專題14算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入易錯點1忽略判斷框內(nèi)的條件閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入n的值為9，則輸出S的值為.【錯解】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故輸出S的值為546.【錯因分析】解題過程錯在循環(huán)是在k=10終止，而不是在k=9時終止，所以循環(huán)體最后一次執(zhí)行的是S=S＋29＋9.【試題解析】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故輸出S的值為1067.【參考答案】1067【警示】解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明晰循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的真正含義，對于本題，要認清程序框圖運行的次數(shù).1.注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.2.注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：對于循環(huán)結(jié)構(gòu)有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復(fù)性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是A．56 B．54C．36 D．64【答案】B【解析】模擬程序框圖的運行過程，如下：a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4；c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7；c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12；c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.c＞20,此時結(jié)束循環(huán)，S=54.故答案為B.【名師點睛】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序結(jié)束后輸出的S值．(1)本題主要考查程序框圖，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求程序框圖的輸入和輸出結(jié)果，主要方法是模擬運行，認真計算.易錯點2誤將類比所得結(jié)論作為推理依據(jù)已知都是非零實數(shù),不等式的解集分別為M,N,則“”是“M=N”成立的條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一種).【錯解】由知兩個不等式同解,即“”是“M=N”成立的充要條件.【錯因分析】錯解將方程的同解原理類比到不等式中,忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別.【試題解析】當時，可取,則,故;當時，可取，則，即.綜上知“”是“M=N”成立的既不充分又不必要條件.【參考答案】既不充分又不必要條件類比推理是不嚴格的,所得結(jié)論的正確與否有待用實踐來證明,解題時若直接使用類比所得結(jié)論進行推理則容易出現(xiàn)錯誤.2．下面給出了關(guān)于向量的三種類比推理：①由數(shù)可以比較大小類比得向量可以比較大小；②由平面向量的性質(zhì)類比得到空間向量的性質(zhì)；③由向量相等的傳遞性，可類比得到向量平行的傳遞性：，.其中正確的是A．②③ B．②C．①②③ D．③【答案】B【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，①錯；當為零向量，與為不共線的非零向量時，不滿足向量平行的傳遞性，③錯誤；只有②正確，故選B．【名師點睛】本題主要考查的是向量和類比推理，向量是有方向又有長度的量，長度可以比較大小，向量不可以比較大小，規(guī)定零向量是與任意向量共線（平行）的，所以考慮平行時要特別注意零向量.對三個選項逐個進行分析即可得到結(jié)論.易錯點3小前提錯誤判斷函數(shù)的單調(diào)性．【錯解】指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)．【錯因分析】錯解中的小前提“是指數(shù)函數(shù)”是錯誤的，函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，而是一個分段函數(shù)，在每一個分段區(qū)間上是指數(shù)函數(shù)，并且底數(shù)的取值不同，要對單調(diào)性進行討論．【試題解析】對于指數(shù)函數(shù)，當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)，故當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)．演繹推理的前提與結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的小前提.3．因為對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是對數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，上面的推理錯誤的是A．大前提 B．小前提C．推理形式 D．以上都是【答案】A【解析】由于三段論的大前提“對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯誤的，只有當a>1時，對數(shù)函數(shù)才是增函數(shù).故答案為A.【名師點睛】(1)本題主要考查三段論，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)一個三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結(jié)論才是正確的.易錯點4反證法誤區(qū)——推理中未用到結(jié)論的反設(shè)已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程無實數(shù)根.【錯解】假設(shè)方程有實數(shù)根，由已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得，而關(guān)于x的方程的根的判別式.∵,∴，∴,即關(guān)于x的方程無實數(shù)根.【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法.【試題解析】假設(shè)方程有實數(shù)根，則該方程的根的判別式，解得或①,而由已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得②.數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程無實數(shù)根.利用反證法進行證明時，首先對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè)，并以此為條件進行歸謬，得到矛盾，則原命題成立.4．利用反證法證明：“若，則”時，假設(shè)為A．，都不為0 B．且，都不為0C．且，不都為0 D．，不都為0【答案】D【解析】原命題的結(jié)論是都為零，反證時，假設(shè)為不都為零.故選D.易錯點5對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念不理解出錯設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R）的模為，則（a＋bi）（a－bi）=.【錯解】復(fù)數(shù)a＋bi的模為，則a2＋b2=.又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2=，故（a＋bi）（a－bi）=.【錯因分析】上述的解題過程對復(fù)數(shù)模的運算處出現(xiàn)了一個簡單的失誤，對于復(fù)數(shù)z=a＋bi的模|z|=，故應(yīng)為a2＋b2=3.=a2－b2i2=a2＋b2=3.3復(fù)數(shù)的運算過程中要注意靈活運用復(fù)數(shù)的概念及運算法則.如本例中模的計算要兩邊同時平方而得出正確結(jié)論.1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2.對于復(fù)系數(shù)（系數(shù)不全為實數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進行求解.3.兩個虛數(shù)不能比較大小.4.利用復(fù)數(shù)相等a＋bi=c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.5.注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來.例如，若z1，z2∈C，=0，就不能推出z1=z2=0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.5．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，據(jù)此可知，復(fù)數(shù)z的虛部為.本題選擇D選項.【名師點睛】首先化簡復(fù)數(shù)z，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義確定其虛部即可.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．易錯點6數(shù)學歸納法的應(yīng)用誤區(qū)——歸納假設(shè)只設(shè)不用用數(shù)學歸納法證明：.【錯解】（1）當時,左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,等式成立.（2）假設(shè)當時等式成立,即.那么，當時,需證(*).由于等式左邊是一個以1為首項,3為公差的等差數(shù)列的前k+1項的和,所以左邊==右邊,所以(*)式成立.即時等式成立,根據(jù)（1）和（2）,可知等式對任何都成立.【錯因分析】錯解在證明當?shù)仁匠闪r,沒有用到歸納假設(shè)“當時等式成立”,故不符合數(shù)學歸納法證題的要求.【試題解析】（1）當時,左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,等式成立.（2）假設(shè)當時等式成立,即.那么，當時,.即當時等式成立.根據(jù)（1）和（2）,可知等式對任何都成立.判斷用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題是否正確,關(guān)鍵要看兩個步驟是否齊全,特別是第二步歸納假設(shè)是否被應(yīng)用,如果沒有用到歸納假設(shè),那就是不正確的.6．已知正項數(shù)列中，，且（1）分別計算出的值，然后猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【答案】（1）；；（2）見解析.【解析】（1）令得，化簡得，解得或.令得化簡得，解得或令得化簡得，解得或猜想（*）.（2）①當時，，（*）式成立；②假設(shè)時（*）式成立，即，那么當時，化簡得所以當時，（*）式也成立.綜上：由①②得當時，【名師點睛】本題考查歸納-猜想-證明，這一常見思維方式，而與自然數(shù)相關(guān)的結(jié)論證明我們常用數(shù)學歸納法.（1）逐個計算出的值，再通過觀察可猜.（2）先檢驗n=1滿足，再假設(shè)時（*）式成立，即，下證時即可證明.一、算法初步1.在設(shè)計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性.2.在畫算法框圖時首先要進行結(jié)構(gòu)的選擇.若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入選擇結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進行許多重復(fù)的步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu).3.循環(huán)語句有“直到型”與“當型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，主要解決需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，用循環(huán)語句來編寫程序.4.關(guān)于賦值語句，有以下幾點需要注意：（1）賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如3=m是錯誤的.（2）賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y=x，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為x=Y.因為后者表示用Y的值替代變量x的值.（3）在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個“=”.二、推理與證明1．常見的類比、歸納推理及求解策略（1）在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：①找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等．2．利用綜合法、分析法證明問題的策略（1）綜合法的證明步驟如下：①分析條件,選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理等；②轉(zhuǎn)化條件,組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化,書寫出嚴密的證明過程.特別地,根據(jù)題目特點選取合適的證法可以簡化解題過程.（2）分析法的證明過程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化,直到獲得一個顯而易見的命題即可.（3）實際解題時，用分析法思考問題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過程，或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.3．用反證法證明不等式要把握的三點（1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面．（2）必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證.（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.4．反證法的一般步驟用反證法證明命題時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程.這個過程包括下面三個步驟:（1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真;（2）歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾;（3）存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論成立.即反證法的證明過程可以概括為：反設(shè)——歸謬——存真.5．應(yīng)用數(shù)學歸納法的常見策略（1）應(yīng)用數(shù)學歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由n=k到n=k＋1時等式兩邊變化的項．（2）應(yīng)用數(shù)學歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由n=k成立證n=k＋1時也成立．在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧．（3）應(yīng)用數(shù)學歸納法解決“歸納—猜想—證明”，是不完全歸納與數(shù)學歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.三、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.3.實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系，即4.復(fù)數(shù)運算常用的性質(zhì)：（1）①（1±i）2=±2i；②i，i.（2）設(shè)ω=，則①|(zhì)ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③=ω2.（3）in＋in＋1＋in＋2＋in＋3=0（n∈N*）.1．（2018全國卷Ⅲ理）A． B．C． D．2．（2018浙江）復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?iC．?1+i D．?1?i

3．在下列命題中,正確命題的個數(shù)是①兩個復(fù)數(shù)不能比較大小;②復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限;③若是純虛數(shù),則實數(shù);④若,則.A．0 B．1C．2 D．34．已知復(fù)數(shù)，若，則=A．2 B．C． D．55．已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=的虛部是A． B．1C． D．6．已知為虛數(shù)單位,且=,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．復(fù)數(shù)，且，則的值是A． B．C． D．28．下面關(guān)于復(fù)數(shù)=的四個命題:的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為的虛部為-1;,其中的真命題是A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的值的取值范圍是A．或 B．C．或 D．或10．（2018全國卷II理）為計算，設(shè)計了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A． B．C． D．11．習總書記在十九大報告中指出:堅定文化自信,推動社會主義文化繁榮興盛.如圖,“大衍數(shù)列”:0,2,4,8,12…來源于<乾坤譜>中對<易傳>“大衍之數(shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前項和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,輸入,則輸出的A．100 B．140C．190 D．25012．某程序框圖如圖所示，若輸出，則判斷框中為A． B．C． D．13．宋元時期數(shù)學名著<算學啟蒙>中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入的分別為則輸出的A． B． C． D．14．用秦九韶方法求多項式=在的值時,的值為A．34 B．220 C．-845 D．339215．某班有三個小組,甲、乙、丙三人分屬不同的小組.某次數(shù)學考試成績公布情況如下:甲和三人中的第3小組那位不一樣,丙比三人中第1小組的那位的成績低,三人中第3小組的那位比乙分數(shù)高.若甲、乙、丙三人按數(shù)學成績由高到低排列,正確的是A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙 C．乙、甲、丙 D．丙、甲、乙16．中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指<孫子算經(jīng)>中記載的算籌,古代是用算籌來進行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算.算籌的擺放形式有縱橫兩種形式.如圖,表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬位用橫式表示,以此類推,例如用算籌表示就是,則用算籌表示為A． B．C． D．

17．某運動隊對A，B，C，D四位運動員進行選拔，只選一人參加比賽，在選拔結(jié)果公布前，甲、乙、丙、丁四位教練對這四位運動員預(yù)測如下：甲說：“是C或D參加比賽”，乙說：“是B參加比賽”，丙說：“是A，D都未參加比賽”，丁說：“是C參加比賽”.若這四位教練中只有兩位說的話是對的，則獲得參賽的運動員是A．A B．BC．C D．D18．甲乙丙丁四名同學參加某次過關(guān)考試,甲乙丙三個人分別去老師處問詢成績,老師給每個人只提供了其他三人的成績.然后,甲說:我們四個人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);丙說:甲乙丁恰好有一人過關(guān).假設(shè)他們說的都是真的,則下列結(jié)論正確的是A．甲沒過關(guān) B．乙沒過關(guān) C．丙過關(guān) D．丁過關(guān)19．用反證法證明命題“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一個能被7整除”時，假設(shè)的內(nèi)容是A．都不能被7整除 B．都能被7整除C．只有一個能被7整除 D．只有不能被7整除20．在一次體育興趣小組的聚會中,要安排人的座位,使他們在如圖所示的個椅子中就坐,且相鄰座位(如與與)上的人要有共同的體育興趣愛好,現(xiàn)已知這人的體育興趣愛好如下表所示,且小林坐在號位置上,則號位置上坐的是A．小方 B．小張 C．小周 D．小馬21．下圖的表在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，這又是我國數(shù)學史上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，則此數(shù)列前16項和為A． B．C． D．22．四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1，2，3，4的4個位子上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2018次互換座位后，小兔的座位對應(yīng)的編號為______________.23．“求方程的解”有如下解題思路:設(shè),則在上單調(diào)遞減,且,所以原方程有唯一解.類比上述解題思路,不等式的解集是

．24．給出下列等式：，，，……請從中歸納出第個等式：=___________．25．有一個游戲：盒子里有個球，甲、乙兩人依次輪流拿球（不放回），每人每次至少拿一個，至多拿三個，誰拿到最后一個球就算誰贏.若甲先拿，則下列說法正確的有__________．①若，則甲有必贏的策略； ②若，則乙有必贏的策略；③若，則乙有必贏的策略； ④若，則甲有必贏的策略.26．已知,分別求f(0)+f(1),f(﹣1)+f(2),f(﹣2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并證明你的結(jié)論.27．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)cn=(3n+1)an，證明：數(shù)列{cn}中任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列.28．(1)用數(shù)學歸納法證明:當時,++?+,且,);(2)求++?+的值.29．已知正項數(shù)列滿足，且，設(shè).（1）求證：；（2）求證：；（3）設(shè)為數(shù)列的前項和，求證：._