專題8.8立體幾何綜合問題新課程考試要求1.會解決簡單的立體幾何問題.2．會用向量方法證明直線、平面位置關(guān)系的有關(guān)命題.3．會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測（1）立體幾何中的動態(tài)問題.（2）立體幾何中的探索性問題.（3）平面圖形的翻折問題.（4）立體幾何與傳統(tǒng)文化（5）立體幾何新定義問題（6）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計算（特別是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計算解決立體幾何問題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進一步求角或距離.【考點分類剖析】考點一：立體幾何中的動態(tài)問題【典例1】（2021·福建高二期末）在棱長為1的正方體中，點，分別足，，其中，，則（）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，點，到平面的距離相等C．當(dāng)時，存在使得平面D．當(dāng)時，【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三條射線，，兩兩所成的角都是60°.點在上，點在內(nèi)運動，，則點的軌跡長度為()A． B． C． D．【總結(jié)提升】1.立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等．2．一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡．【變式探究】1.（2020·河北新華·石家莊二中高三月考（理））如圖，正方體中，P為底面上的動點，于E，且則點P的軌跡是（）A．線段 B．圓 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分2．【多選題】（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為，設(shè)圓臺的體積為，則下列選項中說法正確的是（）A．當(dāng)時， B．當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，先增大后減小C．不存在最大值 D．當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，逐漸減小考點二：立體幾何中的探索性問題【典例3】（2021·廣東高二期末）如圖，在正方體中，是棱的中點．（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端點）上是否存在點，使平面，給出你的結(jié)論，并證明．【典例4】（2020·全國）如圖，是的直徑，點B是上與A，C不重合的動點，平面.（1）當(dāng)點B在什么位置時，平面平面，并證明之；（2）請判斷，當(dāng)點B在上運動時，會不會使得，若存在這樣的點B，請確定點B的位置，若不存在，請說明理由.【典例5】（2020·全國高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小；（3）點在線段上，且，點在線段上，若平面，求的值（用含的代數(shù)式表示）.【規(guī)律方法】求解立體幾何中探索問題的策略1．條件探索性問題(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；(3)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．如本例(2)先根據(jù)題意猜測點的位置．再結(jié)合證明．一般探索點存在問題，點多為中點或三等分點中的一個．2．結(jié)論探索性問題首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論，就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)論，就否定假設(shè)．【變式探究】1．（2020·四川瀘縣五中高二開學(xué)考試（理））如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.2．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知在四棱錐中，平面平面，且是正方形.若.（1）求四棱錐的體積；（2）在線段上是否存在一點滿足：二面角的余弦值為？若存在，請求出的比值.若不存在，請說明理由.3．（2020·浦東新·上海師大附中高二期中）設(shè)四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.（1）求與平面所成角的正切值；（2）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.【總結(jié)提升】與空間角有關(guān)的探索性問題的解題策略與空間角有關(guān)的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角有關(guān)的存在性問題，常利用空間向量法求解．求解時，一般把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，并注意準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式．其步驟是：(1)假設(shè)存在(或結(jié)論成立)；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)(求)出相關(guān)空間點的坐標(biāo)；(3)構(gòu)建有關(guān)向量；(4)結(jié)合空間向量，利用線面角或二面角的公式求解；(5)作出判斷．考點三：平面圖形的折疊問題【典例6】【多選題】（2021·廣東高二期末）如圖，菱形邊長為，，為邊的中點．將沿折起，使到，且平面平面，連接，．則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．四面體的外接球表面積為C．與所成角的余弦值為 D．直線與平面所成角的正弦值為【典例7】（2021·江蘇高二期中）已知梯形如圖1所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖2所示的幾何體.（1）求證：平面平面；（2）求點F到平面ABE的距離；（3）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.【特別提醒】解決空間圖形的翻折問題時，要從如下幾個角度掌握變化規(guī)律：注意：掌握翻折過程中的特殊位置①翻折的起始位置；②翻折過程中，直線和平面的平行和垂直的特殊位置.【變式探究】1．（2021·貴州凱里一中高三三模（文））如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2021·重慶八中高三月考）如圖1，C，D是以AB為直徑的圓上兩點，且，，將所在的半圓沿直徑AB折起，使得點C在平面ABD上的正投影E在線段BD上，如圖2.（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）已知O為AB中點，在線段CE上是否存在點F，使得平面ACD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.考點四：立體幾何與傳統(tǒng)文化【典例8】（2020·海南高考真題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°【總結(jié)提升】近幾年高考命題關(guān)于這部分內(nèi)容的考查，主要是以傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)代生活為背景，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識，涉及三視圖、面積體積計算、幾何體的幾何特征等.【變式探究】（2021·全國高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點、距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面(包括邊界)上的動點，若動點滿足，則點所形成的阿氏圓的半徑為______；若是的中點，且滿足，則三棱錐體積的最大值是______.阿波羅尼奧斯考點五：立體幾何中的新定義問題【典例9】（2021·全國高三零模）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．【總結(jié)提升】精讀題干，理解新定義是解題的關(guān)鍵.【變式探究】（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．（1）如