易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確致錯(cuò)有一種骰子，每一面上都有一個(gè)英文字母，如圖是從3個(gè)不同的角度看同一粒骰子的情形，請(qǐng)畫(huà)出骰子的一個(gè)側(cè)面展開(kāi)圖，并根據(jù)展開(kāi)圖說(shuō)明字母H對(duì)面的字母是.【錯(cuò)解】P【試題解析】將原正方體外面朝上展開(kāi)，得其表面字母的排列如圖所示，易得H對(duì)面的字母是O.【參考答案】O1．2．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的注意事項(xiàng)：(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.1．一正方體內(nèi)接于一個(gè)球,經(jīng)過(guò)球心作一個(gè)截面,則截面的可能圖形為_(kāi)________(只填寫(xiě)序號(hào)).【答案】①②③【解析】當(dāng)截面與正方體的某一面平行時(shí),可得①,將截面旋轉(zhuǎn)可得②,繼續(xù)旋轉(zhuǎn),過(guò)正方體兩頂點(diǎn)時(shí)可得③,即正方體的對(duì)角面,不可能得④.易錯(cuò)點(diǎn)2不能正確畫(huà)出三視圖或還原幾何體而致錯(cuò)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是【錯(cuò)解】A或B或C【錯(cuò)因分析】選A，俯視圖判斷出錯(cuò)，從俯視圖看，幾何體的上、下部分都是旋轉(zhuǎn)體；選B，下部分幾何體判斷出錯(cuò)，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體；選C，上部分幾何體判斷出錯(cuò)，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體.【試題解析】由三視圖可知幾何體上部是一個(gè)圓臺(tái)，下部是一個(gè)圓柱，選D.【參考答案】D1．當(dāng)已知三視圖去還原成幾何體時(shí)，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的投影，先從俯視圖來(lái)確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再?gòu)恼晥D和側(cè)視圖想象出幾何體的大致形狀，然后通過(guò)已知的三視圖驗(yàn)證幾何體的正確性，最后檢查輪廓線(xiàn)的實(shí)虛．2．三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．(2)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線(xiàn)，不能看到的部分用虛線(xiàn)表示．(3)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.2．已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如下圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為【答案】C【解析】通過(guò)對(duì)比選項(xiàng)可知，對(duì)于選項(xiàng)A,D，則俯視圖應(yīng)有一條中線(xiàn)，故排除A,D；從俯視圖可以觀察得到該幾何體的一條側(cè)棱在正視圖中應(yīng)該看不見(jiàn)，為虛線(xiàn)，故排除B.所以選C.易錯(cuò)點(diǎn)3空間幾何體的直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的面積為A．3 B．C．6 D．【錯(cuò)解】B【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中把直觀圖認(rèn)為是原平面圖形，則平面圖形的面積為.實(shí)際上，題圖為直觀圖，必須根據(jù)直觀圖還原得到平面圖形，再利用三角形的面積公式求解.【試題解析】原平面圖形如圖，即Rt△OAB，其中OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面圖形的面積為，選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了平面圖形的直觀圖及其原圖形與直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解答關(guān)鍵是牢記原圖形與直觀圖的面積比為．【參考答案】C1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”：“三變”；“三不變”.2．原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍.3．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′，在直觀圖中梯形的高為A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)镺A=6，CB=2，所以O(shè)D=2.又因?yàn)椤螩OD=45°，所以CD=2.梯形的直觀圖如圖，則C′D′=1.所以梯形的高C′E′=.本題容易忽視了圖形中的平行關(guān)系，從而得不到原圖中邊與坐標(biāo)軸的平行關(guān)系，判斷不出直角三角形而導(dǎo)致錯(cuò)誤．易錯(cuò)點(diǎn)4空間幾何體的表面積或體積計(jì)算不全致錯(cuò)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為A．21+ B．18+C．21 D．18【錯(cuò)解】B或C或D【錯(cuò)因分析】由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個(gè)正方體截取兩個(gè)全等的小正三棱錐，B項(xiàng)計(jì)算三角形面積時(shí)出錯(cuò)；截取小正三棱錐，即除去了六個(gè)全等的等腰直角三角形，但C項(xiàng)忽略了幾何體多了兩個(gè)等邊三角形面；由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個(gè)正方體截取兩個(gè)全等的小正三棱錐的組合體，D項(xiàng)計(jì)算三角形面積時(shí)出錯(cuò)，且計(jì)算時(shí)還少加了三棱錐的底面.【試題解析】由三視圖可知原幾何體如圖所示，是一個(gè)正方體截取兩個(gè)全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24，兩個(gè)全等的三棱錐是以正方體的相對(duì)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，側(cè)面是三個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，其側(cè)面面積的和為3，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，其底面面積的和為，故所求幾何體的表面積為24?3+=21+.故選A.【參考答案】A1．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積（1）已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積．（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不遺漏.（3）求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開(kāi)為平面圖形后再求面積.2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題.求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有：（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解．（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.①等體積法：一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱(chēng)等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線(xiàn)面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和；如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積．因此，從一定意義上說(shuō)，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法．4．如圖所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2cm，下底BC＝10cm，底角∠ABC＝60°，現(xiàn)繞腰AB旋轉(zhuǎn)一周，則所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是A．246π B．248πC．249π D．250π【答案】B【解析】過(guò)D作DE⊥AB于E，過(guò)C作CF⊥AB于F，所得旋轉(zhuǎn)體是以CF為底面半徑的圓錐和圓臺(tái)，挖去以A為頂點(diǎn)，以DE為底面半徑的圓錐的組合體．由于AD＝2cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在Rt△BCF中，BF＝5cm，F(xiàn)C＝5eq\r(3)cm.由AD∥BC得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在Rt△ADE中，DE＝eq\r(3)cm，AE＝1cm.又在等腰梯形ABCD中可求得AB＝8cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4cm.所以旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)π·BF·FC2＋eq\f(1,3)π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－eq\f(1,3)π·AE·DE2＝eq\f(1,3)π×5×(5eq\r(3))2＋eq\f(1,3)π×4×[(eq\r(3))2＋(5eq\r(3))2＋eq\r(3)×5eq\r(3)]－eq\f(1,3)π×1×(eq\r(3))2＝248π(cm3)，即所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為248πcm3.本題易將所得旋轉(zhuǎn)體漏掉扣除以圓臺(tái)上底面為底面，高為1cm的圓錐的體積而錯(cuò)選C.易錯(cuò)點(diǎn)5問(wèn)題考慮不全面致錯(cuò)已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別是12π和16π，則這兩個(gè)截面圓間的距離為.【錯(cuò)解】2如圖，設(shè)球的大圓為圓O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，.在Rt△DOF中，.所以CD=OC?OD=8?6=2，故這兩個(gè)截面圓間的距離為2.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中由于對(duì)球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn)，考慮問(wèn)題不全面而導(dǎo)致錯(cuò)誤.事實(shí)上，兩個(gè)平行截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè).【試題解析】如上圖，設(shè)球的大圓為圓O，C，D為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，；當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，.綜上可知，兩截面圓間的距離為2或14.【參考答案】2或141．球的有關(guān)問(wèn)題（1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.（2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：①長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；②正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線(xiàn)的中點(diǎn)；④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；⑤球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．（3）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.（4）有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿(mǎn)足關(guān)系式：.2．求解空間幾何體表面積和體積的最值問(wèn)題有兩個(gè)思路：一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決.5．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，則在長(zhǎng)方體表面上連接兩點(diǎn)的所有曲線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】將長(zhǎng)方體的面分別展開(kāi)平鋪，當(dāng)四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形的對(duì)角線(xiàn)，長(zhǎng)度是；當(dāng)四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形的對(duì)角線(xiàn)，長(zhǎng)度是；四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形的對(duì)角線(xiàn)，長(zhǎng)度是，所以最小距離是．將空間幾何體的表(側(cè))面展開(kāi)，化折(曲)為直，使空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，即空間問(wèn)題平面化，是解決立體幾何問(wèn)題最基本的、最常用的方法，將空間圖形展開(kāi)成平面圖形后，弄清幾何中的有關(guān)點(diǎn)和線(xiàn)在展開(kāi)圖中的相應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．該題考查的是幾何體的表面距離的最值問(wèn)題，結(jié)合平面內(nèi)連接兩點(diǎn)的直線(xiàn)段是最短的，所以將長(zhǎng)方體的側(cè)面沿著不同的方向展開(kāi)，使得兩個(gè)點(diǎn)落在同一平面內(nèi)，利用勾股定理來(lái)求解，選出最小的那個(gè)就是，容易出錯(cuò)的地方在于考慮不全面，沿著一個(gè)方向展開(kāi)求得結(jié)果，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．易錯(cuò)點(diǎn)6應(yīng)用公理或其推論時(shí)出錯(cuò)已知A，B，C，D，E五點(diǎn)中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面嗎？【錯(cuò)解】A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面.因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在B，C，D所確定的平面內(nèi)，因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)，所以點(diǎn)A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了公理2中“不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件.實(shí)際上B，C，D三點(diǎn)有可能共線(xiàn).【試題解析】（1）如果B，C，D三點(diǎn)不共線(xiàn)，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)，因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)，所以點(diǎn)A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面.（2）若B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)于l，若Al，El，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面；若A，E中有且只有一個(gè)在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)可能不共面.【參考答案】見(jiàn)試題解析.在立體幾何中，空間點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系不確定時(shí)，要注意分類(lèi)討論，避免片面地思考問(wèn)題.對(duì)于確定平面問(wèn)題，在應(yīng)用公理2及其三個(gè)推論時(shí)一定要注意它們成立的前提條件.1．證明點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有：①首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上；②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線(xiàn)上.2．證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，一般先證明待證的三條直線(xiàn)中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)也過(guò)該點(diǎn).常結(jié)合公理3，證明該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的交線(xiàn)（第三條直線(xiàn)）上，從而證明三線(xiàn)共點(diǎn).3．證明點(diǎn)或線(xiàn)共面問(wèn)題，主要有兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(xiàn)（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.6．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（2）若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)．【解析】（1）如圖，連接B1D1.∵EF是D1B1C1的中位線(xiàn)，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．（2）正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.∵QA1C1，∴Qα.又QEF，∴Qβ.則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴RA1C.∴Rα，且Rβ，則RPQ.故P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)．易錯(cuò)點(diǎn)7忽略空間角的范圍或不能正確找出空間角致誤如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線(xiàn)BC與MN所成的角為30°，則BC與AD所成的角為.【錯(cuò)解】120°如圖，連接BD，并取中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故為BC與MN所成的角，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴，即BC與AD所成的角為120°.【錯(cuò)因分析】在未判斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角α的取值范圍是，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線(xiàn)所成的角.【試題解析】以上同錯(cuò)解，求得∠MEN=120°，即BC與AD所成的角為60°.【參考答案】60°求異面直線(xiàn)所成的角的時(shí)候，要注意異面直線(xiàn)所成的角α的取值范圍是.1．求異面直線(xiàn)所成的角的常見(jiàn)策略：（1）求異面直線(xiàn)所成的角常用平移法．平移法有三種類(lèi)型，利用圖中已有的平行線(xiàn)平移，利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移，利用補(bǔ)形平移．（2）求異面直線(xiàn)所成角的步驟①一作：即根據(jù)定義作平行線(xiàn)，作出異面直線(xiàn)所成的角；②二證：即證明作出的角是異面直線(xiàn)所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.（3）判定空間兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的方法①判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．②反證法：證明兩線(xiàn)不可能平行、相交或證明兩線(xiàn)不可能共面，從而可得兩線(xiàn)異面．2．求直線(xiàn)與平面所成的角的方法：（1）求直線(xiàn)和平面所成角的步驟①尋找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)；②連接垂足和斜足得到斜線(xiàn)在平面上的射影，斜線(xiàn)與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．（2）求線(xiàn)面角的技巧在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．3．求二面角大小的步驟：簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三求”．作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．7．已知四面體中，分別是的中點(diǎn)，若，，，則與所成角的度數(shù)為A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接則分別為的中位線(xiàn)．由此可得，且且或其補(bǔ)角即為直線(xiàn)與所成的角．又，因此，中，則，可得．∴與所成的角為.故選D.易錯(cuò)點(diǎn)8對(duì)線(xiàn)面位置關(guān)系不能正確應(yīng)用定理作出判斷如果兩條平行直線(xiàn)a，b中的a∥α，那么b∥α.這個(gè)命題正確嗎？為什么？【錯(cuò)解】這個(gè)命題正確．∵a∥α，∴在平面α內(nèi)一定存在一條直線(xiàn)c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.【錯(cuò)因分析】忽略了b?α這種情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，本題條件中的直線(xiàn)b與平面α有兩種位置關(guān)系：b∥α和b?α.【試題解析】這個(gè)命題不正確．若b?α，∵a∥α，∴在平面α內(nèi)必存在一條直線(xiàn)c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.若b?α，則不滿(mǎn)足題意．綜上所述，b與α的位置關(guān)系是b∥α或b?α.【參考答案】見(jiàn)試題解析.錯(cuò)誤的原因是利用線(xiàn)面平行的判定定理時(shí)，忽略了定理使用的前提條件必須是平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行．1．點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線(xiàn)，直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，準(zhǔn)確判定線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面平行、面面垂直．2．熟練應(yīng)用線(xiàn)面位置關(guān)系中的判定定理與性質(zhì)定理即可順利解決此類(lèi)問(wèn)題.8．下列命題中，錯(cuò)誤的是A．一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交B．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面一定平行C．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于平面D．若直線(xiàn)不平行于平面，且l不在平面，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn)【答案】B【解析】由直線(xiàn)與平面相交的性質(zhì)，知一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交，故A正確；平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面有兩種位置關(guān)系，可能平行，也可能相交，B錯(cuò)誤；如果一個(gè)平面內(nèi)存在直線(xiàn)垂直于平面，則平面一定垂直于平面，故C正確．若直線(xiàn)不平行于平面，且不在內(nèi)，則與相交，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn).故選B．易錯(cuò)點(diǎn)9證明線(xiàn)面位置關(guān)系時(shí)不能正確應(yīng)用定理致錯(cuò)如圖，，點(diǎn)P在所確定的平面γ外，于點(diǎn)，于點(diǎn).求證：.【錯(cuò)解】因?yàn)?，，所?所以，所以.【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解的原因在于沒(méi)有正確使用線(xiàn)面垂直的判定定理，由得，而忽略了“垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)”這一條件，即.【試題解析】因?yàn)?，所?又，所以平面.因?yàn)?，所?【參考答案】見(jiàn)試題解析.應(yīng)用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理時(shí)，要熟記定理的應(yīng)用條件，不能忽略“兩條相交直線(xiàn)”這一關(guān)鍵點(diǎn).1．判斷或證明線(xiàn)面平行的常用方法有：①利用線(xiàn)面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；②利用線(xiàn)面平行的判定定理()；③利用面面平行的性質(zhì)()；④利用面面平行的性質(zhì)().2．判定面面平行的常見(jiàn)策略：①利用定義：即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)．②利用面面平行的判定定理(主要方法)．③利用垂直于同一條直線(xiàn)的兩平面平行(客觀題可用)．④利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用).3．證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：①線(xiàn)面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性()；④面面平行的性質(zhì)()；⑤面面垂直的性質(zhì)．4．判定面面垂直的常見(jiàn)策略：①利用定義(直二面角)．②判定定理：可以通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直．③在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，則一般需作輔助線(xiàn)，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直．9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)，），平面與棱交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若平面平面，求證：.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)槭蔷匦?，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以．?）因?yàn)槭蔷匦危裕忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由?）知，所以．易錯(cuò)點(diǎn)10對(duì)空間向量理解不正確致誤已知下列命題：①若A，B，C，D在一條直線(xiàn)上，則與是共線(xiàn)向量；②若A，B，C，D不在一條直線(xiàn)上，則與不是共線(xiàn)向量；③若向量與是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線(xiàn)上；④若向量與是共線(xiàn)向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線(xiàn)上．其中是真命題的有____________（填序號(hào)）．【錯(cuò)解】①②③④【錯(cuò)因分析】因?yàn)橄蛄繛樽杂上蛄?，所以平行向量就是共線(xiàn)向量，但是向量所在的直線(xiàn)卻不一定重合，也有可能平行，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)有沒(méi)有公共點(diǎn)，如果沒(méi)有公共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)的兩條直線(xiàn)平行；否則，對(duì)應(yīng)的兩條直線(xiàn)重合．【試題解析】①為真命題，若A，B，C，D在一條直線(xiàn)上，向量，方向相同或相反，因此與是共線(xiàn)向量；②為假命題，若A，B，C，D不在一條直線(xiàn)上，則，方向不確定，所以不能判斷與是否是共線(xiàn)向量；③為假命題，因?yàn)?，兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)可能沒(méi)有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)不一定在一條直線(xiàn)上；④為真命題，因?yàn)?，兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)有公共點(diǎn)A，所以三點(diǎn)共線(xiàn)．故填①④．【參考答案】①④平行直線(xiàn)與平行向量的區(qū)別與聯(lián)系：①平行向量所在的直線(xiàn)既可以平行也可以重合；②平行直線(xiàn)是指任何不重合的兩條平行直線(xiàn)．因此，兩條平行直線(xiàn)的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直線(xiàn)若不重合，則一定是平行直線(xiàn)．1．判斷兩非零向量平行，就是判斷是否成立，若成立則共線(xiàn)，若不成立則不共線(xiàn).2．證明空間三點(diǎn)P、A、B共線(xiàn)的方法：①(λ∈R)；②對(duì)空間任一點(diǎn)O，(t∈R)；③對(duì)空間任一點(diǎn)O，．3．證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的方法：①；②對(duì)空間任一點(diǎn)O，；③對(duì)空間任一點(diǎn)O，(x＋y＋z＝1)；④(或或).10．已知，，若，則A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，．故選D．由于向量可以任意平移，所以有關(guān)向量的平行問(wèn)題與直線(xiàn)的平行問(wèn)題是有區(qū)別的，并且兩向量同向與兩向量平行也是不等價(jià)的．“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．若兩向量平行，則兩向量可能同向、也可能反向．易錯(cuò)點(diǎn)11不能正確利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2PA，E是線(xiàn)段BC中點(diǎn)．（1）判斷PE與AD的關(guān)系；（2）在線(xiàn)段PD上是否存在一點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE，說(shuō)明你的理由．【錯(cuò)解】（1）取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝1，則P(0，0，1)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(2，1，0)，∴eq\o(PE,\s\up15(→))＝(2，1，－1)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(0，2，0)，∴eq\o(PE,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝2≠0，∴PE與AD不垂直．（2）設(shè)eq\o(PF,\s\up15(→))＝λeq\o(PD,\s\up15(→))＝(0，2λ，－λ)，則eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(PF,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→))＝(－2，2λ－2，1－λ)．又eq\o(AP,\s\up15(→))＝(0，0，1)，eq\o(AE,\s\up15(→))＝(2，1，0)．設(shè)eq\o(CF,\s\up15(→))＝meq\o(AP,\s\up15(→))＋neq\o(AE,\s\up15(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝－2,n＝2λ－2,m＝1－λ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝－1,λ＝\f(1,2)))，即eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up15(→))－eq\o(AE,\s\up15(→))，∴eq\o(CF,\s\up15(→))、eq\o(AP,\s\up15(→))、eq\o(AE,\s\up15(→))共面，∴CF∥平面PAE，∴存在點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，使CF∥平面PAE.【錯(cuò)因分析】因?yàn)锳B與AC不垂直，故以AB、AC、AP所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立的坐標(biāo)系不是直角坐標(biāo)系，另外我們建立坐標(biāo)系應(yīng)為右手系．【試題解析】連接AE.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E為邊BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AD、AE、AP所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AB＝2，則B(－1，eq\r(3)，0)、E(0，eq\r(3)，0)、C(1，eq\r(3)，0)、D(2，0，0)、P(0，0，1)．（1）∵eq\o(PE,\s\up15(→))＝(0，eq\r(3)，－1)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(2，0，0)，∴eq\o(PE,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝0，∴PE⊥AD.（2）假設(shè)線(xiàn)段PD上存在一點(diǎn)F，使直線(xiàn)CF∥平面PAE，∵eq\o(AD,\s\up15(→))是平面PAE的一個(gè)法向量，∴eq\o(CF,\s\up15(→))⊥eq\o(AD,\s\up15(→))，設(shè)eq\o(PF,\s\up15(→))＝λeq\o(PD,\s\up15(→))＝(2λ，0，－λ)(0≤λ≤1)，則eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(PF,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→))＝(2λ－1，－eq\r(3)，－λ＋1)，∴eq\o(CF,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝(2λ－1，－eq\r(3)，－λ＋1)·(2，0，0)＝4λ－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，所以當(dāng)F為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)CF∥平面PAE.【參考答案】見(jiàn)試題解析.1．利用向量法證明平行問(wèn)題（1）證明線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩條直線(xiàn)的方向向量平行.（2）證明線(xiàn)面平行：①該直線(xiàn)的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明該直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行；③證明該直線(xiàn)的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示.（3）證明面面平行：兩個(gè)平面的法向量平行.2．利用向量法證明垂直問(wèn)題（1）線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．（2）線(xiàn)面垂直：證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn)，或?qū)⒕€(xiàn)面垂直的判定定理用向量表示．（3）面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆?．利用向量法求空間角（1）用向量法求異面直線(xiàn)所成的角①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩條直線(xiàn)的方向向量；③代入公式求解，一般地，異面直線(xiàn)AC，BD的夾角β的余弦值為.（2）用向量法求直線(xiàn)與平面所成的角①分別求出斜線(xiàn)和它所在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；②通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角．（3）用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．4．利用向量法求空間距離（1）空間中兩點(diǎn)間的距離的求法兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模．因此，要求兩點(diǎn)間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.（2）求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟：①在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)．②確定平面α的法向量n.③代入公式求解．5．利用向量法求立體幾何中的探索性問(wèn)題（1）通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在．（2）探索線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線(xiàn)條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標(biāo)未知量．11．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，當(dāng)二面角為時(shí)，A． B． C． D．1【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，由于，，所以，即，又平面的一個(gè)法向量是，且，解得，故選A．一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）多面體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注棱柱①底面互相平行.②側(cè)面都是平行四邊形.③每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類(lèi)，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐①底面是多邊形.②側(cè)面都是三角形.③側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn).三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可以看作底.三棱錐又稱(chēng)為四面體.棱臺(tái)①上、下底面互相平行，且是相似圖形.②各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn).③各側(cè)面為梯形.可用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐（2）旋轉(zhuǎn)體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注圓柱①圓柱有兩個(gè)大小相同的底面，這兩個(gè)面互相平行，且底面是圓面而不是圓.②圓柱有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)，且任意一條母線(xiàn)都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線(xiàn)互相平行且相等..圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到.圓錐①底面是圓面.②有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)，長(zhǎng)度相等且交于頂點(diǎn).③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過(guò)軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到.圓臺(tái)①圓臺(tái)上、下底面是互相平行且不等的圓面.②有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)，等長(zhǎng)且延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn).③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過(guò)軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線(xiàn)或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線(xiàn)所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球①球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面.②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿(mǎn)足關(guān)系式：.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到.2．空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念①光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；②光線(xiàn)從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；③光線(xiàn)從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱(chēng)為幾何體的三視圖.如圖.（2）三視圖的畫(huà)法規(guī)則①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖：正側(cè)俯②畫(huà)法規(guī)則ⅰ)正視圖與俯視圖的長(zhǎng)度一致，即“長(zhǎng)對(duì)正”；ⅱ)側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”；ⅲ)俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等”.③線(xiàn)條的規(guī)則ⅰ)能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)用實(shí)線(xiàn)表示；ⅱ)不能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)用虛線(xiàn)表示.（3）常見(jiàn)幾何體的三視圖常見(jiàn)幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長(zhǎng)方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺(tái)等腰梯形等腰梯形兩個(gè)同心的圓球圓圓圓3．空間幾何體的直觀圖（1）斜二測(cè)畫(huà)法及其規(guī)則對(duì)于平面多邊形，我們常用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)它們的直觀圖.斜二測(cè)畫(huà)法是一種特殊的畫(huà)直觀圖的方法，其畫(huà)法規(guī)則是：①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②③已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.（2）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的步驟①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠x(chóng)Oz=90°，且∠yOz=90°.②畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x(chóng)′O′y′=45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線(xiàn)段，并使它們和所畫(huà)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線(xiàn)段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.④已知圖形中平行于x軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.⑤畫(huà)圖完成以后，擦去作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系①原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，②直觀圖面積是原圖面積的倍.二、空間幾何體的表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱（底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l）圓錐（底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l）圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為r′，r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l）側(cè)面展開(kāi)圖底面面積側(cè)面面積表面積多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，也就是展開(kāi)圖的面積.棱錐、棱臺(tái)、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式幾何體體積柱體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)錐體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)臺(tái)體(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)（1）柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系（2）一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；（3）等底面面積且等高的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等.3．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為.球的切、接問(wèn)題（常見(jiàn)結(jié)論）（1）若正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體所有棱相切的球的半徑是．（2）若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則長(zhǎng)方體的外接球半徑是．（3）若正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是．（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．（5）球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．三、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系1．平面的基本性質(zhì)名稱(chēng)圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理1如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)Al，Bl，且Aα，Bα?l?α公理2過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα公理2的推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)直線(xiàn)a，則A和a確定一個(gè)平面推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面?有且只有一個(gè)平面，使，推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面?有且只有一個(gè)平面，使，公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)Pα，且Pβ?α∩β=l，Pl，且l是唯一的公理4———l1———l2———l平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行l(wèi)1∥l，l2∥l?l1∥l22．等角定理（1）自然語(yǔ)言：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).（2）符號(hào)語(yǔ)言：如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或.圖（1）圖（2）3．空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的分類(lèi)空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有以下兩種分類(lèi)方式：（1）從有無(wú)公共點(diǎn)的角度分類(lèi)：（2）從是否共面的角度分類(lèi)：4．異面直線(xiàn)所成的角（1）異面直線(xiàn)所成角的定義如圖，已知兩異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，相交直線(xiàn)a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角（或夾角）.（2）異面直線(xiàn)所成角的范圍異面直線(xiàn)所成的角必須是銳角或直角，異面直線(xiàn)所成角的范圍是.（3）兩條異面直線(xiàn)垂直的定義如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直.兩條互相垂直的異面直線(xiàn)a，b，記作a⊥b.5．直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類(lèi)（1）直線(xiàn)和平面位置關(guān)系的分類(lèi)①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)：②按是否平行分類(lèi)：③按直線(xiàn)是否在平面內(nèi)分類(lèi)：（2）平面和平面位置關(guān)系的分類(lèi)兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交——有一條公共直線(xiàn).（1）唯一性定理①過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．②過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直．③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直．（2）異面直線(xiàn)的判定方法經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)互為異面直線(xiàn)．四、直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)1．直線(xiàn)與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言平面外的一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線(xiàn)與平面平行2．直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用①作為證明線(xiàn)線(xiàn)平行的依據(jù)．②作為畫(huà)一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行的依據(jù).3．平面與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行?面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β作用證明兩個(gè)平面平行4．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.簡(jiǎn)記為：面面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用證明線(xiàn)線(xiàn)平行1．平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．（2）如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)平面垂直于一條直線(xiàn)，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線(xiàn)．（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等．（4）經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．（5）兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．（6）如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．（7）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行．（8）如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行．五、直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線(xiàn)與平面垂直的定義如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下：定義中的“任意一條直線(xiàn)”這一詞語(yǔ)與“所有直線(xiàn)”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”不是同義語(yǔ)．2．直線(xiàn)與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)垂直?線(xiàn)面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α作用判斷直線(xiàn)與平面垂直在應(yīng)用該定理判斷一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，而不是任意的兩條直線(xiàn).3．直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面垂直?線(xiàn)線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言?作用①證明兩直線(xiàn)平行；②構(gòu)造平行線(xiàn).4．平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下：5．平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面垂直?面面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，?α⊥β作用判斷兩平面垂直6．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)記為：面面垂直?線(xiàn)線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用證明直線(xiàn)與平面垂直7．直線(xiàn)與平面所成的角（1）定義：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)，斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足和斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線(xiàn)垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角等于；一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角等于.因此，直線(xiàn)與平面所成的角α的范圍是.8．二面角（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，這兩部分通常稱(chēng)為半平面．從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(xiàn)，則這兩條射線(xiàn)構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.（3）二面角的范圍：.1．垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）若兩條平行線(xiàn)中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．（2）若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)．（3）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直．（4）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直．（5）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直．（6）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面．（7）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi)．六、空間向量與立體幾何1．空間直角坐標(biāo)系定義以空間一點(diǎn)為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)平面通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.2．空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)（1）空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來(lái)表示，記作，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).（2）建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．3．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式（1）距離公式①設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離.②設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為.（2）中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)為，的中點(diǎn)，則.4．共線(xiàn)向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.牢記兩個(gè)推論：（1）對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或（其中）.（2）如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使，其中向量叫做直線(xiàn)l的方向向量，該式稱(chēng)為直線(xiàn)方程的向量表示式.5．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有.6．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底.（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作為基向量.7．空間向量的運(yùn)算（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類(lèi)比平面向量.（2）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則，，，，，，.8．直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量（1）直線(xiàn)的方向向量就是指和這條直線(xiàn)平行(或共線(xiàn))的向量，記作，顯然一條直線(xiàn)的方向向量可以有無(wú)數(shù)個(gè).（2）若直線(xiàn)，則該直線(xiàn)的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作，有無(wú)數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線(xiàn)向量.平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為.在平面內(nèi)找出（或求出）兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，根據(jù)定義建立方程組，得到，通過(guò)賦值，取其中一組解，得到平面的法向量.9．利用空間向量表示空間線(xiàn)面平行、垂直設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別為，平面的法向量分別為.（1）線(xiàn)線(xiàn)平行：若，則；線(xiàn)面平行：若，則；面面平行：若，則.（2）線(xiàn)線(xiàn)垂直：若，則；線(xiàn)面垂直：若，則；面面垂直：若，則.10．利用空間向量求空間角設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別為，平面的法向量分別為.（1）直線(xiàn)所成的角為，則，計(jì)算方法：；（2）直線(xiàn)與平面所成的角為，則，計(jì)算方法：；（3）平面所成的二面角為，則，如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小θ＝．如圖②③，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿(mǎn)足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．11．利用空間向量求距離（1）兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離.（2）點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線(xiàn)段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為.1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A． B． C．3 D．22．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是3．（2018年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4C．6 D．84．（2018年高考新課標(biāo)Ⅲ理科）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B．C． D．5．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A． B．C． D．6．已知，是兩條不同直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是A．若，垂直于同一平面，則與平行B．若，平行于同一平面，則與平行C．若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn)D．若，不平行，則與不可能垂直于同一平面7．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12C．14 D．168．（2017北京理科）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為A．3 B．2C．2 D．29．已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A． B．C． D．10．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是A．B．C．D．11．現(xiàn)有2個(gè)正方體，3個(gè)三棱柱，4個(gè)球和1個(gè)圓臺(tái)，從中任取一個(gè)幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為A． B．C．