專題07函數(shù)考點(diǎn)01平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)1．（2025?湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度到處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題主要考查點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律是關(guān)鍵．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律，向右平移時(shí)橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)不變，即可解題．【詳解】解：點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)需加3，即，縱坐標(biāo)2保持不變，∴平移后的點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．2．（2025?湖南）甲、乙兩人在一次100米賽跑比賽中，路程（米）與時(shí)間（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，填（“甲”或“乙”）先到終點(diǎn)：【答案】甲【知識(shí)點(diǎn)】從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．從函數(shù)圖象可知甲乙跑完全程的時(shí)間，即可確定答案．【詳解】解：根據(jù)圖象可得甲到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)秒，乙到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)秒，∴甲先到達(dá)終點(diǎn)，故答案為：甲．3．（2023?婁底）函數(shù)y=x+1的自變量x的取值范圍是x≥﹣1【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案為：x≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，熟記二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?岳陽(yáng)）函數(shù)y=1x?2中，自變量x的取值范圍是x【分析】根據(jù)分母不為0可得：x﹣2≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案為：x≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分母不為0是解題的關(guān)鍵．5．（2023?永州）小明觀察到一個(gè)水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費(fèi)情況，小明用一個(gè)帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作延誤，開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如表的一組數(shù)據(jù)：時(shí)間t（單位：分鐘）12345…總水量y（單位：毫升）712172227…（1）探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷y=kt和y＝kt+b（k，b為常數(shù)）哪一個(gè)能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系？并求出y關(guān)于（2）應(yīng)用：①請(qǐng)你估算小明在第20分鐘測(cè)量時(shí)量筒的總水量是多少毫升？②一個(gè)人一天大約飲用1500毫升水，請(qǐng)你估算這個(gè)水龍頭一個(gè)月（按30天計(jì)）的漏水量可供一人飲用多少天．【分析】（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，可知y與t成一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出該函數(shù)關(guān)系式；（2）①當(dāng)t＝20時(shí)，求出y的值即可；②當(dāng)t＝24×60＝1440分鐘時(shí)，求出y的值，即可求出答案．【解答】解：（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，y＝kt+b（k，b為常數(shù)）能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，∵當(dāng)t＝1時(shí)，y＝7，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝12，∴k+b=72k+b=12∴k=5b=2∴y＝5t+2；（2）①當(dāng)t＝20時(shí)，y＝100+2＝102，即估算小明在第20分鐘測(cè)量時(shí)量筒的總水量是102毫升；②當(dāng)t＝24×60＝1440分鐘時(shí)，y＝5×1440+2＝7202（毫升），當(dāng)t＝0時(shí)，y＝2，∴7200×301500答：估算這個(gè)水龍頭一個(gè)月（按30天計(jì)）的漏水量可供一人飲用144天．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．考點(diǎn)02一次函數(shù)1．（2024?長(zhǎng)沙）對(duì)于一次函數(shù)y＝2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（）A．它的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，﹣1） B．y隨x的增大而減小 C．當(dāng)x＞12時(shí)，yD．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答．【解答】解：A．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，則它的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，﹣1），故本選項(xiàng)符合題意；B．y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)x＞12時(shí)，D．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?長(zhǎng)沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系分別判斷即可．【解答】解：在一次函數(shù)y＝2x+1中，∵2＞0，∴y隨著x增大而增大，故A不符合題意；在一次函數(shù)y＝x﹣4中，∵1＞0，∴y隨著x增大而增大，故B不符合題意；在一次函數(shù)y＝2x中，∵2＞0，∴y隨著x增大而增大，故C不符合題意；在一次函數(shù)y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y隨著x增大而減小，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?郴州）第11屆中國(guó)（湖南）礦物寶石國(guó)際博覽會(huì)在我市舉行，小方一家上午9：00開(kāi)車前往會(huì)展中心參觀．途中汽車發(fā)生故障，原地修車花了一段時(shí)間．車修好后，他們繼續(xù)開(kāi)車趕往會(huì)展中心．以下是他們家出發(fā)后離家的距離s與時(shí)間的函數(shù)圖象．分析圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）A．途中修車花了30min B．修車之前的平均速度是500m/min C．車修好后的平均速度是80m/min D．車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍【分析】根據(jù)圖象即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度”即可判斷B和C選項(xiàng)，進(jìn)一步可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：由圖象可知，途中修車時(shí)間是9：10到9：30共花了20min，故A不符合題意；修車之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合題意；車修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合題意；900÷600＝1.5，∴車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的含義是解題的關(guān)鍵．4．（2023?益陽(yáng)）關(guān)于一次函數(shù)y＝x+1，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1） C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小 D．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＜0【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行分析判斷即可做出選擇．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故A不正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），故B正確；∵一次函數(shù)y＝x+1中，k＞0，∴函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故C不正確；∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y＜0，故D不正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023?婁底）將直線y＝2x+1向右平移2個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：直線y＝2x+1向右平移2個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023?郴州）在一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+3中，y隨x的增大而增大，則k的值可以是3（答案不唯一）（任寫一個(gè)符合條件的數(shù)即可）．【分析】由y隨x的增大而增大，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出k﹣2＞0，解之即可得出k的值，再取其內(nèi)的任意一值即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+3的圖象中，y隨x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以為3．故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．7．（2023?湘西州）2023年“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為社會(huì)關(guān)注的熱門話題，“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”有著啟動(dòng)資金少、管理成本低等優(yōu)點(diǎn)，特別是在受到疫情沖擊后的經(jīng)濟(jì)恢復(fù)期，“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”更是成為許多創(chuàng)業(yè)者的首選，甲經(jīng)營(yíng)了某種品牌小電器生意，采購(gòu)2臺(tái)A種品牌小電器和3臺(tái)B種品牌小電器，共需要90元；采購(gòu)3臺(tái)A種品牌小電器和1臺(tái)B種品牌小電器，共需要65元．銷售一臺(tái)A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺(tái)B種品牌小電器獲利4元．（1）求購(gòu)買1臺(tái)A種品牌小電器和1臺(tái)B種品牌小電器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超過(guò)2850元的資金一次性購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌小電器共150臺(tái)，求購(gòu)進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍．（3）在（2）的條件下，所購(gòu)進(jìn)的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤(rùn)不少于565元，請(qǐng)說(shuō)明甲合理的采購(gòu)方案有哪些？并計(jì)算哪種采購(gòu)方案獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）列方程組即可求出兩種風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)，（2）列一元一次不等式組求出取值范圍即可，（3）再求出利潤(rùn)和自變量之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的增減性確定當(dāng)自變量為何值時(shí)，利潤(rùn)最大，由關(guān)系式求出最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)A、B型品牌小電器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)題意得：2x+3y=903x+y=65解得：x=15y=20答：A、B型品牌小電器每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為15元、20元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型品牌小電器a臺(tái)，由題意得：15a+20(150?a)≤285015a+20(150?a)≥2750解得30≤a≤50，答：購(gòu)進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍30≤a≤50．（3）設(shè)獲利為w元，由題意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，∵所購(gòu)進(jìn)的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤(rùn)不少于565元，∴﹣a+600≥565，解得：a≤35，∴30≤a≤35，∵w隨a的增大而減小，∴當(dāng)a＝30臺(tái)時(shí)獲利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，答：A型30臺(tái)，B型120臺(tái)，最大利潤(rùn)是570元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組解法和應(yīng)用以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，搞清這些知識(shí)之間的相互聯(lián)系是解決問(wèn)題的前提和必要條件．8．（2023?湘潭）我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時(shí)31分，神舟十六號(hào)載人飛船成功發(fā)射．某玩具店抓住商機(jī)，先購(gòu)進(jìn)了1000件相關(guān)航天模型玩具進(jìn)行試銷，進(jìn)價(jià)為50元/件．（1）設(shè)每件玩具售價(jià)為x元，全部售完的利潤(rùn)為y元．求利潤(rùn)y（元）關(guān)于售價(jià)x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)售價(jià)定為60元/件時(shí)，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤(rùn)的20%用于支持某航模興趣組開(kāi)展活動(dòng)，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費(fèi)恰好10000元，請(qǐng)問(wèn)該商店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了多少件航天模型玩具？【分析】（1）根據(jù)每件的利潤(rùn)×件數(shù)＝總利潤(rùn)求解即可；（2）設(shè)該商店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了m件航天模型玩具，根據(jù)資助經(jīng)費(fèi)恰好10000元，列方程，求解即可．【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；（2）設(shè)該商店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了m件航天模型玩具，（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，解得m＝4000，答：該商店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了4000件航天模型玩具．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立相應(yīng)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．9．（2023?湘西州）如圖（1）所示，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上食堂離小明家0.6km，圖書館離小明家0.8km．小明從家出發(fā)，勻速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接著勻速步行了3min去圖書館讀報(bào)；讀完報(bào)以后接著勻速步行了10min回到家．圖（2）反映了這個(gè)過(guò)程中，小明離家的距離y與時(shí)間x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題：（1）填空：①食堂離圖書館的距離為0.2km；②小明從圖書館回家的平均速度是0.08km/min；③小明讀報(bào)所用的時(shí)間為30min．④小明離開(kāi)家的距離為23km時(shí)，小明離開(kāi)家的時(shí)間為26或1793（2）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【分析】（1）{a}①由圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出食堂離小明家的距離和小明從家到食堂用的時(shí)間；②根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，用路程除以時(shí)間即可得解；③用58減去28即可得解；④設(shè)小明離開(kāi)家的距離為23km時(shí)，小明離開(kāi)家的時(shí)間為x（2）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法分別求出當(dāng)0≤x≤8、8＜x＜25和25≤x≤28時(shí)三段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式即可．【解答】解：（1）①0.8﹣0.6＝0.2（km），∴小食堂離圖書館的距離為0.2km，故答案為：0.2；②根據(jù)題意，68﹣58＝10（min），∴小明從圖書館回家的平均速度是0.810故答案為：0.08；③58﹣28＝30（min），故答案為：30；④設(shè)小明離開(kāi)家的距離為23km時(shí)，小明離開(kāi)家的時(shí)間為x當(dāng)去時(shí)，小明離開(kāi)家的距離為23∵23∴小明到食堂時(shí)，小明離開(kāi)家的距離為不足23由題意得23解得x＝26，當(dāng)返回時(shí)，離家的距離為23根據(jù)題意得23解得x=179故答案為：26或1793（2）設(shè)0≤x≤8時(shí)y＝kx，∵y＝kx過(guò)（8，0.6），∴0.6＝8k，解得340∴0≤x≤8時(shí)y=340由圖可知，當(dāng)8＜x＜25時(shí)y＝0.6，設(shè)25≤x≤28時(shí)，y＝mx+n，∵y＝mx+n過(guò)（25，0.6），（28，0.8），∴0.6=25m+n0.8=28m+n解得m=1∴y=1綜上所述，當(dāng)0≤x≤28時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象、一元一次方程的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2023?株洲）某花店每天購(gòu)進(jìn)16支某種花，然后出售，如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進(jìn)行作廢處理．該花店記錄了10天該種花的日需求量（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計(jì)如下表：日需求量n131415161718天數(shù)112411（1）求該花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；（2）當(dāng)n＜16時(shí)，日利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為：y＝10n﹣80；當(dāng)n≥16時(shí)，日利潤(rùn)為80元．①當(dāng)n＝14時(shí)，問(wèn)該花店這天的利潤(rùn)為多少元？②求該花店這10天中日利潤(rùn)為70元的日需求量的頻率．【分析】（1）根據(jù)表格求解；（2）把n＝14代入求解；（3）把y＝70代入求解．【解答】解：（1）1+1+2＝4，答：花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)為4天；（2）①當(dāng)n＝14時(shí)，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60，答：當(dāng)n＝14時(shí)，該花店這天的利潤(rùn)為60元；②當(dāng)n＜16時(shí)，70＝10n﹣80，解得：n＝15，當(dāng)n＝15時(shí)，有2天，∴210答：該花店這10天中日利潤(rùn)為70元的日需求量的頻率為15【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)03反比例函數(shù)1．（2025?湖南）對(duì)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在在該函數(shù)的圖象上B．該函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)的增減性、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在它的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；、由可知，它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)不符合題意；、當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)不符合題意；、當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故符合題意；故選：D．2．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當(dāng)F為定值時(shí)，如圖中大致表示壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖形即可．【解答】解：∵壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．∴當(dāng)F為定值時(shí)，壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例的應(yīng)用，關(guān)鍵是會(huì)判斷函數(shù)圖象．3．（2023?懷化）如圖，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）的直線AB相交于A、B兩點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)C為x軸上任意一點(diǎn)．如果S△ABC＝9，那么點(diǎn)A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）【分析】利用待定系數(shù)法求得兩函數(shù)的解析式，然后解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：把點(diǎn)A（1，3）代入y=kx（k＞0）得，3∴k＝3，∴反比例函數(shù)為y=3設(shè)直線AB為y＝ax+b，代入點(diǎn)D（﹣1，0），A（1，3）得?a+b=0a+b=3解得a=3∴直線AB為y=32x解y=3xy=32∴B（﹣2，?3∵S△ABC＝9，∴S△ACD+S△BCD=1∴CD＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（3，0）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的求法，三角形面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．4．（2023?湘潭）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥y軸于點(diǎn)N，若四邊形AMON的面積為2．則A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】依據(jù)題意，根據(jù)四邊形面積與反比例函數(shù)的關(guān)系即可得解．【解答】解：由題意，設(shè)A（a，b），∴ab＝k．又S四邊形ANOM＝2＝ab，∴k＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟悉題意學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．5．（2023?張家界）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在AB上，且AD=14AB，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及矩形OABC的對(duì)稱中心M，連接OD，OM，DM．若△A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)矩形對(duì)稱中心的性質(zhì)得出延長(zhǎng)OM恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，M（a2，b2），確定D（a4，b），然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S【解答】解：解法一：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵矩形OABC的對(duì)稱中心M，∴延長(zhǎng)OM恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，M（a2，b∵點(diǎn)D在AB上，且AD=14∴D（a4，b∴BD=34∴S△BDM=12BD?h=12×34a∵D在反比例函數(shù)的圖象上，∴14ab＝k∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM=12ab?12∴ab＝16，∴k=14解法二：連接BM，因?yàn)辄c(diǎn)M是矩形的對(duì)稱中心，∴三角形DMO的面積＝三角形DMB的面積，則三角形DBO的面積為6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面積：三角形DBO的面積為1：3，即三角形ADO的面積為2，∴K＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?湘西州）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到S△ADO=12×2=1，S矩形OCBD＝3，根據(jù)四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD【解答】解：延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，∵AB∥x軸，∴DA⊥y軸，∵點(diǎn)A在函數(shù)y=2∴S△ADO∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，DB⊥y軸，點(diǎn)B在函數(shù)y=3∴S矩形OCBD＝3，∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．7．（2023?邵陽(yáng)）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【分析】由題意，首先根據(jù)B的坐標(biāo)求出k，然后可設(shè)E（a，8a），再由正方形ADEF，建立關(guān)于a【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）在反比例函數(shù)y=k∴4=k∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y=8∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，∴可設(shè)（a，8a∴AD＝a﹣2＝ED=8∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)需要理解并能靈活運(yùn)用．8．（2023?永州）已知點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k＞0，則點(diǎn)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把點(diǎn)（2，a）代入反比例函數(shù)解析式，可得a=k2，由k＞0可知a＞0，可得點(diǎn)【解答】解：∵點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=k∴a=k∵k＞0，∴a＞0，∴點(diǎn)M一定在第一象限．故選：A．方法二：∵反比例函數(shù)y=kx中，∴圖象的兩個(gè)分支在一、三象限，∵點(diǎn)M（2，a）在反比例函數(shù)y=k∴點(diǎn)M一定在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，圖象的兩個(gè)分支在一、三象限；關(guān)鍵是得到反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號(hào)．9．（2023?株洲）下列哪個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)y=4A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D．P【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=4【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函數(shù)y=4B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函數(shù)y=4C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函數(shù)y=4D．∵22×2=4，∴故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．10.（2024?湖南）在一定條件下，樂(lè)器中弦振動(dòng)的頻率f與弦長(zhǎng)l成反比例關(guān)系，即f=kl（k為常數(shù)，k≠0）．若某樂(lè)器的弦長(zhǎng)l為0.9米，振動(dòng)頻率f為200赫茲，則k的值為【分析】把l＝0.9，f＝200，代入解析式，即可求出k的值．【解答】解：當(dāng)l＝0.9，f＝200時(shí)，200=k∴k＝180．故答案為：180．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的定義，熟練掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵．11．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為1912，則k＝【分析】由k的幾何意義可得k2=19【解答】解：△AOB的面積為|k|2所以k=19故答案為：196【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關(guān)鍵．12．（2023?湘潭）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C為OB中點(diǎn)．將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A、A′兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作A′H⊥y軸于H．證明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出點(diǎn)A′坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，∴OA＝3，OB＝4，∴BC＝2，將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，∴C′（2，4），∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴k＝2×4＝8，∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8（2）作A′H⊥y軸于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵OA＝3，OB＝4，∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，∴OH＝1，∴A′（4，1），設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝ax+b，把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，?3a+b=04a+b=1解得a=1∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=17x【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．13．（2023?岳陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y＝mx（m為常數(shù)，m≠0）的圖象交于A（1，2），（1）求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若y軸上有一點(diǎn)C（0，n），△ABC的面積為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【分析】（1）分別將點(diǎn)A（1，2）反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，然后根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)表示出AE，BF，OC，最后再根據(jù)S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，2）代入y=kx，得：∴反比例函數(shù)的解析式為：y=2將點(diǎn)A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，∴正比例函數(shù)的解析式為：y＝2x．（2）解方程組y=2xy=2x，得：x∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，∴12即：|n|×1+|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，難點(diǎn)是在解答（2）時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，B向y軸作垂線，把△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△AOC和△BOC的面積之和，漏解是解答此題的易錯(cuò)點(diǎn)．14．（2023?常德）如圖所示，一次函數(shù)y1＝﹣x+m圖象與反比例函數(shù)y2=kx圖象相交于點(diǎn)（1）求m的值和反比例函數(shù)解析式；（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，求x的取值范圍．【分析】（1）把B（3，﹣1）分別代入一次函數(shù)y1＝﹣x+m與反比例函數(shù)y2=k（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象即可得到y(tǒng)1＞y2時(shí)x的取值范圍．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1＝﹣x+m與反比例函數(shù)y2=kx相交于點(diǎn)∴﹣1＝﹣3+m，﹣1=k解得m＝2，k＝﹣3，∴反比例函數(shù)的解析式為y2=?3（2）解方程組y=?x+2y=?3x，得x=?1∴A（﹣1，3），觀察圖象可得，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式．15．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A（t，0），點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)（2）根據(jù)點(diǎn)A（t，0）在x軸負(fù)半軸上得到OA＝﹣t，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)y=k∴2=k∴k＝2，即k的值為2；（2）∵點(diǎn)A（t，0）在x軸負(fù)半軸上，∴OA＝﹣t，∵四邊形OABC為正方形，∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x軸，∴△BCP的面積為S=12×（﹣t）×（2﹣t）=12∴T＝2S﹣2t2＝2（12t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2∵﹣1＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)t＝﹣1時(shí)，T有最大值，T的最大值是1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023?衡陽(yáng)）如圖，正比例函數(shù)y=43x的圖象與反比例函數(shù)y=12x（（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）分別以點(diǎn)O、A為圓心，大于OA一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，作直線BC，交x軸于點(diǎn)D．求線段OD的長(zhǎng)．【分析】（1）將正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．【解答】解：（1）解方程組y=43x得x=3y=4∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）．由題意可知，BC是OA的垂直平分線，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x=25∴D（256，0），OD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．17．（2023?郴州）在實(shí)驗(yàn)課上，小明做了一個(gè)試驗(yàn)．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)物體，在右邊托盤B（可左右移動(dòng)）中放置一個(gè)可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為5g．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點(diǎn)C的距離x/cm3025201510容器與水的總質(zhì)量y1/g1012152030加入的水的質(zhì)量y2/g57101525把上表中的x與y1各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線連接起來(lái)，得到如圖所示的y1關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）請(qǐng)?jiān)谠撈矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象；（2）觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測(cè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②求y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；③當(dāng)0＜x≤60時(shí)，y1隨x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”），y2隨x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”），y2的圖象可以由y1的圖象向下（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的質(zhì)量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）的取值范圍．【分析】（1）描點(diǎn)作出圖象即可；（2）①用待定系數(shù)法可得y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②由y2與y1關(guān)系，結(jié)合①可得答案；③觀察圖象可得答案；（3）根據(jù)19≤y2≤45可得關(guān)于x的不等式，可解得x的范圍．【解答】解：（1）作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如下：（2）①觀察表格可知，y1是x的反比例函數(shù)，設(shè)y1=kx，把（30，10）代入得：10∴k＝300，∴y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y1=300②∵y1＝y(tǒng)2+5，∴y2+5=300∴y2=300③觀察圖象可得，當(dāng)0＜x≤60時(shí)，y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而減小，y2的圖象可以由y1的圖象向下平移得到；故答案為：減小，減小，下；（3）∵y2=300x?5，19≤∴19≤300∴24≤300∴6≤x≤12.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．考點(diǎn)4二次函數(shù)1．（2023?衡陽(yáng)）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【分析】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．【解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．2．（2023?岳陽(yáng)）若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0【分析】將（k，2k）代入二次函數(shù)，得（t+1）k2+tk+s＝0，是關(guān)于k的二次方程．若它總有兩個(gè)不同的實(shí)根，必有Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．t2﹣4s（t+1）是關(guān)于t的一元二次方程，其圖象開(kāi)口向上，若它恒大于0，則與x軸無(wú)交點(diǎn)，故有Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，解此一元二次不等式即可．【解答】解：將（k，2k）代入二次函數(shù)，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．∵（t+1）k2+tk+s＝0是關(guān)于k的一元二次方程，總有兩個(gè)不同的實(shí)根，∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s∵f（t）＞0，∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一定要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．3．（2023?邵陽(yáng)）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣2；②點(diǎn)（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對(duì)稱軸為直線x=?4a∴①正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則點(diǎn)（0，3）在拋物線上，∴②正確；當(dāng)a＞0時(shí)，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當(dāng)a＜0時(shí)，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯(cuò)誤；當(dāng)y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯(cuò)誤；故正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．4．（2023?婁底）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：∵二次函數(shù)開(kāi)口向下，且與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵對(duì)稱軸為x＝﹣1，∴?b∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，x＝0時(shí)，y＝c＞0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正確；∵拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值a﹣b+c，∴當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），∴③錯(cuò)誤；點(diǎn)（﹣3，y1）到對(duì)稱軸的距離為：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到對(duì)稱軸的距離為：3﹣（﹣1）＝4，∵拋物線開(kāi)口向下，∴y1＞y2，∴④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、增減性是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．5．（2023?株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸，則下列說(shuō)法正確的是（）A．b恒大于0 B．a(chǎn)，b同號(hào) C．a(chǎn)，b異號(hào) D．以上說(shuō)法都不對(duì)【分析】先寫出拋物線的對(duì)稱軸，列出不等式，再分a＜0，a＞0兩種情況討論即可．【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸，∴對(duì)稱軸為直線x=?b當(dāng)a＜0時(shí)，則b＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，則b＜0，∴a，b異號(hào)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．（多選）6．（2023?湘潭）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（3，0），則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＝0【分析】根據(jù)圖象的開(kāi)口方向可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)拋物線和x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷；C：根據(jù)x＝3的函數(shù)值的情況，可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：A、由函數(shù)圖象得，拋物線開(kāi)口方向向下，故a＜0，故A錯(cuò)誤；B、圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，故c＞0，故B正確；C、因?yàn)閽佄锞€和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故b2﹣4ac＞0，故D正確；D、當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＝0，故D正確．故選BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)、以及二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)．7．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時(shí)，CD＝4．【分析】先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出該拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對(duì)稱性，即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，從而可以求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1+3∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，CD∥x軸，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝9．【分析】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)知識(shí)，明確Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?益陽(yáng)）我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時(shí)知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y=6x的圖象向下平移3個(gè)單位，如圖所示，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由題意，將反比例函數(shù)y=6x的圖象向下平移3個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y故答案為：y=6【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．10．（2025?長(zhǎng)沙）我們約定：當(dāng)滿足，且時(shí)，稱點(diǎn)與點(diǎn)為一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，就稱該函數(shù)為“對(duì)偶函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）：①函數(shù)（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；（

）②函數(shù)一定不是“對(duì)偶函數(shù)”；（

）③函數(shù)的圖象上至少存在兩對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．（

）(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)與（都是常數(shù)，且）均是“對(duì)偶函數(shù)”，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；(3)若關(guān)于x的二次函數(shù)是“對(duì)偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×）(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“對(duì)偶點(diǎn)”，“對(duì)偶函數(shù)”的定義結(jié)合反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析得出結(jié)果；（2）由題意可得，，得出從而求出，，得出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點(diǎn)的分別位于二、四象限的兩個(gè)等腰直角三角形，畫出圖形得出結(jié)果；（3）由題意可得，且時(shí)，有，整理得到，利用關(guān)于的一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，分別根據(jù)判別式等于零和大于零求解即可．【詳解】（1）解：，且，，，，，，①函數(shù)（k是非零常數(shù)）的圖象上，，滿足，，故①正確；②由題意可得，，則點(diǎn)與點(diǎn)且是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，函數(shù)的圖像如下圖：函數(shù)中不存在“對(duì)偶點(diǎn)”，一定不是“對(duì)偶函數(shù)”，故②正確；函數(shù)的圖象上如下圖，由題意可得，，則點(diǎn)與點(diǎn)且是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，圖中不存在“對(duì)偶點(diǎn)”，故③錯(cuò)誤；故答案為：①（√）；②（√）；③（×）（2）由題意可得，，點(diǎn)與點(diǎn)且是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，由于是“對(duì)偶函數(shù)”，則其圖象上必存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．從而有，兩式相減可得，同理可得．兩個(gè)一次函數(shù)為，，由于，都是常數(shù)，且，兩個(gè)一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點(diǎn)的分別位于二、四象限的兩個(gè)等腰直角三角形，如下圖所示求得其面積之和；（3）由題意可得，且時(shí)，有，以上兩式相減可得，從而將，代入①整理可得，此關(guān)于的一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，由于時(shí)，（不符合題意）．從而必有，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．11．（2025?湖南）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，連接點(diǎn)，，，是此二次函數(shù)圖象上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)、在線段上，且直線、都平行于軸，請(qǐng)你從下列兩個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答：①當(dāng)時(shí)，求證：；②當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖，若，，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，射線、分別與軸交于點(diǎn)，，連接，分別在射線、軸上取點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），且，．記，試探究：當(dāng)為何值時(shí)，有最大值？并求出的最大值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)時(shí)，的最大值為【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、線段周長(zhǎng)問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、y=ax2+bx+c的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）將代入，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，，，①當(dāng)時(shí)，，因式分解得出，根據(jù)得出；②當(dāng)時(shí)，，因式分解得出，根據(jù)，得出；（3）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，證明，，得出，進(jìn)而證明，得出，結(jié)合已知可得，勾股定理求得，進(jìn)而證明，可得，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：將代入得，，解得：∴（2）證明：設(shè)直線的解析式為，代入得，∴∴直線為，∵，，過(guò)點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)．直線、都平行于軸，在上，∴，，，①當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，即；②當(dāng)時(shí)，，∴，∵，即，∴，即，（3）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為∵，∴，，又∵，，∴，∴∴設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，即又∵∴∵的解析式為∴，又∵∴∴，即又∵，∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2024?長(zhǎng)沙）已知四個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣4），（3，4）時(shí)，求代數(shù)式2024a+1012b+3（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2a2+2（y1+y2）a+y12+y22=0，2a2﹣2（y3+y4）a+y32+y42=0．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)（m＞1），使得AB，【分析】（1）將A、B代入得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再整體代入求解即可；（2）令a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0求解，再根據(jù)a的正負(fù)分類討論即可；（3）由內(nèi)角之比可得出這是一個(gè)30°、60°的直角三角形，再將線段表示出來(lái)，利用特殊角的邊角關(guān)系建立方程即可．【解答】解：（1）將A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得a?b+c=?4，①9a+3b+c=4．②②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2．∴2024a+1012b+3（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，得（a+2y1）（a+2y2）＝0，∴y1=?a①當(dāng)a＞0時(shí)，?a2＜0，此拋物線開(kāi)口向上，而A，B∴此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)a＜0時(shí)，?a2＞0，此拋物線開(kāi)口向下，而A，B∴此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，得（a+2y1）（a+2y2）＝0，∴y1=?a∴拋物線上存在縱坐標(biāo)為?a2的點(diǎn)，即一元二次方程∴該方程根的判別式Δ=b2?4a(c+a2)≥0，即b2∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0．∴原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，可得y1=?a①當(dāng)y1=?a2時(shí)，有∴Δ=b此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)y2=?a綜上所述，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．（3）因?yàn)閍＞0，所以該函數(shù)圖象開(kāi)口向上．∵2a∴(a+y∴y1＝y(tǒng)2＝﹣a．∵2a∴(a?y∴y3＝y(tǒng)4＝a，∴直線AB，CD均與x軸平行．由（2）可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)E（x5，0），F(xiàn)（x6，0）．由圖象可知?a＞4ac?b24a，即b2﹣4ac∴ax2+bx+c＝﹣a的兩根為x1、x2，∴AB=|x同理ax2+bx+c＝a的兩根為x3、x4，可得CD=|x同理ax2+bx+c＝0的兩根為x5、x6，可得m?EF=m?|x由于m＞1，結(jié)合圖象與計(jì)算可得AB＜EF＜m?EF，AB＜CD．若存在實(shí)數(shù)m（m＞1），使得AB，CD，m?EF這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°、60°的直角三角形，∴線段AB不可能是該直角三角形的斜邊．①當(dāng)以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時(shí)，∵m?EF＞AB，∴必須同時(shí)滿足：AB2+（m?EF）2＝CD2，m?EF=3將上述各式代入化簡(jiǎn)可得m2=8聯(lián)立解之得b2?4ac=20解得m=30∴m=305，此時(shí)該函數(shù)的最小值為②當(dāng)以線段m?EF為斜邊時(shí)，必有AB2+CD2＝（m?EF）2，同理代入化簡(jiǎn)可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac），解得m=2∵以線段2EF為斜邊，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，而CD＞AB∴CD＝AB?tan60°，即b2化簡(jiǎn)得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求．∴m=2，此時(shí)該函數(shù)的最小值為4ac?綜上所述，存在兩個(gè)m的值符合題意；當(dāng)m=305時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為?5a3，當(dāng)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形存在性問(wèn)題等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和分類討論是解題關(guān)鍵．13．（2024?湖南）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，5），點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函數(shù)的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線AB的上方，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求證：S△PDQ（3）如圖2，點(diǎn)P在第二象限，x2＝﹣2x1，若點(diǎn)M在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為x1﹣1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，求線段MN長(zhǎng)度的最大值．【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：5＝﹣4+c，即可求解；（2）由S△PDQ=12×PD×（xQ﹣xP）=12×（?x12+9+x1﹣3）（x2﹣x1）=32（?x12+x1+6），同理可得：S△（3）求出線PQ的表達(dá)式為：y＝x1（x﹣x1）?x12+9＝xx1﹣2x12+9，則MN＝（x1﹣1）x1﹣2x1【解答】（1）解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：5＝﹣4+c，則c＝9，即拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+9；（2）證明：為定值，理由：令y＝﹣x2+9，則x＝±3，則點(diǎn)B（3，0），由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P、Q、D的表達(dá)式分別為：（x1，?x12+9）、（x2，?x22則S△PDQ=12×PD×（xQ﹣xP）=12×（?x12+9+x1﹣3）（x2同理可得：S△ADC=12×CD×（xD﹣xA）=12則S△PDQ（3）解：點(diǎn)P、Q的表達(dá)式分別為：（x1，?x12+9）、（﹣2x由點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)得，直線PQ的表達(dá)式為：y＝x1（x﹣x1）?x12+9＝xx則MN＝y(tǒng)M＝（x1﹣1）x1﹣2x12+9＝﹣（x1+1故MN的最大值為：374【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到面積的計(jì)算、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解題意和熟悉函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求△AOD周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【分析】（1）由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+2）（x﹣6），再將（0，6）代入求出a即可；（2）根據(jù)題意先求出點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，再連接AE，交BC于點(diǎn)D，此時(shí)|DO|+|DA|最小；（3）先用待定系數(shù)法求出直線BC，AC的解析式，再根據(jù)PD∥AC，設(shè)直線PD表達(dá)式為y＝3x+a，再設(shè)P（m，?12m2+2m+6），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線PD的表達(dá)式得a=?12m2﹣m+6，然后解方程組求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB得出【解答】解：（1）由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+2）（x﹣6），將（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），解得a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?12（x+2）（x﹣6）=?12x（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EC、EB，∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6，∵O、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴四邊形OBEC為正方形，∴E（6，6），連接AE，交BC于點(diǎn)D，由對(duì)稱性|DE|＝|DO|，此時(shí)|DO|+|DA|有最小值為AE的長(zhǎng)，∴AE=A∵△AOD的周長(zhǎng)為DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值為10，∴△AOD的周長(zhǎng)的最小值為10+2＝12，（3）由已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，將B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b中，則6k+b=0b=6解得k=?1b=6∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+6，同理可得：直線AC的表達(dá)式為y＝3x+6，∵PD∥AC，∴可設(shè)直線PD表達(dá)式為y＝3x+a，由（1）設(shè)P（m，?12m2+2將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線PD的表達(dá)式得a=?12m2﹣∴直線PD的表達(dá)式為：y=3x?1由y=?x+6y=3x?得x=1∴D（18m2+14m，?18∵P，D都在第一象限，∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB=12|AB|[（?12m2+2m+6）﹣（?1=12×8×（?38=?32m2=?32（m2﹣6=?32（m﹣3）2∵?3∴當(dāng)m＝3時(shí)，S有最大值，最大值為272此時(shí)P點(diǎn)為(3，15解法二：利用平行等積，將△PAD面積轉(zhuǎn)化為△PCD的面積，那么△PAD與△PBD的面積之和等于△PBC的面積，即求△PBC的面積最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)解析式，點(diǎn)的對(duì)稱性，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，會(huì)用拋物線及一次函數(shù)上的點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示線段的長(zhǎng)度是解決第三問(wèn)的關(guān)鍵．15．（2023?郴州）已知拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A（1，0），B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求PAPC（3）如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=12？若存在，求出點(diǎn)【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC，以及AC為定長(zhǎng)，得到當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到當(dāng)P，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC＝BC，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；（3）求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），進(jìn)而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB＝∠OBD，分點(diǎn)Q在【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A（1，0），B（4，0），a+b+4=016a+4b+4=0解得：a=1b=?5∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=5∵△PAC的周長(zhǎng)等于PA+PC+AC，AC為定長(zhǎng)，∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，∵A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴PA+PC＝PB+PC≥BC，當(dāng)P，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P為直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，設(shè)直線BC的解析式為：y＝mx+n，則：4m+n=0n=4解得：m=?1n=4∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，當(dāng)x=52時(shí)，∴P(5∵A（1，0），C（0，4），∴PA=(52?1∴PAPC（3）存在，∵D為OC的中點(diǎn)，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，tan∠OBD=ODtan∠QDB=1∴∠QDB＝∠OBD；①當(dāng)Q點(diǎn)在D點(diǎn)上方時(shí)：過(guò)點(diǎn)D作DQ∥OB，交拋物線于點(diǎn)Q，則：∠QDB＝∠OBD，此時(shí)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則：t2﹣5t+4＝2，解得：t=5±∴Q（5+172，2）或（②當(dāng)點(diǎn)Q在D點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)DQ與x軸交于點(diǎn)E，則：DE＝BE，設(shè)E（p，0），則：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：p=3∴E(3設(shè)DE的解析式為：y＝kx+q，則：q=23解得：q=2k=?∴y=?4聯(lián)立y=?4解得：x=3y=?2或x=∴Q（3，﹣2）或Q(2綜上所述，Q(5+172，2)或（5?17【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．16．（2023?益陽(yáng)）某企業(yè)準(zhǔn)備對(duì)A，B兩個(gè)生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資A項(xiàng)目一年后的收益yA（萬(wàn)元）與投入資金x（萬(wàn)元）的函數(shù)表達(dá)式為：yA=25x，投資B項(xiàng)目一年后的收益yB（萬(wàn)元）與投入資金x（萬(wàn)元）的函數(shù)表達(dá)式為：yB=?15x（1）若將10萬(wàn)元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？（2）若對(duì)A，B兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金m（m＞0）萬(wàn)元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？（3）2023年，我國(guó)對(duì)小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬(wàn)元，全部投入到A，B兩個(gè)項(xiàng)目中，當(dāng)A，B兩個(gè)項(xiàng)目分別投入多少萬(wàn)元時(shí)，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬(wàn)元？【分析】（1）把x＝10代入yA=2（2）當(dāng)x＝m時(shí)，yA＝y(tǒng)B，25（3）設(shè)投入B項(xiàng)目的資金是t萬(wàn)元，投入A項(xiàng)目的資金（32﹣t），一年后獲利為W萬(wàn)元，列出關(guān)系式W=?1【解答】解：（1）當(dāng)x＝10時(shí)，yA=2答：將10萬(wàn)元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是4萬(wàn)元；（2）由題意得：當(dāng)x＝m時(shí)，yA＝y(tǒng)B，∴2∴m1＝8，m2＝0（舍去），∴m＝8；（3）設(shè)投入B項(xiàng)目的資金是t萬(wàn)元，投入A項(xiàng)目的資金（32﹣t），一年后獲利為W萬(wàn)元，由題意得，W=?1∴當(dāng)t＝4時(shí)，W最大＝16，32﹣t＝28（萬(wàn)元），∴投入A項(xiàng)目的資金是28萬(wàn)元，投入B項(xiàng)目的資金4萬(wàn)元時(shí)，一年后獲利最大．最大值是16萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，一元二次方程的解法等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．17．（2023?衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于B′、C′兩點(diǎn)．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無(wú)論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線B′C′的距離最大．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請(qǐng)求出直線BP的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；（2）利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，由平移可得直線B′C′的解析式為y＝﹣x+3﹣m，設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交B′C′于點(diǎn)E，作DF⊥B′C′于點(diǎn)F，設(shè)直線B′C′交y軸于點(diǎn)G，則E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再證得△DEF是等腰直角三角形，可得DF=22DE=22（﹣t2+3t+m）=?22（t?3（3）分兩種情況：當(dāng)∠PBC在BC的下方時(shí)，當(dāng)∠PBC在BC的上方時(shí)，分別求得直線BP的解析式，聯(lián)立方程組求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．（2）存在定點(diǎn)D，無(wú)論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線B′C′的距離最大．∵y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則3k+b=0b=3解得：k=?1b=3∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵將直線BC向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于B′、C′兩點(diǎn)，∴直線B′C′的解析式為y＝﹣x+3﹣m，設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交B′C′于點(diǎn)E，作DF⊥B′C′于點(diǎn)F，設(shè)直線B′C′交y軸于點(diǎn)G，如圖，∴E（t，﹣t+3﹣m），∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵B′C′∥BC，∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，∵DE∥y軸，∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，∵∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=22DE=22（﹣t2+3t+m）=?22（t?3∵?2∴當(dāng)t=32時(shí)，DF取得最大值22（94+m），此時(shí)點(diǎn)D（3）存在．當(dāng)∠PBC在BC的下方時(shí)，在y軸正半軸上取點(diǎn)M（0，1），連接BM交拋物線于點(diǎn)P，如圖，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，∴△BOM≌△COA（SAS），∴∠MBO＝∠ACO，∵∠CBO＝45°，∴∠CBP+∠MBO＝45°，∴∠CBP+∠ACO＝45°，設(shè)直線BM的解析式為y＝k′x+b′，則3k'+b'=0b'=1解得：k'=?1∴直線BM的解析式為y=?13聯(lián)立，得y=?1解得：x1=3y∴P（?23，當(dāng)∠PBC在BC的上方時(shí)，作點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，如圖，連接MM′，CM′，直線BM′交拋物線于P，由對(duì)稱得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，∴∠MCM′＝90°，∴M′（2，3），則直線BM′的解析式為y＝﹣3x+9，聯(lián)立，得：y=?3x+9y=?解得：x1=3y∴P（2，3）；綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直線BP的解析式為y=?13x+1或y＝﹣3【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線的平移，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，第（3）問(wèn)要注意分類討論，防止漏解．18．（2023?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線AC，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線l1：y＝kx+k?354交拋物線于點(diǎn)M、N，求證：無(wú)論k為何值，平行于x軸的直線l2：y=?374上總存在一點(diǎn)【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，將A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式，再利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣8，設(shè)P（t，t2+2t﹣8），過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交AC于點(diǎn)F，則F（t，﹣2t﹣8），進(jìn)而可得S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）由直線l1：y＝kx+k?354交拋物線于點(diǎn)M、N，可得x2+（2﹣k）x+34?k＝0，利用根與系數(shù)關(guān)系可得xM+xN＝k﹣2，xMxN=34?k，利用兩點(diǎn)間距離公式可得MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）2，設(shè)MN的中點(diǎn)為O′，過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥直線l2，垂足為E，O′E=12MN【解答】（1）解：∵拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，∴16a?4b?8=04a+2b?8=0解得：a=1b=2∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣9）；（2）解：∵拋物線y＝x2+2x﹣8與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，﹣8），設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則?4m+n=0n=?8解得：m=?2n=?8∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣8，設(shè)P（t，t2+2t﹣8），過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交AC于點(diǎn)F，如圖，則F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF=12PF?（t+4）+12PF?（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（∵﹣2＜0，∴當(dāng)t＝﹣2時(shí)，S△PAC的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，﹣8）；（3）證明：∵直線l1：y＝kx+k?354交拋物線于點(diǎn)M、∴x2+2x﹣8＝kx+k?35整理得：x2+（2﹣k）x+34∴xM+xN＝k﹣2，xMxN=34∵yM＝kxM+k?354，yN＝kxN+k∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（34?k）]＝（1+k2）∵設(shè)MN的中點(diǎn)為O′，∴O′（k?22，12k2過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥直線l2：y=?374，垂足為∴E（k?22，?∴O′E=12k2?354?（?37∴O′E=12∴以MN為直徑的⊙O′一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，∴∠MEN＝90°，∴在直線l2：y=?374上總存在一點(diǎn)E，使得∠【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，圓的性質(zhì)，圓周角定理等，解題關(guān)鍵是證得O′E=12MN，得出以MN為直徑的⊙O′一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)19．（2023?岳陽(yáng)）已知拋物線Q1：y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3）．（1）請(qǐng)求出拋物線Q1的表達(dá)式．（2）如圖1，在y軸上有一點(diǎn)D（0，﹣1），點(diǎn)E在拋物線Q1上，點(diǎn)F為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，將拋物線Q1向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點(diǎn)為K，與x軸正半軸交于點(diǎn)H，拋物線Q1上是否存在點(diǎn)P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不