重難點(diǎn)培優(yōu)14導(dǎo)數(shù)中的新定義問題

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01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基..........................................................................................................1

02題型精研?技巧通法提能力..........................................................................................................2

題型一曲率問題（★★★★★）................................................................................................................2

題型二牛頓法（★★★★）........................................................................................................................3

題型三凹凸函數(shù)（★★★）........................................................................................................................5

題型四拐點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)（★★★★★）.......................................................................................7

題型五二元函數(shù)（★★★）........................................................................................................................9

題型六切線相關(guān)新定義問題（★★★★）.............................................................................................10

題型七其他導(dǎo)數(shù)新概念定義（★★★★★）.........................................................................................12

題型八其他導(dǎo)數(shù)新運(yùn)算定義（★★★★）.............................................................................................13

題型九其他導(dǎo)數(shù)新性質(zhì)定義（★★★★★）.........................................................................................14

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效........................................................................................................15

檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固..............................................................................................................................15

檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升..............................................................................................................................22

一、新定義問題的解題思路

1、深刻理解題目中新函數(shù)的定義，新函數(shù)所具有的性質(zhì)或滿足的條件，將定義、性質(zhì)等與所求之間建立聯(lián)

系。

2、轉(zhuǎn)化：將題目中的新函數(shù)與已學(xué)函數(shù)聯(lián)系起來，仔細(xì)閱讀已知條件進(jìn)行分析，通過類比已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)、

圖像解決問題，或者將新函數(shù)轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式。

3、代入特殊值：如果新函數(shù)的某一性質(zhì)對(duì)某些數(shù)值恒成立，可以通過代入特殊值，得到特殊函數(shù)值甚至函

數(shù)解析式，從而解決問題。

二、解題步驟，求解“新定義”題目，主要分如下幾步

1、對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)；

2、對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法和相近的知識(shí)點(diǎn)，明確它們的相同點(diǎn)和相似點(diǎn)；

3、對(duì)定義中提取的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換、提取和轉(zhuǎn)換，這是解題的關(guān)鍵，如果題目是新定義的運(yùn)算、法則，直接

按照法則計(jì)算即可；若新定義的性質(zhì)，一般要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特質(zhì)排除，

注意新定義題目一般在高考試卷的壓軸位置，往往設(shè)置三問，第一問的難度并不大，所以對(duì)于基礎(chǔ)差的考

生也不要輕易放棄。

三、導(dǎo)數(shù)新定義問題的方法和技巧

1、可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

2、可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；

3、發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

4、如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書

上的概念.

題型一曲率問題

1．（24-25高三下·廣東東莞·月考）類似于斜率，我們給出曲率的定義：如圖所示，設(shè)曲線C是光滑的，

在曲線C上選定一點(diǎn)M0作為度量弧s的基點(diǎn).設(shè)曲線上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧s，在點(diǎn)M處的傾角為，曲線上另

外一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧sΔs，在點(diǎn)M處的傾角為，則弧段MM的長度為s，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M轉(zhuǎn)到M時(shí)

切線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為，用比值來表示弧段的平均彎曲程度，叫做平均曲率，并記作K.類似于從

sMM

平均速度引入瞬時(shí)速度的方法，當(dāng)這個(gè)M趨于M時(shí)，上述平均曲率的極限就叫做曲線C在M處的曲率，

Δy

Δ

Klim3

記作K；Klim.在數(shù)學(xué)上給出曲率的公式：Δs0Δs.（其中y，y分別表示yfx

Δs0Δs1y22

x21

在點(diǎn)M處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）,根據(jù)定義，橢圓y21在點(diǎn)3，的曲率為.

42

y

Kx

．（高三下河南月考）（多選題）定義函數(shù)的曲率函數(shù)3（是的導(dǎo)

223-24··yfx2yy

1y2

函數(shù)），函數(shù)yfx在xx0處的曲率半徑為該點(diǎn)處曲率Kx0的倒數(shù)，曲率半徑是函數(shù)圖象在該點(diǎn)處曲

率圓的半徑，則下列說法正確的是（）

A．若曲線在各點(diǎn)處的曲率均不為0，則曲率越大，曲率圓越小

π

B．函數(shù)ysinx在x處的曲率半徑為1

2

C．若圓C為函數(shù)ylnx的一個(gè)曲率圓，則圓C半徑的最小值為2

1

D．若曲線ylnx在x,xxx處的彎曲程度相同，則xx

1212122

3．（24-25高三上·廣西·月考）曲率是表示曲線在某一點(diǎn)的彎曲程度的數(shù)值，曲線的曲率定義如下：若fx

是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，則曲線yfx在點(diǎn)Px0,fx0處的曲率

fx0

K3

2.

2

1fx0

(1)若函數(shù)fxx22x3，求曲線yfx在點(diǎn)P1,f1處的曲率.

1

(2)若函數(shù)fx4x2(2x2)，證明：曲線yfx在其上任意一點(diǎn)處的曲率為定值，且該定值為.

2

πx

(3)已知函數(shù)fxacos(2x2)，若在曲線yfx上存在一點(diǎn)Px,fx，使曲線yfx在點(diǎn)P

400

1

處的曲率K，求a的取值范圍.

2

題型二牛頓法

1．（24-25高三上·湖北·期中）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法—牛頓迭代法，

做法如下：如圖，設(shè)r是fx0的根，選取x0作為r的初始近似值，過點(diǎn)x0,fx0作曲線yfx的切

fx

0

線l:yfx0fx0xx0，則l與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1x0fx00，稱x1是r的第一次

fx0

近似值；過點(diǎn)x1,fx1作曲線yfx的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的第二次

fx

n

近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中xn1xnfxn0，稱xn1是r的n1次近似值，

fxn

這種求方程fx0近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程x23的近似解，則下列正確的是

（）

A．若取初始近似值為1，則過點(diǎn)1,f1作曲線yfx的切線y2x3

7

B．若取初始近似值為1，則該方程解的第二次近似值為

5

fx0fx1fx2

C．x3x0

fx0fx1fx2

fx0fx1fx2fxn

D．xn1x0

fx0fx1fx2fxn

2．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）17世紀(jì)，牛頓在《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》一書中，給出了代數(shù)方程的一種

數(shù)值解法：如圖所示，我們想要找到fx0的根，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可以先在A點(diǎn)附近取一個(gè)初始值，

比如橫坐標(biāo)為xx0處，然后在以x0為橫坐標(biāo)的B點(diǎn)處作一條切線，并求出該切線與x軸的交點(diǎn)x1，此時(shí)，

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)x1比初始值x0更接近A點(diǎn)．如果重復(fù)這個(gè)過程，不斷繪制切線并計(jì)算其與x軸的交點(diǎn)，依次迭

代下去，我們將得到，根據(jù)給定的精確度，直到求得滿足精度的近似解為

x2,x3,x4,,xn,xn1xnxn

x2

止nN．這就是牛頓迭代法（切線法）的原理．已知fxex，取x01．

(1)根據(jù)牛頓迭代法，求x1；

(2)求xn1與xn的關(guān)系式nN；

(3)牛頓迭代法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取曲線的切線或割線．若

gxxlnxx2e1x1，求證：fxgx．

3．（24-25高三上·安徽六安·月考）從函數(shù)的觀點(diǎn)看，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為r.牛頓在

《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.具體做法如下：先在x軸找初始點(diǎn)

P0(x0,0)，然后作yfx在點(diǎn)Q0(x0,f(x0))處切線，切線與x軸交于點(diǎn)P1(x1,0)，再作yfx在點(diǎn)

Q1(x1,f(x1))處切線(Q1P1x軸，以下同)，切線與x軸交于點(diǎn).P2(x2,0)，再作yfx在點(diǎn)Q2(x2,f(x2))處

切線，一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：x0,x1,x2,,xn.顯然，它們會(huì)越來越逼近r.于是，求r近似解的過程轉(zhuǎn)化

為求xn，若設(shè)精度為，則把首次滿足|xnxn1|的xn稱為r的近似解.

32

(1)設(shè)fxxx1，試用牛頓法求方程fx0滿足精度0.4的近似解(取x01，且結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后第二位)；

(2)如圖，設(shè)函數(shù)gx2x；

(i)由以前所學(xué)知識(shí)，我們知道函數(shù)gx2x沒有零點(diǎn)，你能否用上述材料中的牛頓法加以解釋?

(ii)若設(shè)初始點(diǎn)為P0(0,0)，類比上述算法，求所得前n個(gè)三角形P0Q0P1,P1Q1P2,,Pn1Qn1Pn的面積和.

題型三凹凸函數(shù)

1．函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個(gè)彎曲方

向的問題，即函數(shù)的凹凸性，函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)（即具

有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來描述定義如下：設(shè)fx在區(qū)間D上連續(xù)，如果對(duì)D上任意兩點(diǎn)x1,x2恒有

xxfx1fx2

f12，則稱fx在區(qū)間D上的圖形是凹的（圖1），區(qū)間D為fx凹的區(qū)間；設(shè)fx

22

x1x2fx1fx2

在區(qū)間D上連續(xù)，如果對(duì)D上任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f，則稱fx在區(qū)間D上的圖形

22

是凸的（圖2），區(qū)間D為fx凸的區(qū)間.

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：設(shè)fx在區(qū)間D上連續(xù)，在區(qū)間D上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，

那么①如果fx在D上恒有fx0，則fx在區(qū)間D上的圖象是凹的；如果fx在區(qū)間D上的圖象是

凹的，則fx在D上恒有fx0；②如果fx在D上恒有fx0，則fx在區(qū)間D上的圖象是凸

的；如果fx在區(qū)間D上的圖象是凸的，則fx在D上恒有fx0；其中fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，為

fx的一階導(dǎo)數(shù)；fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，為fx的二階導(dǎo)數(shù).根據(jù)以上內(nèi)容，完成如下問題：

x

(1)試判斷函數(shù)fx,x0,1圖象是凹的還是凸的，用定理證明；

1x

1

(2)已知函數(shù)gxlnxx2，求gx的凹的區(qū)間和凸的區(qū)間；

2

(3)若m0時(shí)，mx2lnx1ex0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2．（24-25高三上·黑龍江·月考）若x1,x2,,xn為(a,b)上任意n個(gè)實(shí)數(shù)，滿足

x1x2xnfx1fx2fxn

f，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2xn時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)f(x)在

nn

(a,b)上為“凸函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x),f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)

f(x)0時(shí)，函數(shù)f(x)在(a,b)上的為“凸函數(shù)”.若x1,x2,,xn為(a,b)上任意n個(gè)實(shí)數(shù)，滿足

x1x2xnfx1fx2fxn

f，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2xn時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)f(x)在

nn

(a,b)上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x),f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)

f(x)0時(shí)，函數(shù)f(x)在(a,b)上的為“凹函數(shù)”.這里關(guān)于凹凸函數(shù)的不等式即為著名的琴生不等式.

1π

(1)討論函數(shù)f(x),x0,的凹凸性；

tanx2

111

(2)在銳角VABC中，求的最小值；

tanAtanBtanC

n

*1111

(3)若n個(gè)正數(shù)a1,a2,annN滿足a1a2an1，證明:a1a2ann.

a1a2ann

題型四拐點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)

1．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）定義：設(shè)f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，fx是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，若方

程f(x)0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)x0,fx0為函數(shù)yf(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都

有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)f(x)x3bx2xa圖象的對(duì)稱中心為(0,1)，則

下列說法中正確的有（）

A．a(chǎn)1，b0B．函數(shù)f(x)的極大值與極小值之和為2

C．函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)D．yf(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

2．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·期中）（多選題）設(shè)在區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，函數(shù)f(x)

的導(dǎo)函數(shù)為f(x).若方程f(x)0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)x0,fx0為函數(shù)yf(x)的“拐點(diǎn)”；又當(dāng)函數(shù)f(x)

在區(qū)間D上單調(diào)遞減時(shí)，稱函數(shù)yf(x)為區(qū)間D上的“上凸函數(shù)”.則（）

A．任何一個(gè)三次函數(shù)均有“拐點(diǎn)”

π

B．函數(shù)f(x)2xcosx1為區(qū)間0,上的“上凸函數(shù)”

2

C．若函數(shù)f(x)x34ax23a2x2的“拐點(diǎn)”在y軸的右側(cè)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,4a)上單調(diào)遞減

11

D．若函數(shù)f(x)x3ax2axaxlnx存在拐點(diǎn)，且為定義域上的“上凸函數(shù)”，則a8

32

3．（24-25高三上·湖南婁底·期末）（多選題）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，若x0D，fx0x0，

則稱x0是fx在D上的不動(dòng)點(diǎn)，集合Ax0fx0x0,x0D為fx在D上的不動(dòng)點(diǎn)集.若函數(shù)

32

fxx3m1x1m0在R上的不動(dòng)點(diǎn)集為x1,x2,x3，下列結(jié)論正確的是（）

A．x1x2x30B．x1x2x31

3

42223

C．0mD．x1x2x332

2

4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）對(duì)于函數(shù)fx，若實(shí)數(shù)x0滿足fx0x0，則x0稱為fx的不動(dòng)點(diǎn)．已

知函數(shù)fxex2xaexx0．

(1)當(dāng)a1時(shí)，求證：fx0；

(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)fx的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

5．（23-24高三下·陜西西安·月考）“拐點(diǎn)”又稱“反曲點(diǎn)”，是曲線上彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn).設(shè)x為函數(shù)

x的導(dǎo)數(shù)，若為x的極值點(diǎn)，則,為曲線yx的拐點(diǎn).

已知曲線C：yx33x21.

(1)求C的拐點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)證明：C關(guān)于其拐點(diǎn)對(duì)稱；

(3)設(shè)l為C在其拐點(diǎn)處的切線，證明：所有平行于l的直線都與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

6．對(duì)于三次函數(shù)fx，給出定義：設(shè)fx是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，fx是fx的導(dǎo)數(shù)（稱為fx的二階導(dǎo)數(shù)），

若方程fx0有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)fx的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，

1m5

任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)fxx3x23x.

3212

(1)若fx既有極大值又有極小值，求m的取值范圍；

(2)當(dāng)m1時(shí)，①求fx的對(duì)稱中心；

1232024

②計(jì)算ffff的值.

2025202520252025

xI

7．（2024·河北滄州·一模）對(duì)于函數(shù)yf(x)，xI，若存在0，使得fx0x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的

xI

一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在0，使得ffx0x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函

數(shù)f(x)的n階不動(dòng)點(diǎn)．其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”

和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和B，即Axf(x)x，Bxf(f(x))x．

x

(1)若fxee(x0)，證明：集合Axf(x)x中有且僅有一個(gè)元素；

12lnx

(2)若fxa1x(a1)，討論集合B的子集的個(gè)數(shù)．

xe2

xI

8．（23-24高三下·重慶·月考）對(duì)于函數(shù)yfx，xI，若存在0，使得fx0x0，則稱x0為函數(shù)fx

xI

的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在0，使得ffx0x0，則稱x0為函數(shù)fx的二階不動(dòng)點(diǎn)，一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱不動(dòng)

點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn)．

(1)已知fx2x2x3，求fx的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)已知函數(shù)fx在定義域內(nèi)嚴(yán)格增，求證：“x0為函數(shù)fx的不動(dòng)點(diǎn)”是“x0為函數(shù)fx的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分

必要條件；

21

(3)已知a1，討論函數(shù)fxlnxa1x的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù)．

e2x

題型五二元函數(shù)

1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)zf(x,y)在約束條件g(x,y)

的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,)f(x,y)g(x,y)，其中為拉格朗日系數(shù)．分

別對(duì)L(x,y,)中的x,y,λ部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：

L(x,y,)f(x,y)g(x,y)0

xxx

Ly(x,y,)fy(x,y)gy(x,y)0，解此方程組，得出解(x,y)，就是二元函數(shù)zf(x,y)在約束條件g(x,y)

L(x,y,)g(x,y)0

的可能極值點(diǎn)．x,y的值代入到f(x,y)中即為極值．

22

補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)f(x,y)xxyy關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù)．即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，即：fx(x,y)2xy，

下標(biāo)加上x，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的Lx,Ly,L表示分別對(duì)x,y,λ進(jìn)行求

導(dǎo)．

(1)求函數(shù)f(x,y)x2y22xyxy2關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)x1處的導(dǎo)數(shù)值．

(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足g(x,y)4x2y2xy10，求f(x,y)2xy的最大值．

1

(3)①若x,y,z為實(shí)數(shù)，且xyz1，證明：x2y2z2．

3

11

②設(shè)abc0，求2a210ac25c2的最小值．

aba(ab)

2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)zfx,y在點(diǎn)x0,y0

附近有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有改變量x時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)zfx,y有改變量

z

zfx0x,y0fx0,y0，如果lim存在，那么稱此極限為二元函數(shù)zfx,y在點(diǎn)x0,y0處對(duì)x的

x0x

z

偏導(dǎo)數(shù)（計(jì)算時(shí)相當(dāng)于將y視為常數(shù)），記作，若zfx,y在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)x,y對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

x

x0,y0

都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于x的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)zfx,y對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作

z

.以上定義同樣適用于三元函數(shù).

x

PVPVT

(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個(gè)變量P、V、T滿足：R（R是非零常量）.求的值，并說明其

TVTP

為常數(shù).

yz

求值：對(duì)zeysin的偏導(dǎo)數(shù)

(2)y1.

x,2

π

(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價(jià)值.在幾何學(xué)中，某個(gè)平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲

2

線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族C：xty21的包絡(luò)線為y1.不難發(fā)現(xiàn)：

y

對(duì)于任何一個(gè)給定的x0的值，包．絡(luò)．線．與．原．曲．線．的．切．點(diǎn)．x0,y0的y0總是對(duì)應(yīng)值在參數(shù)取遍后得到的極．值．.

已知函數(shù)fxa2xx2lnax0，a0的包絡(luò)線為gx.

（i）求證：fxgx.

（ⅱ）設(shè)fx的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線x，求證：當(dāng)a1時(shí)，x與gx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

3．（2025·四川·三模）定義二元函數(shù)fm,nm,nR，且同時(shí)滿足：①fm,1sinm；

sin2mnm

②fm,n1fm,n兩個(gè)條件．

2n1

π

(1)求f,2的值；

2

(2)當(dāng)0mπ時(shí)，比較fm,nnN*和0的大小；

sinx

(3)若x0為gxln1xfx,2ax2的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．

3

附：參考公式：

11

sincossinsincossinsinsin

22

11

coscoscoscossinsincoscos

22

題型六切線相關(guān)新定義問題

1

1．已知函數(shù)fxlnxax2a1xaR,a0.

2

(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)記函數(shù)Fx的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2是曲線C上兩個(gè)不同點(diǎn)，如果曲線C上存在

x1x2

Mx0,y0，使得：①x；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)Fx存在“中值相

02

依切線”.試問：函數(shù)fx是否存在中值相依切線，說明理由.

xI

2．設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間I，若存在0，使得yf(x)在xx0處的切線l與yf(x)的圖象

只有唯一的公共點(diǎn)，則稱yf(x)為“L函數(shù)”，切線l為一條“L切線”.已知函數(shù)g(x)x3x21.

(1)求曲線yg(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程;

(2)判斷（1）中所求切線是否是函數(shù)g(x)的一條“L切線”，并說明理由;

(3)當(dāng)1x1時(shí)，求證：函數(shù)g(x)為“L函數(shù)”.

3．（2025·湖北宜昌·二模）定義：若函數(shù)f(x)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)P,Q，滿足曲線yf(x)在P和Q

處的切線重合，則稱P,Q為曲線yf(x)的“雙重切點(diǎn)”，直線PQ為曲線yf(x)的“雙重切線”.已知函數(shù)

f(x)axsinxbcosx.

(1)當(dāng)a1,b0時(shí)

ππ

（i）判斷f(x)的奇偶性，并求f(x)在,的極值；

22

π

（ii）設(shè)f(x)在(0,)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列a1,a2,,an，求證：aaπ；

2n1n

(2)當(dāng)a0,b1時(shí)，直線PQ為曲線yfx的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值為k1,k2,,kn，

k115

若k1k2kii3,4,5,,n，證明：.

k28

4．（24-25高三上·上海·期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镈R，直線l：ykxb與曲線fx相切，若

fxkxb對(duì)一切xD恒成立，稱直線l是函數(shù)fx的“下切線”；若fxkxb對(duì)一切xD恒成立，

稱直線l是函數(shù)fx的“上切線”.

(1)若fxcosx，求其“上切線”l的方程；

(2)若存在直線l，既是函數(shù)yex的“下切線”，也是函數(shù)yx2xm的“上切線”，試求m的取值范圍；

x3ax2

(3)證明：對(duì)任意的aR，函數(shù)fx，既有“上切線”，也有“下切線”.

x21

5．（24-25高三上·江蘇蘇州·月考）若兩個(gè)函數(shù)yfx與ygx在xx0處有相同的切線，則稱這兩個(gè)

函數(shù)相切，切點(diǎn)為x0,fx0.

1211

(1)設(shè)反比例函數(shù)y與二次函數(shù)yaxbxa0相切，切點(diǎn)為t,.求證：函數(shù)y與yax2bx恰有

xtx

兩個(gè)公共點(diǎn)；

若，指數(shù)函數(shù)x與對(duì)數(shù)函數(shù)相切，求實(shí)數(shù)的值；

(2)0a1yaylogaxa

x

(3)設(shè)（2）的結(jié)果為a0，求證：當(dāng)0aa0時(shí)，指數(shù)函數(shù)ya與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

題型七其他導(dǎo)數(shù)新概念定義

f(x)

1．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)，若y在(0,)上單調(diào)遞增，則稱

x

f(x)為“強(qiáng)增函數(shù)”.

(1)若f(x)x2xlnxa是“強(qiáng)增函數(shù)”，求a的取值范圍；

(2)已知f(x)2exx2lnx2，請(qǐng)判斷f(x)的導(dǎo)數(shù)fx在0,上的單調(diào)性，并說明理由

(3)已知f(x)2exx2lnx2，r0，s0，t0.證明：f(rst)f(r)f(s)f(t).

參考結(jié)論：當(dāng)x0時(shí)，x2lnx0.

2．意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什

么？這就是著名的“懸鏈線問題”其原理往往運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)

exexexex

建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)ch(x)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)sh(x)，他

22

1

們之間具有類似于三角函數(shù)的性質(zhì)．（已知cosx1x2）

2

(1)證明：①倍元關(guān)系：sh(2x)2sh(x)ch(x)；②平方關(guān)系：ch2(x)sh2(x)1

(2)對(duì)任意x0，恒有shxax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

22

shsh

sh(2)sh(1)3n1

(3)證明：2(n1)．

111

tan1tantantann

23n

3．（2025·福建三明·三模）若對(duì)于函數(shù)yfx，存在直線ykxb，使得方程fxkxb有m個(gè)解x1、

L

x2、、xm，且kfx1fx2fxm，則稱直線ykxb為函數(shù)yfx的m階臨界直線，若

m可趨近于無窮大，則稱直線ykxb為函數(shù)yfx的無限階臨界直線.

2

(1)判斷函數(shù)fxx4x，xR的奇偶性并直接寫出它的一條2階臨界直線方程；

(2)若fxexlnx，x1,，判斷函數(shù)yfx是否存在2階臨界直線，并說明理由；

x24cosx,x0,1

(3)已知函數(shù)fx*.證明：函數(shù)yfx存在無限階臨界直線.

fx14cos13,xn,n1,nN

4．（2025·山東·二模）函數(shù)yfx和ygx有相同的定義域，導(dǎo)函數(shù)分別為fx，gx，若在定義

域內(nèi)均有fxgx，則稱yfx是ygx的“DT－函數(shù)”．

(1)判斷yx3x是否為ycosx的“DT－函數(shù)”，并證明；

(2)設(shè)yfx和yhx為定義在R上的函數(shù)，已知fxfx，gxhxhx，fx是gx的

“DT－函數(shù)”，證明：gxfxc（c為常數(shù)）；

(3)若1a0，fxxlnxa2x，gxexax2，x0，證明：fx是gx的“DT－函數(shù)”．

題型八其他導(dǎo)數(shù)新運(yùn)算定義

1．若函數(shù)yfxxD同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱yfx在D上具有性質(zhì)M．

①yfx在D上的導(dǎo)數(shù)fx存在；

②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．

yfxDfxfx0fxfx

1

(1)判斷函數(shù)ylg在區(qū)間0,上是否具有性質(zhì)M？并說明理由．

x

b

(2)設(shè)a、b均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)gx2x3ax2在x1處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)c，使得ygx在

x

區(qū)間c,上具有性質(zhì)M？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

1lnx1k

(3)設(shè)kZ且k0，對(duì)于任意的x0,，不等式成立，求k的最大值．

xx1

2．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）若存在正數(shù)k，對(duì)任意的x1,x2D，fx1fx2kgx1gx2恒成立，

則稱函數(shù)fx，gx在D上具有性質(zhì)“Mk”．

1241

(1)判斷函數(shù)fxx，gxx在2,2上是否具有性質(zhì)“M”，并說明理由；

216

π

(2)若函數(shù)fx2xsinx，gxcosx在0,上具有性質(zhì)“Mk”，求k的取值范圍；

2

(3)若函數(shù)fx與gxxexlnxx在0,上具有性質(zhì)“M1”，且存在a,b0,，ab，使得

fafb，求證：aeabeb2．

3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)fn，若函數(shù)fn同時(shí)具有性質(zhì)：①對(duì)任意

na

n1

nN，fne；②存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意nN，f1f2fn，則稱函數(shù)fn為“可

n!

積函數(shù)”，此時(shí)a稱為fn的“可積指標(biāo)”.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

e

(1)判斷函數(shù)fn，nN是否“可積函數(shù)”，若是，求出fn的“可積指標(biāo)”；若不是，請(qǐng)說明理由；

n

(2)若定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)fn是“可積指標(biāo)”為a的“可積函數(shù)”，求fn的解析式，及“可積指標(biāo)”a

的最大值.

題型九其他導(dǎo)數(shù)新性質(zhì)定義

b

1．如果函數(shù)Fx的導(dǎo)數(shù)Fxfx，可記為Fxfxdx.若fx0，則f(x)dxF(b)F(a)表

a

示曲線yfx，直線xa,xb以及x軸圍成的“曲邊梯形”的面積.

(1)求曲線xy1在x1,2上與x軸圍成的封閉圖形的面積；

t1

(2)當(dāng)t1時(shí)，求證：2lnt1dx；

1x2

111n*

(3)求證：1lnn1nN.

23n2n1

1

2．極限，是微積分學(xué)中一個(gè)重要概念.有些簡單函數(shù)的求極限是可以直接寫出的，例如，lim.如果當(dāng)

x0x2

fx

lim

xx（或x）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)fx與gx都趨于零或都趨于無窮大，那么我們通常把極限

0xx0gx

x

fx

0lim

叫作未定式，并分別簡記為或.當(dāng)xx（或x），極限為未定式且fx、gx、

0xx0gx

0x

fxfxfx

limlimlim

xx存在gx0時(shí)，有：xxxx.這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求

0gx0gx0gx

xxx

極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則（L'Hopital'srull）.

(1)使用洛必達(dá)法則，求極限；

x32x23xsinxx1exx22x1

①lim；②lim；③lim

x1lnxx0xx0x2

(2)求極限（選擇一個(gè)可用合適方式解答的式子作答，多個(gè)題目作答，以第一道作答題目計(jì)分）：

exex2xsinx

①；②1x；③lim；

limxxlim

xeexxxx

(3)Γxx1ex1且Γ1e1，x,00,，ax2Γxx3恒成立.

①直接寫出Γx解析式；

②求a的取值范圍.

3．閱讀下列材料：

,,,，,，,

定義1：設(shè)Aa1a2anBb1b2bn是兩個(gè)（項(xiàng)數(shù)有限的）實(shí)數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列A和B的項(xiàng)滿足以下

三個(gè)條件：

（i）a1a2an且b1b2bn；

（ii）對(duì)于任意的k1,2,3,,n1，有a1a2akb1b2bk；

（iii）a1a2anb1b2bn．

那么我們就說數(shù)列A優(yōu)超于數(shù)列B，寫成AB或BA．

定義2：對(duì)函數(shù)fx，若它的導(dǎo)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)fx0，就稱fx下凸．

定理：若函數(shù)fx下凸，且數(shù)列Aa1,a2,,an優(yōu)超于數(shù)列Bb1,b2,,bn，即AB，則

fa1fa2fanfb1fb2fbn．

根據(jù)以上材料，回答下列問題：

(1)判斷數(shù)列A6,3,1,0與數(shù)列B4,3,2,1是否有優(yōu)超關(guān)系，并證