小專題(一)構(gòu)造“三線合一”解題

模型一：構(gòu)等腰用“三線”【模型】構(gòu)“腰”用“三線合一”【條件】AD⊥BC，∠1＝∠2.【結(jié)論】AB＝AC，BD＝CD.1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，AB的垂直平分線交AD于點O，E為AC的中點．求證：OE⊥AC.證明：

連接OB，OC.∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD垂直平分BC.∴OB＝OC.∵點O在AB的垂直平分線上，∴OB＝OA，∴OA＝OC.∵E為AC的中點，∴OE⊥AC.

模型二：等腰＋中點→連中線→用“三線”【模型】連中線用“三線合一”【條件】AB＝AC，BD＝CD.【結(jié)論】AD⊥BC，∠1＝∠2.2．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O為AB的中點，OE⊥OF分別交AC，BC于點E，F(xiàn).求證：OE＝OF.證明：連接OC.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，O為AB的中點，∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB，∴OC＝OB，∠COB＝90°.又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.∴△EOC≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.

模型三：等腰→作底邊上的高→二倍角或線段關(guān)系3．如圖，在四邊形ADEC中，∠ACE＝90°，DE⊥CD，且AC＝AD＝CE.求證：CD＝2DE.

4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB邊上，BD＝BC.求證：∠ABC＝2∠ACD.證明：過點B作BE⊥CD，垂足為E.∵BD＝BC，∴∠ABC＝2∠CBE.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠ABC＝2∠ACD.小專題(二)巧用等腰三角形構(gòu)造全等三角形

類型一：利用邊相等構(gòu)造等腰＋全等三角形1．如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，點D在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，BD＝CE.求證：△ABC是等腰三角形．

2．如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點，E為AB延長線上一點，DE⊥AC交BC于點F，且DF＝EF.求證：CD＝BE.

類型二：通過倍長中線或作平行線構(gòu)造全等3．如圖，AC是△ABD的中線，AD是△ABE的中線，BA＝BD.求證：AE＝2AC.證明：延長AC到點F，使CF＝AC，連接DF.∵AC是△ABD的中線，∴BC＝DC.∵∠ACB＝∠FCD，∴△ABC≌△FDC(SAS)．∴∠B＝∠FDC，DF＝BA.又∵BA＝BD，AD是△ABE的中線，∴∠BAD＝∠BDA，DF＝BD＝DE.∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝∠FDC＋∠BDA＝∠ADF.∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF＝2AC.4．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，連接AD，點F是AD上一點，延長BF交AC于點E，且AE＝EF，求證：BF＝AC.

小專題(三)構(gòu)造等腰三角形的輔助線作法

模型一：等腰三角形＋平行線→等腰三角形【模型展示】①作腰的平行線構(gòu)造等腰三角形，若AB＝AC，DE∥AC，則△BDE為等腰三角形；②作底邊的平行線構(gòu)造等腰三角形．若AB＝AC，DE∥BC，則△ADE為等腰三角形．1．如圖，在△ABC中，CA＝CB，D在AC的延長線上，E在BC上，且CD＝CE.求證：DE⊥AB.證明：過點D作DM∥AB交BC的延長線于點M，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴∠M＝∠B＝∠A＝∠CDM，∴MC＝DC.又∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴2(∠CDM＋∠CDE)＝180°，∴∠MDE＝90°，即MD⊥DE，∴DE⊥AB.

模型二：角平分線＋垂線→等腰三角形【模型展示】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，延長CD交AB于點E，則△ACE是等腰三角形．2．如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點P，連接CP.若BC＝4，點P到BC的距離為1，求△ABC的面積．解：延長AP交BC于點E.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP.∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠BPE.∴△APB≌△EPB(ASA)，∴S△ABP＝S△EBP，AP＝PE.

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分線，CD⊥BE交BE的延長線于點D.求證：BE＝2CD.證明：延長BA，CD相交于點Q.∵∠A＝90°，CD⊥BE，∴∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°，∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°.∴∠ACQ＝∠ABE.∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACQ(ASA)．∴BE＝CQ.∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD.∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°.∴△BCD≌△BQD(ASA)．∴∠BCD＝∠BQD，即△BCQ為等腰三角形．∴CD＝DQ.∴BE＝CQ＝2CD.

模型三：截長補短→等腰三角形解題思路：如果題干中出現(xiàn)了幾條線段之間的和差關(guān)系，一般考慮用截長補短作輔助線解題．【模型展示】與角平分線有關(guān)的截長補短模型角平分線＋截長角平分線＋補短條件∠1＝∠2，∠B＝2∠C∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C結(jié)論AC＝AB＋BDAC＝AB＋BD4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，則∠B的度數(shù)為()A．30°

B．40°

C．60°

D．80°D【解析】在AC上取一點E，使AE＝AB，連接DE，易證△ADB≌△ADE，∴BD＝DE，∴DE＝CE，由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系即可得解．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D.求證：BC＝AB＋CD.

模型四：倍角關(guān)系→等腰三角形【模型展示】在△ABC中，∠ABC＝2∠C.方法一：如圖①，外構(gòu)等腰三角形，作DB＝AB.方法二：如圖②，內(nèi)構(gòu)等腰三角形，作AD＝AB.方法三：如圖③，