第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章綜合測(cè)試卷（提高篇）一．選擇題1．設(shè)fx是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若limh→0fx0?h?fA．?2a B．2a C．?a D．a(chǎn)【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)計(jì)算可得；【解答過(guò)程】解：f'故選：A.2．若函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，且滿足fx=2A．0 B．?1 C．?2 D．?4+2【解題思路】對(duì)fx求導(dǎo)，得到f'x=2f'1x【解答過(guò)程】由fx=2f'1lnx+2x，得f'x=2故選：D.3．為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解題思路】根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t1B選項(xiàng)，根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知，在t2B選項(xiàng)結(jié)論正確.C選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t2C選項(xiàng)結(jié)論正確.D選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t1在t2故選：D.4．若直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?3與g(x)=ex+2022?2022A．10111012 B．20222025 C．20252022【解題思路】設(shè)直線y=kx+b與fx的圖象相切于點(diǎn)P1x1,y1，與gx的圖象相切于點(diǎn)P2【解答過(guò)程】設(shè)直線y=kx+b與f(x)=ex?3的圖象相切于點(diǎn)P1x1又f'x=所以y1=e由點(diǎn)P1x1由點(diǎn)P2x2故ex解得x1?x2=20255．已知fx=?x2?cosx，若a=fe?34，b=fA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解題思路】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到b=fln54，c=f14，通過(guò)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得e?34>【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=?xf(?x)=?(?x)所以f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí),f'(x)=?2x+sin則g'(x)=?2+cosx，所以g(x)即f'(x)在[0,+∞所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又因?yàn)樗詅(x)在(?∞又因?yàn)閘n45<0,?c=f?又因?yàn)閑?34>e?1=所以lne14>ln54，即1故選：D.6．已知定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，對(duì)任意的x滿足f'x?fx=eA．1e,+∞ B．2,+∞ C．【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fxex，利用導(dǎo)數(shù)可得出g'x=1，可得出f【解答過(guò)程】構(gòu)造函數(shù)gx=fxe所以，gx=fxe則f'x=x+c+1ex，當(dāng)當(dāng)x>?c?1時(shí)，f'x>0所以，fxmin=f故fx=x?2ex所以，不等式fx>0的解集是故選：B.7．已知函數(shù)fx=ax?ax（a>1），且fx在A．1,2 B．1,e C．2,e 【解題思路】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlna?lnx?ln【解答過(guò)程】a>1，x∈1,2，由f(x)=0得，ax=ax，則x依題意，函數(shù)g(x)在1,2有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然g(1)=0，而g'(x)=ln則有l(wèi)na?1≤g'(x)≤lna?12，當(dāng)lna?1≥0或ln即有函數(shù)g(x)在1,2只有一個(gè)零點(diǎn)1，因此e<a<e，此時(shí)當(dāng)1≤x<1lna時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)1lna<x≤2時(shí)，要函數(shù)g(x)在1,2有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)g(x)在(1lna,2]上有一個(gè)零點(diǎn)，即有g(shù)(2)=lna?ln8．設(shè)函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，且f2x+1關(guān)于1,0對(duì)稱，若不等式fa?x2A．e?1 B．5 C．e+3【解題思路】由題意令F(x)=f2x+1關(guān)于1,0對(duì)稱，有F(1+x)+F(1?x)=0，由此變換化簡(jiǎn)得f(x)+f6?x=0，然后由fa?x【解答過(guò)程】設(shè)F(x)=f2x+1，所以F(x)關(guān)于1,0所以F(1+x)+F(1?x)=0所以f即f(3+2x)+f(3?2x)=0令t=3+2x?2x=t?3所以f(t)+f即f(x)+f所以f由不等式fa?即f?fa?因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義域?yàn)镽所以a?x即a≥x即求a≥x設(shè)g(x)=x所以g=x=2+x令h(x)=x所以h'因?yàn)閤>0，所以h'所以h(x)在x∈0,+又h(1所以h(x)在12,1上存在唯一的零點(diǎn)x0此時(shí)當(dāng)0<x<x0時(shí)，當(dāng)x>x0時(shí)，所以g(x)在0,x0單調(diào)遞減，在x所以g(x)因?yàn)閤0所以lnx所以g(x)所以a≥5，所以a有最小值：5，故選：B.二．多選題9．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)，若存在x0使得fx0=fA．fx=x B．fx=ex【解題思路】根據(jù)“巧值點(diǎn)”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可選擇.【解答過(guò)程】對(duì)A：fx=x，則f'(x)=1，令fx=對(duì)B：fx=ex，則f'(x)=ex，因?yàn)閒對(duì)C：fx=tanx，則f'(x)故fx對(duì)D：fx=1x定義域?yàn)閧x|x>0}，則f'顯然fx=f'故選：AB.10．已知函數(shù)fx=x3?2A．函數(shù)y=fx的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)y=fx的極小值是C．當(dāng)a>2時(shí)，對(duì)于任意的x>a，都有fD．函數(shù)y=fx的圖像有條切線方程為【解題思路】對(duì)函數(shù)fx=x3?2【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=x3?2所以fx的單調(diào)減區(qū)間為?令f'x=3x2?4x?4>0，則x<?23或在?23,2單調(diào)遞減，由f'a=3即x3??x2+故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．f'x=3x2?4x?4=3，解的x=?1當(dāng)x=73時(shí)切點(diǎn)73故選：AB．11．已知函數(shù)fx=2lnA．當(dāng)a=1時(shí)，x=1是y=fxB．當(dāng)a>1e時(shí)，C．當(dāng)a<12eD．若x1,x2是關(guān)于x【解題思路】對(duì)于A，代入a=1后對(duì)fx求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得證；對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù)gx=lnxx2【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)a=1時(shí)，fx=2ln令f'x>0，得0<x<1；令f所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1所以x=1是y=fx對(duì)于B，令fx=2ln令gx=ln令g'x=0故當(dāng)x∈0,e，g'x>0，gx單調(diào)遞增；當(dāng)所以gx因?yàn)閍>1e，所以a2>12e，故對(duì)于C，令a=0，則fx=2lnx，令fx對(duì)于D，因?yàn)閤1,x2是關(guān)于所以2lnx1所以問(wèn)題等價(jià)于lnt=at有兩個(gè)零點(diǎn)t1,不妨設(shè)t1>t2>0要證t1t2即只需證明：lnt只需證明：lnt1?令m=t1t2>1則s'm=m?12又s1=0，所以sm綜上所述，原不等式成立，即x1故選：ABD.三．填空題12．已知2fx+xf'x=2xcos2x+2【解題思路】在題中等式兩邊同乘x可得x2fx'=x2sin2x+【解答過(guò)程】因?yàn)?fx所以，2xfx即x2fx因?yàn)閤>0，則fx所以，fπ2=1+cπ因此，fπ故答案為：2.13．已知函數(shù)fx①當(dāng)fx有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為?②gx③設(shè)fx的極大值為M，極小值為m，若M+m=2，則b=2④若過(guò)點(diǎn)P1,1可以作fx圖象的三條切線，則b的取值范圍為其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為①②④.【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷①，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷②，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，判斷③，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷④.【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=?1所以當(dāng)x>1時(shí)，f'x<0，函數(shù)f當(dāng)?1<x<1時(shí)，f'x>0，函數(shù)f所以當(dāng)x<?1時(shí)，f'x<0，函數(shù)f又f'?1=f'1=0，所以函數(shù)fx在當(dāng)fx有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則?23+b<0,2gx=fx?b=?由?23+b+23設(shè)切點(diǎn)為x0則切線的斜率為?x02設(shè)hx=?2令h'x<0，解得x<0或x>1；令h可得hx在?∞,0和1,+∞上是減函數(shù)，在0,1上是增函數(shù)，可知hx要使?23x03+x02故所有正確說(shuō)法的序號(hào)為①②④.故答案為：①②④.14．已知函數(shù)f(x)=lnxx,g(①當(dāng)k>0時(shí)，x②當(dāng)k>0時(shí)，③當(dāng)k<0時(shí)，x④當(dāng)k<0時(shí)，x2【解題思路】根據(jù)f'(x)可求得f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，則可畫出f(x)的圖像；利用同構(gòu)可知f(x1)=g【解答過(guò)程】解：①f'令f'(x)>0得0<x<e，令f'(x)<0得x>e，f作圖如下：當(dāng)k>0時(shí)，由f(1)=0知：若?x1∈當(dāng)k<0時(shí)，若?x1∈(0,+∞)由g(x)=令g'(x)>0得x<1，g令g'(x)<0得x>1，g作出g(當(dāng)k>0時(shí)，由g(0)=0知：若?x2∈當(dāng)k<0時(shí)，若?x2∈R∴當(dāng)k>0時(shí)，x1+②當(dāng)k>0時(shí)，由fx1=g∴x1,e作出y=由圖象易知：x1或ex2均可趨向于+∞③當(dāng)k<0時(shí)，由①的討論知：x2<0∴x1+④當(dāng)k<0時(shí)，此時(shí)x1∈(0,1)，由∴x2=ln∴要求x2x1令h(k)=令ek+kek=0，解得：k=-1，易知k故答案為：①③④．四．解答題15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=23x+1；(2)y=1?2x3；(3)y=ln2x+1；(4)【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本函數(shù)的求導(dǎo)公式逐個(gè)求解即可.【解答過(guò)程】（1）函數(shù)y=23x+1可以看作函數(shù)y=2∴yx'=（2）函數(shù)y=1?2x3可以看作函數(shù)y=u∴yx'=（3）函數(shù)y=ln2x+1可以看作函數(shù)y=ln∴yx'=（4）函數(shù)y=cosx3可以看作函數(shù)y=∴yx'=（5）函數(shù)y=sin3π2?3x可以看作函數(shù)∴yx'=（6）函數(shù)y=22x+1可以看作函數(shù)y=2∴yx'=16．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)若a<0，討論y=fx【解題思路】（1）先將a=3代入得到y(tǒng)=fx，并求出f（2）先求出y=fx的導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行因式分解，可得到一個(gè)含參的二次式，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得到函數(shù)y=f【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍=3，所以fx=x因?yàn)閒'x=3又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)1,1，所以切線方程為y?1=6x?1，即6x?y?5=0故當(dāng)a=3時(shí)，曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為（2）因?yàn)閒x=1f'令f'x=0，解得x=?2當(dāng)1a=?2時(shí)，即a=?1所以函數(shù)y=fx在區(qū)間?當(dāng)1a<?2，即令f'x<0，解得x<1a或x>?2，所以函數(shù)y=f令f'x>0，解得1a<x<?2當(dāng)1a>?2，即令f'x<0，解得x<?2或x>1a，所以函數(shù)y=f令f'x>0，解得?2<x<1a綜上所述，當(dāng)a=?12時(shí)，函數(shù)y=fx當(dāng)?12<a<0時(shí)，函數(shù)y=fx在區(qū)間?∞當(dāng)a<?12時(shí)，函數(shù)y=fx在區(qū)間?∞,?217．已知函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)F(x)=f(x)?x2+ax2+1(a<0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F(x)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)F(x)max，得x0=?a；設(shè)h(x)=lnx?x(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性求出h(x)max，可得lnx<x，有【解答過(guò)程】（1）由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞f'令f'(x)<0?0<x<1，令所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，無(wú)極大值，且極小值為f(1)=1；（2）F(x)=x2?2F'令F'(x)>0?0<x<?a所以函數(shù)F(x)在(0,?a)上單調(diào)遞增，在故F(x)所以x0=?a又函數(shù)F(x)在(0,+∞)上有2個(gè)零點(diǎn)所以F(x)max=F(設(shè)h(x)=lnx?x(x>0)，則令h'(x)>0?0<x<1，令所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞故h(x)max=h(1)=?1<0，即h(x)<0所以2F(x又F(x1)=?2兩式相減，得?1a=要證?2a<即證lnx22令x22x設(shè)g(t)=lnt?2(t?1)所以函數(shù)g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，有即lnt>2(t?1)t+1在(1,+綜上，2F(x18．已知函數(shù)fx(1)若a≤0，討論fx(2)若0<a<（i）證明fx（ii）設(shè)x0為fx的極值點(diǎn)，x1為fx的零點(diǎn)且【解題思路】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（i）根據(jù)解析式可知：f(0)=0，然后結(jié)合（1）對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)在0,+∞（ii）由f'x=0得到1a=x0+12【解答過(guò)程】（1）由題意可知：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+∞則f'當(dāng)a≥時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在（2）（i）由題意可知：f(0)=0，由（1）知：f'則f″(x)=?1(x+1)2當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，f'(x)>f'(0)=1?a易證當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，ln(x+1)≤x下證：當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，令g(x)=ln(x+1)?x，則當(dāng)?1<x<0時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，所以g(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞故g(x)≤g(0)=0，也即ln(x+1)≤x，故e當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f'f'所以存在唯一的x0∈0,函數(shù)f(x)在0,x0上單調(diào)遞增，在fx所以在0,+∞綜上：函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由f'x=0由fx1=0得到所以由ex0+1+2即2lnx0+1