2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學納米材料”中的數(shù)學知識試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）納米顆粒尺寸與比表面積計算某球形納米顆粒直徑為10nm（1nm=10??m），其體積與表面積的數(shù)值之比（單位均為國際單位制）為（）A.1/3×10??B.1/6×10??C.2.5×10??D.5×10??納米管陣列的排列規(guī)律碳納米管在基底表面形成正六邊形密堆積結(jié)構(gòu)，相鄰管中心間距為20nm。若以其中一根納米管為原點建立平面直角坐標系，則與原點距離最近的6根納米管的坐標不可能是（）A.(20,0)B.(10,10√3)C.(-10,10√3)D.(10√3,10)納米材料制備中的概率問題溶膠-凝膠法制備納米顆粒時，某批次產(chǎn)品中粒徑合格的概率為0.9，現(xiàn)隨機抽取5個樣品，至少有4個合格的概率為（）A.0.91?B.C??×0.9?×0.1+0.9?C.C??×0.9?×0.1D.0.9?×0.1納米薄膜的厚度控制采用氣相沉積法制備納米薄膜，厚度y（nm）與沉積時間t（min）的關系滿足y=2t+0.5t2。當t=5min時，薄膜厚度的瞬時增長率為（）A.7nm/minB.10nm/minC.12nm/minD.15nm/min納米傳感器的信號處理某納米生物傳感器輸出信號y與目標分子濃度x（mol/L）的關系為y=k·ln(x)+b。當x=10??mol/L時y=20；x=10?3mol/L時y=80，則k的值為（）A.20B.30C.60/ln1000D.60/ln10納米復合材料的密度計算某種納米復合材料由體積占比30%的Al?O?（密度3.97g/cm3）和70%的SiO?（密度2.65g/cm3）組成，忽略界面體積效應，該復合材料的理論密度為（）A.3.02g/cm3B.3.21g/cm3C.3.48g/cm3D.3.65g/cm3納米顆粒的布朗運動納米顆粒在液體中的擴散系數(shù)D=kBT/(6πηr)，其中kB為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度，η為黏度，r為顆粒半徑。若溫度從298K升至308K，其他條件不變，擴散系數(shù)增大的百分比約為（）A.3.3%B.5.2%C.10%D.15%碳納米管的力學性能單根碳納米管的拉伸強度σ（單位：GPa）與直徑d（nm）的關系為σ=20/d+5。當直徑從2nm增至5nm時，強度的平均變化率為（）A.-3GPa/nmB.-2GPa/nmC.2GPa/nmD.3GPa/nm納米材料的X射線衍射根據(jù)布拉格方程2dsinθ=λ，某納米晶體的晶面間距d=0.2nm，用波長λ=0.154nm的X射線照射，產(chǎn)生衍射峰的最小衍射角θ滿足（）A.sinθ=0.385B.cosθ=0.385C.tanθ=0.385D.cotθ=0.385納米器件的電路設計某納米傳感器陣列包含100個并聯(lián)單元，每個單元的電阻R_i（GΩ）服從正態(tài)分布N(2,0.12)。則該陣列總電阻的期望值為（）A.0.02GΩB.0.2GΩC.2GΩD.200GΩ二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）納米顆粒的分形維數(shù)某納米團聚體的質(zhì)量M與特征尺寸L的關系為M∝L2.?，其分形維數(shù)D=______（分形維數(shù)公式：M∝L?）。納米管的螺旋參數(shù)單壁碳納米管的螺旋角θ滿足tanθ=ch/a，其中ch為螺旋上升高度，a為六邊形邊長（0.246nm）。若某碳納米管每旋轉(zhuǎn)1圈上升0.6nm，則tanθ=______（保留兩位小數(shù)）。納米薄膜的光吸收光透過納米TiO?薄膜的強度I與厚度d的關系為I=I?e???。當厚度為50nm時透過率I/I?=0.1，則吸收系數(shù)k=______nm?1（ln10≈2.303）。納米材料的比表面積邊長為1cm的立方體塊體材料，分割為邊長10nm的納米立方體顆粒后，總表面積為______cm2（1cm=10?nm）。三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（12分）納米顆粒的尺寸分布某批次納米銀顆粒的粒徑X（nm）服從正態(tài)分布N(50,42)，試求：（1）粒徑落在[46,58]范圍內(nèi)的概率；（已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）（2）若從中隨機選取100個顆粒，粒徑大于54nm的顆粒數(shù)的期望值。（14分）碳納米管陣列的幾何設計在硅基底上制備碳納米管陣列，要求在10μm×10μm的區(qū)域內(nèi)均勻分布N根納米管，形成正方形網(wǎng)格。（1）若相鄰管間距為d（μm），寫出N關于d的函數(shù)關系式；（2）當d=0.5μm時，計算該區(qū)域內(nèi)可容納的納米管數(shù)量；（3）若每根納米管的直徑為20nm，求該陣列的面積填充率（填充率=總橫截面積/基底面積）。（14分）納米催化劑的反應動力學納米TiO?催化降解有機物的速率方程為v=k·c^m·p^n，其中c為有機物濃度，p為氧氣分壓。實驗數(shù)據(jù)如下：實驗序號c(mol/L)p(atm)v(mol·L?1·min?1)10.10.50.0220.20.50.0430.11.00.04（1）求反應級數(shù)m和n；（2）計算速率常數(shù)k；（3）當c=0.3mol/L，p=0.8atm時，求反應速率v。（14分）納米材料的力學性能測試對某納米纖維進行拉伸試驗，得到應力σ（MPa）與應變ε的關系曲線：當ε≤0.02時，σ=1000ε；當ε>0.02時，σ=5000ε-80。（1）求該纖維的彈性模量E（E=σ/ε，ε≤0.02時）；（2）計算當ε=0.03時的應力值；（3）若纖維截面積為5×10?12m2，求斷裂前的最大拉力（斷裂應變ε=0.05）。（14分）納米顆粒的沉降動力學納米顆粒在重力場中的沉降速度v=2r2(ρ-ρ?)g/(9η)，其中r為顆粒半徑，ρ為顆粒密度，ρ?為液體密度，g為重力加速度，η為黏度。（1）若某金納米顆粒（ρ=19.3g/cm3）在水中（ρ?=1g/cm3，η=1mPa·s）的沉降速度為5×10??m/s，求顆粒半徑r；（2）若顆粒半徑增大為原來的2倍，其他條件不變，沉降速度變?yōu)槎嗌?？?）當溫度升高導致黏度η減小為原來的0.8倍時，沉降速度如何變化？（14分）納米生物載體的藥物釋放納米脂質(zhì)體的藥物釋放符合Higuchi方程：Q=kt^(1/2)，其中Q為累積釋放量（μg），t為時間（h）。某實驗數(shù)據(jù)如下：t(h)14916Q(μg)20406080（1）驗證該釋放過程是否符合Higuchi方程；（2）確定釋放速率常數(shù)k；（3）預測t=25h時的累積釋放量，并計算前25h的平均釋放速率。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答）納米光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)二維光子晶體的能帶方程為ω2=c2(k?2+k?2)/(ε)，其中ω為頻率，c為光速，k?、k?為波矢分量，ε為介電常數(shù)。當ε=12時，求在k?=π/a，k?=0處的光子能量E（E=?ω，?=1.05×10?3?J·s，a=500nm）。納米材料的熱傳導納米線的熱導率κ=κ?·(1+αT)，其中κ?=100W·m?1·K?1，α=0.002K?1。當溫度從300K升至600K時，計算熱導率的變化量及平均溫度系數(shù)。（全卷共計230分）試題設計說明：覆蓋知識點：集合、函數(shù)（含導數(shù)）、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計、微積分初步等高中數(shù)學核心內(nèi)容。納米材料背景：涉及顆粒尺寸計算、材料表征（XRD、SEM）、制備工藝（溶