中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.AD⊥B?C?B.A?D∥平面BCC?B?C.AC⊥平面ABB?A?D.平面A?AD⊥平面BCC?B?設(shè)m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，α⊥β，則m∥βC.若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為線段B?D?上的動點(diǎn)，則下列直線中與直線CE夾角為定值的是（）A.直線A?AB.直線BC?C.直線BDD.直線CD?若平面α截球O所得截面圓的面積為4π，且球心O到平面α的距離為√5，則球O的表面積為（）A.9πB.16πC.25πD.36π已知直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB⊥AC，AB=AC=AA?=2，M為CC?中點(diǎn)，則異面直線A?M與BC所成角的余弦值為（）A.√10/10B.√5/5C.3√10/10D.2√5/5軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐，若直角圓錐底面圓的半徑為1，則其內(nèi)接正方體的棱長為（）A.√2-1B.2-√2C.√3-1D.√2/2在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為PC中點(diǎn)，則直線BD與平面AED所成角的正弦值為（）A.1/3B.√3/3C.√6/3D.2/3二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）在正四棱臺ABCD-A?B?C?D?中，AB=2A?B?=4，臺體的高為1，則下列結(jié)論正確的有（）A.A?C?∥平面ABCDB.棱AA?的長為√2C.直線A?B與直線AD所成角的余弦值為1/4D.該棱臺的體積為28/3已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題正確的有（）A.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB.若m⊥α，n⊥α，則m∥nC.若m∥α，m∥β，則α∥βD.若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，則m∥n在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱A?B?，B?C?，C?D?上，且A?E=B?F=C?G=λ（0<λ<2），則下列說法正確的有（）A.當(dāng)λ=1時，平面EFG∥平面ABC?D?B.直線BD?⊥平面EFG恒成立C.三棱錐D-EFG的體積為定值D.當(dāng)λ=1/2時，平面EFG截正方體所得截面為正六邊形如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，D，E分別為BC，PC中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.DE⊥平面PACB.異面直線AD與PB所成角的余弦值為√5/5C.三棱錐E-ABD的體積為√3/2D.存在點(diǎn)F在棱PB上，使得AF⊥平面PBC三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）如圖，在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AC=4√2，DB?=9，則該正四棱柱的體積為________．一個底面半徑為3，高為6的封閉圓柱形容器內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為________．在棱長為3的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M為棱A?D?上一點(diǎn)，且A?M=1，過點(diǎn)M作平面α平行于平面AB?C，則平面α截正方體所得截面的面積為________．已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，將菱形沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，E為線段AC上一點(diǎn)，且AE=2EC，則異面直線BE與AD所成角的余弦值為________．四、解答題（共6小題，共70分）（10分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)面BCC?B?為矩形，AC=BC=2，∠ACB=90°，A?B⊥B?C．（1）求證：平面A?BC⊥平面ABC?；（2）若AA?=3，求點(diǎn)C到平面A?AB的距離．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為PC，PD的重心．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）若PA=√3，求二面角E-BD-F的余弦值．（12分）如圖，在通用技術(shù)課上，老師提供了一個木質(zhì)正四棱錐P-ABCD模型，所有棱長均為6，點(diǎn)E在棱PB上，滿足PE=2EB，點(diǎn)F在棱PC上．（1）試在棱PC上確定一點(diǎn)G，使得FG∥平面PAE，并說明理由；（2）求直線DE與平面PAC所成角的正弦值．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=4，∠BAC=90°，M，N分別為A?B，AC的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥平面A?BC；（2）在線段B?C?上是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成銳二面角的余弦值為√3/3？若存在，求出B?P的長；若不存在，說明理由．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，DE=CF=3，M為BC中點(diǎn)．（1）證明：AM∥平面BEF；（2）求平面AEF與平面BDF所成銳二面角的余弦值；（3）設(shè)Q為線段EF上一點(diǎn)，且EQ=λEF，若DQ⊥平面AEF，求λ的值．（12分）如圖，在圓錐PO中，O是底面圓心，AB是底面直徑，AB=2，PO=√3，點(diǎn)C在底面圓周上，且∠AOC=60°，D為AC中點(diǎn)．（1）證明：OD∥平面PBC；（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離；（3）設(shè)點(diǎn)E在母線PC上，當(dāng)AE與平面PAB所成角的正弦值為√15/5時，求PE的長．參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分題型）一、單選題C2.C3.D4.B5.D6.A7.B8.C二、多選題ACD10.BD11.ABC12.BCD三、填空題7214.3/215.3√316.√13/13四、解答題（要點(diǎn)提示）17.（1）通過證明B?C⊥平面A?BC得證；（2）利用等體積法求得距離為6√10/5．18.（1）連接EF，通過重心性質(zhì)證明EF∥CD∥AB；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得余弦值為√7/7．19.（1）取PG=2GC；（2）通過等體積法或空間向量求得正弦值為√6/3．20.（1）建立坐標(biāo)系證明MN·A?B=0且MN·BC=0；（2）存在點(diǎn)P，B?P=√2．21.（1）構(gòu)造平行四邊形AMNG；（2）余弦值為√10/10；（3）