三角形的證明（折疊問題）一、單選題1．如圖，把長方形紙片折疊，使其對角頂點C與A重合．若長方形的長為8，寬為4，則折痕的長度為（）A．5 B． C． D．2．如圖，紙片中，，沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為.若，則的長是（

）A．2 B． C． D．3．如圖，把沿直線折疊，使點A恰好落在邊上的點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，將一個等腰直角三角形△ABC按如圖方式折疊，若DE=a，DC=b，下列四個結論：①DC′平分∠BDE；②BC長為2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周長等于BC的長．其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④5．如圖，是斜邊上的高，將沿折疊，點恰好落在的中點處，則等于（）A．60° B．45° C．30° D．25°6．如圖，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在OB上，若將△ABC沿AC折疊，使點B恰好落在x軸上的點D處，則C點的坐標為（）A．（4，0） B．（0，2） C．（0，1.5） D．（0，3）7．如圖，中，，點D為中點，且的平分線與的垂直平分線交于點O，將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點C與點O恰好重合，則=（

）A．108° B．126° C．144° D．無法確定8．如圖，在中，的平分線交于點E，交于G，，連接交于點H、下列結論：①若將沿折疊，則點E一定落在上；②圖中有8對全等三角形；③；④若，則，上述結論中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，D為BC的中點，點E在AC上，將△CDE沿DE折疊，使得點C恰好落在BA的延長線上的點F處，連接AD、CF，則圖中所有的等腰三角形的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在紙片中，，折疊紙片，使點落在的中點處，折痕為，則的面積為（

）A． B．10 C．11 D．二、填空題11．如圖，在中，，點在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于，恰有．若，，則_____度，____．12．如圖，在中，，點在邊上，將△沿折疊，得到△，若⊥，，則___________度

13．如圖，在長方形中，E點在上，并且，分別以、為折痕進行折疊壓平，如圖，若圖中，則的度數(shù)為___________．14．如圖，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，點D是BC邊上的一點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點E處，當△BDE是直角三角形時，∠CAD的度數(shù)為__________．15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜邊AB上一個動點，E是直線BC上的一個動點，將△ABC沿DE折疊，使點B的對應點F落在直線AB上，連接CF，當△CEF是直角三角形時，線段BD的長為_____．16．如圖，在中，，，的平分線與的垂直平分線相交于點O，點M、N分別在、上，點A沿折疊后與點O重合，則______．17．如圖，一次函數(shù)的圖像與軸相交于點，與軸相交于點，點D，E分別在線段、上，連接將沿折疊，點的對應點恰好在軸上，且平分，則點的坐標是______．18．如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點E是BC邊上一點，沿AE將△ABE折疊，點B的對稱點恰好落在CD邊上的點F處，再作∠DAF的平分線交CD邊于點H，連接EH，則△EFH的面積是_________．19．等邊的邊長是8，D是邊上的中點，點E是直線上一點，將沿折疊，D的對應點為，當時，的長為________．20．如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，點D是邊AB上的點，將△CBD沿CD折疊得到△CPD，CP與直線AB交于點E，當出現(xiàn)以DP為邊的直角三角形時，BD的長可能是______．三、解答題21．如圖，在中，，將沿折疊，使點B落在邊上點D的位置．若，求的度數(shù)；若；①求的長；②的面積為______．22．如圖1，中，，于點，于點，，與交于點，連接．求證：．若，求的長．如圖2，將沿折疊得到，問與有何位置關系？請說明理由．23．如圖，在長方形紙片中，，把長方形紙片沿直線折疊，點B落在點正處，交于點F，若，連接．(1)的長為；(2)求的面積；(3)試問與的位置關系，并說明理由．24．如圖，已知與x軸、y軸分別相交于點A、點B，若將折疊，使點A與點B重合，折痕與x軸交于點C，與交點D．點B的坐標是______；點A的坐標是______．求直線的解析式；在直線上是否存在一點P，使得的面積與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．25．如圖1，在紙片中，，將該紙片折疊，使得點C的對應點P落在邊上且，折痕為．若，求的長；請在圖2中探究思考，用無刻度的直尺和圓規(guī)作出符合題意的折痕．（不需要寫出作法，但要保留作圖痕跡）26．如圖，在中，，，，P是線段上一動點，將沿直線折疊，使點B落在點D處，交于點E，連結．(1)求的長．(2)若，求證：．(3)當是直角三角形時，求所有符合條件的長．參考答案1．C【分析】過F點作于H．設，則．在中，利用勾股定理可列出關于x的等式，解出x為5，即可求出，．又易證，從而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的長．解：如圖，過F點作于H，由折疊的性質(zhì)可知，．設，則，在中，，∴，解得：，∴，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴．故選C．【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．2．B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，根據(jù)已知條件得出，則，根據(jù)，設，則，得出，即可求解．解：∵沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為，∴，，，∵，∴，∴,∴,∵,∴,設，則，∵折疊,∴,∴,∵,∴,故選B【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．3．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得解．解：把沿直線折疊，使點A恰好落在邊上的點處，，，，，，，，故選C．【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握這些性質(zhì)是解答此題的關鍵．4．B【分析】由△ABC為等腰直角三角形，得AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，根據(jù)折疊可得∠C′DE=45°，∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，可判定①錯誤；而BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a，可判定②正確；由∠DBC=∠BDC′=22.5°，可判定③正確；又△CED的周長=DE+EC+DC=2a+b，可判定④正確，即可得到答案．解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，∵Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴CE=DE=a，∠CDE=45°，∵Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，∴DC′不平分∠BDE，所以①錯誤；∵BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a，∴BC=BE+CE=a+b+a=2a+b，所以②正確；∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，∴△BDC′是等腰三角形，所以③正確；∵△CED的周長=DE+EC+DC=a+a+b=2a+b，∴△CED的周長等于BC的長，所以④正確．故答案為：②③④，故選：B．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．5．C【分析】先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出，進而可判斷出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得出結論．解：沿折疊，，為中點，，，是等邊三角形，，，故選：C．【點撥】此題考查了翻折的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．6．C【分析】先根據(jù)一次函數(shù)求出A、B兩點坐標，并求出AB的長，再利用對稱可得AD=AB，BC=CD，故可求出OD，設點C（0，m），則CD=4－m，最后在Rt△OCD中，利用勾股定理列方程即可求出m.解：直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，則點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（0，4），則AB＝5，將△ABC沿AC折疊，使點B恰好落在x軸上的點D處，則AD＝AB＝5，故點D（2，0），設點C（0，m），則CD＝BC=4－m，在Rt△OCD中，OC2＋OD2=CD2即，解得：m＝，故點C（0，1.5），故選C．【點撥】此題考查的是一次函數(shù)求交點、折疊問題和勾股定理，利用折疊問題找到相等線段和勾股定理列方程是解決此題的關鍵.7．A【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，然后判斷出點O是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．解：如圖，連接、，∵，為的平分線，∴又∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵為的平分線，，∴，∴，∴點O在的垂直平分線上，又∵是的垂直平分線，∴點O是的外心，∴，∵將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點C與點O恰好重合，∴，∴，在中，．故答案為：A【點撥】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構造出等腰三角形是解題的關鍵．8．C【分析】由，得，由，得，先證明，得，則垂直平分，再證明，得，若將沿折疊，則點E一定落在上，可判斷①正確；可證明，得，則垂直平分，可知與互相垂直平分，則，可列舉出原圖中的9對全等三角形，可判斷②錯誤；連接，則，得，可推導出，再證明，則，可判斷③正確；作于點L，則，由，得，則，再證明，則，于是求得，則，可判斷④正確，于是得到問題的答案．解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴點A、點E都在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若將沿折疊，則點E一定落在上，故①正確；∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴垂直平分，∴與互相垂直平分，∴，在原圖中，這四個三角形全等，就可組成6對全等三角形，還有，再加上前面證明的，上述的全等三角形已達到9對，超過8對，故②錯誤；連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正確；作于點L，則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選：C．【點撥】此題重點考查全等三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、根據(jù)轉化思想求多邊形的面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線并且證明有關的三角形全等是解題的關鍵．9．D【分析】由折疊的性質(zhì)可得CD=DF，EF=EC，結合D為BC的中點可得BD=CD=DF，可得△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得∠FAE=∠AFE，可得EF=EA可說明△AEF是等腰三角形．解：如圖：∵D為BC的中點，∴BD=CD，∵將△CDE沿DE折疊，∴CD=DF，EF=EC，∴BD=CD=DF，∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∴∠FAE=∠AFE，∴EF=AE，∴△AEF是等腰三角形，∴圖中所有的等腰三角形的個數(shù)為4．故選D．【點撥】本題主要考查了翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練運用折疊的性質(zhì)是解答本題的關鍵．10．A【分析】過點D作AB的垂線，垂足為G，過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，分別求出△DEA和△DFC的面積，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得結果．解：過點D作AB的垂線，垂足為G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，設AE＝x，則BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，設DF＝y(tǒng)，則CF＝，DH＝，CH＝，則有，即，解得：，則S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故選A．【點撥】此題主要考查了翻折變換以及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確得出AE、BF的長是解題關鍵．11．

135

【分析】延長，交于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，，，證明是等腰直角三角形，可求出，則根據(jù)三角形面積求出的值，即可得解．解：延長，交于點，，平分，，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，．．故答案為：135；．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，正確作出輔助線是解題的關鍵．12．【分析】由翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出，進而求出，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出答案．解：由翻折變換可知，，，，，，，，如圖，設交于點，在和中，，（AAS），，，，故答案為：．【點撥】本題考查了翻折變換，三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握翻折變換的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是關鍵．13．【分析】求的大小只需根據(jù)折疊規(guī)律、平角知識和角的和差求出大小即可．解：折疊后的圖形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．【點撥】本題綜合考查了兩角互余的性質(zhì)，圖形的折疊特性、平角及角的和等知識為背景的角的計算，同時也可以用平角建立等量關系，方程的思想求解更簡單．14．或【分析】分兩種情況：當點在上時，有直角三角形的性質(zhì)可得，當時，即在外時，由折疊可得：，，，平分，即．解：分兩種情況：如圖，①當時，點在上時，②當時，即在外時，如圖，由折疊可得：，，，平分，，不可能為直角．故答案為或．【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)，解本題要注意分類討論．熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等基本知識點．15．或5【分析】分兩種情況討論：當∠CFE＝90°時，過點C作CM⊥AB于點M，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，由直角三角形兩銳角互余易得FC=AC=6，則M為AF的中點，由面積相等可求得CM的長，再由勾股定理可求得MF的長，則可求得BF的長，從而可得BD的長；當∠ECF＝90°時，此時點F落在點A，則BD＝AB＝5．解：①當∠CFE＝90°時，過點F作CM⊥AB于點M，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，∵CM⊥AB，∴；∵，∴，在Rt△CFM中，由勾股定理得：，∴，∴，∴；②當∠ECF＝90°時，點F落在點A，則BD＝AB＝5；綜上，線段BD的長為或5．故答案為：或5．【點撥】本題主要考查翻折變換（折疊問題）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性質(zhì)和直角三角形銳角互余得到FC=AC，是解答本題的關鍵．注意等積思想的應用．16．##20度【分析】連接，設的平分線與交于點E，求出，，根據(jù)垂直平分，得到，即，進一步可得，利用垂直平分，得到，由折疊的性質(zhì)可知：，所以，進一步可得．解：連接，設的平分線與交于點E，如圖∵，，∴，∵平分，∴，∵垂直平分，∴，即，∴，∵，平分，由三線合一的性質(zhì)可得：垂直平分，∴，即，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∴，故答案為：【點撥】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握以上相關知識點，并能夠綜合運用．17．【分析】過點作軸于點，軸于點，交于點，利用角平分線的性質(zhì)可得，，利用折疊，得到，進而得到，即點的橫縱坐標相等，設，代入一次函數(shù)解析式，求出值，即可得解．解：如圖，過點作軸于點，軸于點，交于點，∵平分，∴，∵將沿折疊，∴，∴，∴，即：點的橫縱坐標相等，設，∵點D線段上，∴，解得：，∴；故答案為：．【點撥】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應用．熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，以及折疊后的兩個三角形全等，是解題的關鍵．18．##【分析】利用長方形的性質(zhì)與折疊先求解如圖，過作于利用平分證明從而求解再利用三角形的面積公式可得答案.解：長方形ABCD，折疊，設則即如圖，過作于而平分經(jīng)檢驗符合題意；故答案為：．【點撥】本題考查的是長方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應用，角平分線的性質(zhì)定理的應用，熟練的運用以上知識是解題的關鍵.19．或8【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得，，分情況討論：當點E在A點上方，證明，即可得；當點E在D點下方，在上找點G使得，求出，再求出，即可得到．解：∵等邊的邊長是8，∴，∵D是邊上的中點，∴，∵，∴由折疊的性質(zhì)可知：，當點E在A點上方，如圖：∵，∴，∵，∴，∴，即；當點E在D點下方，在上找點G使得，如圖：∵，，∴，∴，，∵，∴，∴為等腰三角形，由三線合一可知：，∵，∴，，∴，即，∵，∴，∴，綜上所述：或．故答案為：或8【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的應用，角之間的關系，折疊的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握以上相關知識，并能夠綜合運用，注意分情況討論．20．3或或【分析】分，，三種情況，分別作出圖形，解直角三角形即可．解：由折疊性質(zhì)可得：，，，在中，，，，①如圖，當時，為直角三角形，，，，，為等邊三角形，，；②如圖，當時，為直角三角形，；③當時，為直角三角形，，為等邊三角形，，在中，，，，，，，，綜上，或或，故答案為：3或或．【點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關鍵是分類討論，將圖形作出．21．(1)的度數(shù)為 (2)①的長為6；②【分析】（1）根據(jù)直角三角形和等腰三角形得性質(zhì)求得角相等并且和為即可解得．（2）①根據(jù)折疊得出，連續(xù)兩次運用勾股定理即可求解；②根據(jù)①中結果，利用三角形面積公式即可求解．（1）解：∵沿折疊，使點B落在邊上點D的位置，∴∵∴∴又∵∴；（2）①∵沿折疊，使點B落在邊上點D的位置，，∴，∵，∴．∴，設，則，∴，即，解得：，∴的長為6；②由①得，∴，∴故答案為：60．【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理解三角形等，解題的關鍵熟悉并會用直角三角形相關知識點．22．(1)見分析 (2) (3)，見分析【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)即可得解．（3）先求出，由，得到，求出，進而求出的度數(shù)為，即可得到結論．解：（1）證明：，∴是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，；（2），，在中，，，，；（3），理由如下：證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，勾股定理的應用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．23．(1)12 (2) (3)，理由見分析【分析】（1）由折疊得：，根據(jù)平行線性質(zhì)得：，再求出，利用勾股定理求出的長，即的長；（2）過點E作于點M，在中，由三角形的面積公式求得，再根據(jù)三角形的面積公式便可求得結果；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理得，進而得便可．（1）解：由折疊得：，∵四邊形為長方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：12；（2）解：過點E作于點M，由折疊性質(zhì)知，，∴，∵，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，勾股定理，三角形的面積公式，關鍵是綜合應用這些知識解題24．(1)； (2) (3)存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）設，則，在中，利用勾股定理求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可．（3）過點O作交直線于M，由，可知，由直線的解析式為，，推出直線的解析式為，由，解得，可得，根據(jù)對稱性可知，經(jīng)過點與直線平行的