1第七章保險費(fèi)2總保費(fèi)與凈保費(fèi)的意義保險產(chǎn)品的出售價格就是購買保險必須繳付的總保費(fèi)，或簡稱保費(fèi)。理論上，保險產(chǎn)品的總保費(fèi)可以分為性質(zhì)不同的兩部分，一部分是作為保險金給付來源的保費(fèi)，稱為凈保費(fèi)或純保費(fèi)另一部分是作為保險公司補(bǔ)償費(fèi)用支出并獲得一定利潤的保費(fèi)，稱為附加保費(fèi)。3設(shè)保險金的現(xiàn)值為A，每次凈保費(fèi)為P，每次1單位的生存年金現(xiàn)值為，有：均衡凈保費(fèi)

A=P4一般地，對(x)的1單位元n年定期壽險，保險金在死亡年末賠付，如保險費(fèi)在t年內(nèi)繳清(t<n)，這時，年繳凈保費(fèi)用表示，由收支平衡關(guān)系式，有，當(dāng)繳費(fèi)期與保險期限相等時，用表示年繳凈保費(fèi)，定期壽險年繳凈保費(fèi)5凈保費(fèi)若保險金在被保險人死亡時賠付，t年限期繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)以表示，（在死亡均勻分布假設(shè)下） 當(dāng)t=n時，以表示年繳凈保費(fèi)，

（在死亡均勻分布假設(shè)下）6對(x)的死亡年末賠付1單位元終身壽險，如果規(guī)定保費(fèi)每年一次終身繳付，這時保險費(fèi)的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以Px表示這一保險的年繳均衡凈保費(fèi)，有，終身壽險年繳凈保費(fèi)

7死亡時賠付年繳凈保費(fèi)n年繳清保費(fèi)、1單位元死亡年末賠付終身壽險的年繳凈保費(fèi)n年繳清保費(fèi)、1元死亡時賠付終身壽險的年繳凈保費(fèi)終身壽險年繳凈保費(fèi)（在死亡均勻分布假設(shè)下）

實(shí)踐中，終身壽險往往采取在n年內(nèi)繳費(fèi)的方式。繳費(fèi)期越多，保險公司收回成本的時間越短，相應(yīng)的風(fēng)險就越低。（在死亡均勻分布假設(shè)下）8當(dāng)t=n時，年繳凈保費(fèi)以表示，有，采取定期壽險和終身壽險相同的計(jì)算方法，很容易給出兩全保險的年繳凈保費(fèi)計(jì)算公式。對(x)的1單位元n年定期兩全保險，如果死亡賠付在死亡年年末，保費(fèi)在t年內(nèi)每年一次、均衡繳付，t<n，這時，年繳凈保費(fèi)以表示。兩全保險年繳凈保費(fèi)

9兩全保險年繳凈保費(fèi)t年繳清死亡時賠付兩全保險的年繳凈保費(fèi)在上式中，當(dāng)t=n時的年繳凈保費(fèi)n年1元純粹生存保險，t年繳清的年繳凈保費(fèi)10對（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1單位元，保費(fèi)在t年內(nèi)繳清(t≤n)。年繳均衡凈保費(fèi)以表示，按照保險金支付與凈保費(fèi)收入的平衡關(guān)系，有，延期年金年繳凈保費(fèi)

11表示每年分ｍ次等額繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)，表示每年１元繳付ｍ次的年金現(xiàn)值，Ａ表示保險金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有，如果保費(fèi)每半年、一季、一月等繳付一次，這時未來凈保費(fèi)現(xiàn)值是一個一年多次收付的生存年金現(xiàn)值。如果以一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi)12一年ｍ次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式13一年ｍ次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式14一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi)期首支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)：期末支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)：15退還保費(fèi)保單的凈保費(fèi)【例7.10】對(x)的n年定期壽險，如果被保險人在保險期內(nèi)死亡，除了賠付10000元外，還退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，假設(shè)保險賠付在死亡年年末，保險費(fèi)每年繳付一次，n年付清。計(jì)算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費(fèi)。(1)退還的保費(fèi)部分不計(jì)利息。(2)退還的保費(fèi)部分以不同于保單預(yù)定利率i的利率j復(fù)利累計(jì)。(3)退還的保費(fèi)部分以保單定價預(yù)定利率復(fù)利累計(jì)。16例題解答(1)設(shè)每年的凈保費(fèi)為P，如果退還的保費(fèi)不計(jì)息，這時，在被保險人死亡年年末退還的保費(fèi)部分是過去已繳凈保費(fèi)的累加，其給付以被保險人死亡為條件，故，構(gòu)成一個定期遞增的壽險，其收支平衡公式為，17例題解答(2)如果退還的保費(fèi)部分以利率j計(jì)息，退還保費(fèi)部分的給付額是一個隨被保險人死亡時間變動的年金終值。即， ，其現(xiàn)值變量為，18例題解答(3)如果退還保費(fèi)的累積利率等于預(yù)定利率，這時在(2)中的E(w)成為，19總保費(fèi)在保險精算實(shí)務(wù)中，傳統(tǒng)的總保費(fèi)計(jì)算方法是將總保費(fèi)分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部分，在凈保費(fèi)上，加上補(bǔ)償費(fèi)用和預(yù)防不利偏差的附加保費(fèi)，形成總保費(fèi)，這種方法稱為凈保費(fèi)加成法。隨著精算技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，考慮更多未來變動因素的現(xiàn)金流量定價法開始使用，在這種方法下，保費(fèi)不需要分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)，而是按照滿足未來賠付或給付、費(fèi)用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤的原則下，根據(jù)對未來現(xiàn)金流量的預(yù)測確定。20凈保費(fèi)加成法固定比例法變動比例法三元素法21現(xiàn)金流量法現(xiàn)金流量法是通過對一組保單未來保單年度預(yù)期收入和預(yù)期支出的估計(jì)，研究保單組隨被保險人死亡、退保、分紅、滿期等的過程，在一定的定價策略和利潤目標(biāo)下，給出保單的定價。在現(xiàn)金流量方法下，對一個保單組，年度收入為保單組的所有保費(fèi)收入和投資收入，年度支出包括保險賠付、費(fèi)用、退保、滿期給付、紅利、準(zhǔn)備金增加額等，年度利潤就是年度收入與年度支出的差。即，利潤=保費(fèi)+投資收入 －費(fèi)用－賠付支出－退保支出－紅利－準(zhǔn)備金增加22第八章責(zé)任準(zhǔn)備金23準(zhǔn)備金的意義準(zhǔn)備金(reserve)：為將來某項(xiàng)支出而預(yù)先留存的儲備金，是將來給付支出現(xiàn)值與將來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值之差。準(zhǔn)備金數(shù)額由準(zhǔn)備金計(jì)算方法、相關(guān)的保險法律、法規(guī)、會計(jì)實(shí)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)等決定。在保險實(shí)踐中，給付準(zhǔn)備金的積累保證了保險公司的到期償付能力。24準(zhǔn)備金的種類償付能力準(zhǔn)備金(SolvencyReserves)：為評估保險公司的償付能力而計(jì)算的準(zhǔn)備金。收入準(zhǔn)備金(EarningsReserves)：為評估收入和盈利而計(jì)算的準(zhǔn)備金。(收益=保費(fèi)收入+投資收入－賠付支出－展業(yè)費(fèi)用－維持費(fèi)用－準(zhǔn)備金提存)稅收準(zhǔn)備金(TaxReserves)：為評估應(yīng)稅收入或應(yīng)稅收益而計(jì)算的準(zhǔn)備金。25將來法——引例8.1

假如有100個40歲的男性同時投保1000元5年定期壽險，保費(fèi)在5年內(nèi)均衡繳付。設(shè)預(yù)定利率為2.5％，預(yù)定死亡率采用中國人身保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2010-2013）非養(yǎng)老類業(yè)務(wù)一表（男）的資料，保費(fèi)繳付在保單年初，保險賠付在保單年末，不考慮費(fèi)用、退保和分紅等。計(jì)算未來5年的預(yù)期凈保費(fèi)收入和預(yù)期賠付支出。26解答人均年繳均衡凈保費(fèi)為，預(yù)期凈保費(fèi)收入、預(yù)期賠付支出，如下表所示，27保

單

年

t

（1）人均凈

保費(fèi)

（元）

（2）年初存

活人數(shù)

（3）凈保費(fèi)

收入

（元）

（4）=（2）

*（3）年末凈保

費(fèi)收入

（元）

（5）=（4）*1.06死亡

人數(shù)

（6）賠付支出

（元）

（7）=

1000*（6）年末

收支差（元）

（8）=（5）-（7）11.94100191.141990.17165.133.921.9499.83193.82198.670.18180.118.5631.9499.65193.47198.310.2197.121.1941.9499.46193.09197.920.22216.12-18.2151.9499.24192.67197.490.24237.49-40609900———28推導(dǎo)1從表中數(shù)據(jù)可見，在3年內(nèi)，當(dāng)年凈保費(fèi)收入大于當(dāng)年保險賠付支出，凈保費(fèi)有結(jié)余；但從4年起，當(dāng)年凈保費(fèi)收入不足當(dāng)年賠付支出。為了保證賠付，必須動用過去積累的準(zhǔn)備金。準(zhǔn)備金的數(shù)額正是保證未來賠付支出超出未來凈保費(fèi)收入的金額。

某時點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金+未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=未來賠付支出現(xiàn)值某時點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金=未來賠付支出現(xiàn)值-未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值29推導(dǎo)2

引例8.1中，未來凈保費(fèi)收入和賠付支出現(xiàn)金流如下圖所示：依據(jù)上面現(xiàn)金流，可以計(jì)算凈保費(fèi)收入和賠付支出的現(xiàn)值，以及各年的給付準(zhǔn)備金。賠付支出

（元）

165.1180.1197.12216.12237.49i=2.5%凈保費(fèi)

收入

（元）194.14193.82193.47193.09192.67012345t30第1年末的給付準(zhǔn)備金總額=779.17-745.27=33.90(元)第1年末人均給付準(zhǔn)備金=33.90/99.83=0.339580(元)第2年末，未來賠付支出現(xiàn)值=第1年末，未來賠付支出現(xiàn)值=推導(dǎo)3

未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=

未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=第2年末的給付準(zhǔn)備金=618.55-565.23=53.31(元)第2年末人均給付準(zhǔn)備金=53.31/99.65=0.534992(元)人均給付準(zhǔn)備金正是每張有效保單需要積存的準(zhǔn)備金數(shù)額。31對于（x）歲的1單位元終身壽險，如果保費(fèi)每年繳付一次、終身繳付，假設(shè)死亡賠付在死亡年年末。這時，年繳凈保費(fèi)為，在投保后第k年末，未來給付的精算現(xiàn)值為，未來凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值為，k年末的給付準(zhǔn)備金用表示，有，終身壽險

32如果終身壽險的保險費(fèi)在h年內(nèi)繳清，k年末的責(zé)任準(zhǔn)備金用表示。k年末的未來保費(fèi)繳付期為h-k，當(dāng)k<h時，未來凈保費(fèi)現(xiàn)值為，當(dāng)k≥h時，未來凈保費(fèi)現(xiàn)值為0。因此，有，保險費(fèi)在h年內(nèi)繳清33如果終身壽險限期在h年繳費(fèi)，表示為k年末責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)一年繳付m次，這時，表示為終身壽險終身繳費(fèi)的t年末責(zé)任準(zhǔn)備金保費(fèi)一年繳付m次34如果保險費(fèi)每年一次，h年限期繳清，這時，t年末的準(zhǔn)備金為，如果終身壽險在死亡時賠付，相應(yīng)的k年末保險金現(xiàn)值為，對每年一次的終身繳費(fèi)壽險，責(zé)任準(zhǔn)備金相應(yīng)的表示為保費(fèi)一年繳付m次35定期壽險責(zé)任準(zhǔn)備金定期壽險給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式與終身壽險類似，對(x)的1單位元n年死亡年末賠付定期壽險，如果保險費(fèi)每年一次、n年繳清，k年末的給付準(zhǔn)備金為，36定期壽險責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付，（h<n），k年末的給付準(zhǔn)備金為，37定期壽險責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付（h<n）、一年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為，38定期壽險責(zé)任準(zhǔn)備金如果死亡賠付在死亡時，上面的保險k年末給付準(zhǔn)備金為，在均勻死亡假定下，，其他的計(jì)算方法同上

39對于兩全保險，合同到期時保險公司將要支付被保險人生存保險金，從而最后一年末單位保額兩全保險的責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)該等于1。對(x)的n年兩全保險，如果死亡賠付在死亡年年末，保險費(fèi)在h年內(nèi)繳清、每年一次，(h<n)，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險給付準(zhǔn)備金40如果n年兩全保險的繳費(fèi)在h年內(nèi)、每年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險給付準(zhǔn)備金41如果h年限期繳費(fèi)的n年兩全保險，死亡賠付在死亡年年末，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險給付準(zhǔn)備金42延期年金給付準(zhǔn)備金對于(x)的延期n年生存年金保險，保險費(fèi)在n年內(nèi)每年繳付一次，第k年年末的給付準(zhǔn)備金為：43過去法——引例8.2在前面引例8.1中，可以進(jìn)一步計(jì)算出凈保費(fèi)收入與賠付支出的累積收支差，以及人均累計(jì)收支差。列入下表人均累積收支差就是過去法下的責(zé)任準(zhǔn)備金。44過去法給付準(zhǔn)備金是計(jì)算時點(diǎn)過去凈保費(fèi)收入終值與過去賠付金支出終值之差，即，時點(diǎn)過去凈保費(fèi)的累計(jì)值與過去賠付支出累計(jì)值的差額。對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，如果保險費(fèi)終身繳付、每年一次，這時，第k年末過去凈保費(fèi)終值為，第k年末過去賠付金在投保時的現(xiàn)值為，它在利率和生存概率下累積到k年末的終值為，因此，第k年末的給付準(zhǔn)備金為，過去法

45如果終身壽險的保費(fèi)在h年內(nèi)定期繳付，這時，當(dāng)k≥h時，過去凈保費(fèi)累積到h年末為，再累積到k年末為，過去法——終身壽險責(zé)任準(zhǔn)備金從而，在不同時間點(diǎn)上準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為，46對n年繳費(fèi)的n年兩全保險，n年內(nèi)過去保險給付的終值為，注意這一終值不是，因?yàn)橹挥性趎年末才有滿期生存給付，n年內(nèi)只是定期壽險，在第n年，準(zhǔn)備金的數(shù)額應(yīng)該正好等于生存給付額，從而有，過去法在不同險種的運(yùn)用47過去法在不同險種的運(yùn)用對(x)的1單位元n年延期生存年金，保險費(fèi)在n年內(nèi)定期繳付，48根據(jù)具體問題選擇使用將來法和過去法中較為簡單方便的一種。一般地，計(jì)算已繳清保費(fèi)后某個時刻的給付準(zhǔn)備金時，用將來法更方便，因?yàn)檫@種情況下未來只有保險金給付，沒有保費(fèi)繳付。

比如，當(dāng)k≥n時，，等，計(jì)算起來比較簡單。計(jì)算尚未進(jìn)入保險給付期的某時刻給付準(zhǔn)備金，用過去法更簡單，因?yàn)檫@種情況下只有保險費(fèi)繳付，沒有保險金給付。

比如，當(dāng)k<n時，。將來法和過去法的選擇

49相鄰兩期給付準(zhǔn)備金之間具有遞推關(guān)系，了解這種關(guān)系，對于深入認(rèn)識準(zhǔn)備金的實(shí)質(zhì)具有重要意義。對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，保費(fèi)每年一次、終身繳付。k年末將來法給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為：責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式上式兩邊同加保費(fèi)Px

由，，可以得到kVx與k+1Vx之間的關(guān)系50這一等式表明，k年末的給付準(zhǔn)備金加上t+1年初的凈保費(fèi)收入，正好等于k+1年的死亡給付在k年末的現(xiàn)值與t+1年末給付準(zhǔn)備金在利率和生者利下在t年末的現(xiàn)值責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式51責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式每年的凈保費(fèi)Px正好滿足死亡給付和相鄰兩期給付準(zhǔn)備金的差額。lx+k人k年末的給付準(zhǔn)備金加他們繳付的凈保費(fèi)的總和在k+1年末等于在第k+1年發(fā)生的死亡每人1單位元的給付額和k+1年末的給付準(zhǔn)備金。每年的凈保費(fèi)一方面是為保險人承擔(dān)的風(fēng)險凈額的繳費(fèi)，一方面是為增加給付準(zhǔn)備金的繳費(fèi)。52給付準(zhǔn)備金的遞推公式法克勒(Fackler)準(zhǔn)備金累計(jì)公式：第n年末的給付準(zhǔn)備金等于每年凈保費(fèi)的累積與保險成本累積的差額?？梢詮?V=0出發(fā)，在已知保單凈保費(fèi)下，依次計(jì)算出1V，2V，…等。對n年定期保險，如果已知nV，可到推出n-1V，n-2V…等。53責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式保險年度又稱契約年度，是從保險契約成立日為起點(diǎn)的年度，即從契約成立日到下年同一日為一年。會計(jì)年度又稱業(yè)務(wù)年度，通常等同于日歷年度，會計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金是保險公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險年度末給付準(zhǔn)備金推算出來。54會計(jì)年度末的責(zé)任準(zhǔn)備金對(x)的終身壽險，假設(shè)在第j+1保險年度末死亡給付為bj+1，每年凈保費(fèi)為Pj，在j+1年初繳付，j=0,1,2…。由給付準(zhǔn)備金的遞推公式，對t為整數(shù)，0<h<1，t+h時點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金t+hV為，在死亡均勻分布假設(shè)下，有(1)(2)(3)55上式可以計(jì)算會計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金。其中tV為保險年度末給付準(zhǔn)備金，t+hV為會計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金。實(shí)踐中，當(dāng)i，qx+t很小時，1+i，px+t，及1-hqx+t可大約近似為1，此時會計(jì)年度末的責(zé)任準(zhǔn)備金56會計(jì)年度末的責(zé)任準(zhǔn)備金

57假設(shè)死亡給付在保險年度末，當(dāng)0<h≤1/2時，對t+h時點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金，有，半年一次繳付的情況在死亡均勻分布假設(shè)下，有，當(dāng)1/2<h<1時，遞推公式可以近似為，58一年m次繳費(fèi)時，若h為的整數(shù)倍數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)時，有，一年m次繳費(fèi)的情況若，k為整數(shù)，時，有，59修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金一種常用的解決保單第一年費(fèi)用超支的方法是費(fèi)用占用一部分凈保費(fèi)，少提準(zhǔn)備金，再從以后各年收取的營業(yè)費(fèi)用中逐年歸還，以補(bǔ)足第一年應(yīng)提的準(zhǔn)備金數(shù)額。這種對均衡凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金進(jìn)行調(diào)整的方法稱為修正的責(zé)任準(zhǔn)備金方法。每年均衡保費(fèi)為G，均衡凈保費(fèi)為P，均衡附加保費(fèi)為G-P。假設(shè)保單第一年由費(fèi)用占用一部分凈保費(fèi)，使凈保費(fèi)成為α，第二年到第k年由費(fèi)用的歸還，實(shí)際凈保費(fèi)成為β，k

為保費(fèi)調(diào)整期，n

為保費(fèi)繳付期60修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的

一般方法以均衡凈保費(fèi)現(xiàn)值等于實(shí)際凈保費(fèi)現(xiàn)值作為計(jì)算調(diào)整后凈保費(fèi)的平衡公式61修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的

一般方法修正的給付準(zhǔn)備金以Vmod表示，采用與均衡凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金相同的計(jì)算方法，在調(diào)整的凈保費(fèi)下，可以計(jì)算出修正的責(zé)任準(zhǔn)備金。當(dāng)t≤k≤n

時，用將來法，有 用過去法時，有當(dāng)t≥k

時，t年末的責(zé)任準(zhǔn)備金就是均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金。62完全初年定期修正法把第一年凈保費(fèi)規(guī)定為一年定期壽險現(xiàn)值，并在整個繳費(fèi)期修正責(zé)任準(zhǔn)備金的方法稱為完全初年定期修正法（FullPreliminaryTerm），簡稱為FPT法。在完全初年定期修正法下，第一年的凈保費(fèi)用α

FPT

表示，第二年以后的凈保費(fèi)用βFPT表示，k年末的責(zé)任準(zhǔn)備金用kVFPT表示。A(1)表示在x+1歲時一保險的現(xiàn)值，則63對(x)的m年1單位元兩全保險，繳費(fèi)期為n，則，完全初年定期修正法64將來法：其中，和分別表示t時刻未來保險金和生存年金現(xiàn)值。過去法：其中，和分別表示t時刻過去生存年金和已付保險金終值。本章小結(jié)分別表示t時刻過去生存年金和已付保險金終值。1．給付責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法有將來法和過去法兩種。65本章小結(jié)2．給付準(zhǔn)備金基本遞推關(guān)系：

3．會計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金是保險公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險年度末給付準(zhǔn)備金推算出來。在死亡均勻假設(shè)下，可近似為：

是t年末和t+1年末給付準(zhǔn)備金的線性插值與t+h時點(diǎn)未經(jīng)過保費(fèi)之和。66第九章聯(lián)合保險67聯(lián)合生存狀態(tài)聯(lián)合生存狀態(tài)(joint-lifestatus)是以投保集團(tuán)中每個成員都存活為狀態(tài)生存，以集團(tuán)中的第一個發(fā)生死亡為狀態(tài)死亡的狀態(tài)。設(shè)聯(lián)合投保集團(tuán)是由年齡分別為x1,x2

,…,xm的m個個體組成，其聯(lián)合生存狀態(tài)表示為(x1,x2,…,xm)。在獨(dú)立性假設(shè)下，聯(lián)合生存狀態(tài)(xy)至少“存活”到時間t

的概率tpxy滿足對FT(t)關(guān)于t求導(dǎo)，可得T的概率密度函數(shù)68聯(lián)合生存狀態(tài)在獨(dú)立性假設(shè)下，時間t狀況(xy)的“死亡”力以μxy(t)

表示在第k個整數(shù)年中，聯(lián)合生存狀況(xy)的“死亡”概率為聯(lián)合生存狀況(x+k:y+k)在一年內(nèi)“死亡”的概率可用個體死亡概率寫成聯(lián)合生存狀況(xy)在第k+1年死亡的概率為69最后生存狀況最后生存狀態(tài)是以投保集團(tuán)中至少一個成員存活為狀態(tài)的存活，以全部成員的死亡為狀態(tài)的死亡的狀態(tài)。最后生存狀況的余壽為，T=max[T(x1),T(x2),…T(xm)]，假設(shè)狀況中個體的余壽隨機(jī)變量相互獨(dú)立。有，70聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對于一般狀況（u），其余壽T=T(u)，根據(jù)余壽均值的定義，有，如（u）是聯(lián)合生存狀況（xy），則對最后生存狀況，則有可以得到以下關(guān)系71聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對于一般狀態(tài)（u），壽險現(xiàn)值A(chǔ)u是狀況（u）的整值余壽變量K=K(u)在K+1年末賠付的精算現(xiàn)值。對于在狀況（u）“死亡”時賠付1單位元的保險，保單生效時的現(xiàn)值隨機(jī)變量和躉繳凈保費(fèi)分別為，具體地，對于聯(lián)合生存狀況(xy)，有由獨(dú)立性假設(shè)，上式可寫成72聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對于每年連續(xù)支付1單位直至狀況（u）“死亡”的生存年金，有對于聯(lián)合生存狀況(xy)，即只有在兩人同時存活時才支付年金，有73最后生存狀況與聯(lián)合生存狀況74特殊死亡分布律下的計(jì)算

—Gompertz假定組成聯(lián)合投保集團(tuán)成員的死亡率符合Gompertz死亡變動規(guī)律，即,i=1,2,…,m。設(shè)某單生命狀況(w)的死亡力與聯(lián)合生存狀況(x1,x2,…

,

xm)

的死亡力相同，即75Makeham死亡律為μx

=A+BCx。此時，聯(lián)合生存狀況的死亡力為，設(shè)由m個年齡均為w的人組成的聯(lián)合生存狀態(tài)(ww…w)的死亡力與μx1x2…xm

相等，即，特殊死亡分布律下的計(jì)算

—Makeham76條件聯(lián)合狀態(tài)概率

表示在n年內(nèi)(x)第一個死亡的概率，x

上面的1表示(x)的死亡事件發(fā)生在(y)之前，n表示事件發(fā)生在n年內(nèi)。等于與T(y)聯(lián)合概率密度函數(shù)的一個二重積分，積分區(qū)域相當(dāng)于T(x)≤T(y)且T(x)≤n。在T(x)與T(y)獨(dú)立的假設(shè)下，有77條件聯(lián)合狀態(tài)概率

表示(y)的死亡事件發(fā)生在n年內(nèi)并且在(x)之后的概率，該二重積分的積分區(qū)域?yàn)閇0≤T(x)≤T(y)≤n]，假設(shè)T(x)與T(y)獨(dú)立78在岡珀茨死亡律下的估計(jì)當(dāng)(x)在(y)之前死亡時，陪付1單位保險金的n年期條件保險的躉繳凈保費(fèi)為，79在Makeham死亡律下的估計(jì)在Makeham死亡律下，當(dāng)(x)在(y)之前死亡時，陪付1單位保險金的n年期條件保險的躉繳凈保費(fèi)為，80第十章

損失模型81第一節(jié)風(fēng)險與保險

保險公司在其經(jīng)營過程中，必須認(rèn)識到風(fēng)險與保險的下述基本關(guān)系：（1）保險是將風(fēng)險從被保險人向保險人的轉(zhuǎn)移；（2）保險人也需要對其所承保的超額風(fēng)險尋求保險保障；（3）風(fēng)險集合包含的個體風(fēng)險越多，其相對風(fēng)險越?。唬?）不同的被保險人具有不同的風(fēng)險水平；（5）在很多情況下，少數(shù)巨災(zāi)風(fēng)險所造成的損失將占到總損失的很大比重。82第二節(jié)損失模型的基本概念一、隨機(jī)變量隨機(jī)變量是指其取值依賴于隨機(jī)現(xiàn)象的觀察結(jié)果的變量。在非壽險精算中，最常見的隨機(jī)變量就是損失金額（用X表示）和損失次數(shù)（用N表示）。離散型隨機(jī)變量：只能取有限個或可列個值的隨機(jī)變量，如保單的索賠次數(shù)N就是一個離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樗荒苋∮邢迋€值。連續(xù)型隨機(jī)變量：其取值布滿一個區(qū)間的隨機(jī)變量，如損失額X的取值范圍是區(qū)間（0，＋

）。83二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望描述了隨機(jī)變量的平均取值，代表著其取值的平均水平。隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望通常用E(X)表示。如果X為離散型隨機(jī)變量，其取值為xi的概率為pi（i=1,2,…），則其數(shù)學(xué)期望為84如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則其數(shù)學(xué)期望為密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)具有下述關(guān)系：兩個隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望具有下述關(guān)系：（1）E(kX)=k

E(X)，其中k為常數(shù)（2）（3）若X與Y相互獨(dú)立，則852、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)

兩個隨機(jī)變量X和Y的方差具有下述關(guān)系：（1）（2）若X與Y相互獨(dú)立，則（3）86標(biāo)準(zhǔn)差是其方差的平方根，即變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比率，即n個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的變異數(shù)是單個隨機(jī)變量的變異系數(shù)的1/，即873、原點(diǎn)矩和中心矩

4、偏度系數(shù)隨機(jī)變量X的偏度系數(shù)被定義為n個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的偏度系數(shù)為88三、概率母函數(shù)和矩母函數(shù)

隨機(jī)變量X的概率母函數(shù)被定義為：PX

(z)=E(zX)（1）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其概率母函數(shù)唯一確定。（2）隨機(jī)變量的概率可以通過概率母函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)來確定，即（3）n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率母函數(shù)等于它們各自的概率母函數(shù)的乘積，即89隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)是關(guān)于實(shí)數(shù)t的函數(shù)，即如果隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)在原點(diǎn)的某個鄰域有定義，則其矩母函數(shù)具有下述性質(zhì)：（1）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其矩母函數(shù)唯一確定。（2）如果X的k階原點(diǎn)矩存在，則矩母函數(shù)M(t)可微分s（s

k）次，且其k階原點(diǎn)矩可以表示為（3）n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的矩母函數(shù)等于它們各自的矩母函數(shù)的乘積，即90概率母函數(shù)和矩母函數(shù)之間存在下述關(guān)系：91四、條件期望和條件方差對于二維隨機(jī)變量（X，Y），當(dāng)Y給定時計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望即得X的條件期望。當(dāng)Y給定時計(jì)算X的方差即得X的條件方差為如果允許Y可以隨機(jī)取值而不是給定取值，則E(X|Y)和Var（X|Y）都是隨機(jī)變量。92第三節(jié)損失次數(shù)模型一、泊松分布

93泊松分布具有下述性質(zhì)：1.可加性。2.可分解性。3.泊松分布的眾數(shù)＝int（

），int表示取整數(shù)。如果參數(shù)

為整數(shù)，則其眾數(shù)也等于

-1，此時泊松分布具有雙眾數(shù)。4.當(dāng)參數(shù)

很小時，可以用泊松分布近似二項(xiàng)分布。5.如果保險事故發(fā)生的時間間隔服從指數(shù)分布，則在一個固定的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的保險事故次數(shù)服從泊松分布。6.當(dāng)參數(shù)

較大時，泊松分布可以用正態(tài)分布近似。94二、負(fù)二項(xiàng)分布

95負(fù)二項(xiàng)分布具有下述性質(zhì)：1.方差大于均值。2.負(fù)二項(xiàng)分布是一種混合泊松分布。3.負(fù)二項(xiàng)分布的眾數(shù)，int表示取整數(shù)。96三、二項(xiàng)分布

，k＝0，1，2，…，m，其中m為整數(shù)，0<q<197二項(xiàng)分布具有下述性質(zhì)：1.二項(xiàng)分布的方差小于其均值。2.假設(shè)每個風(fēng)險發(fā)生損失的概率均為q，則二項(xiàng)分布可以描述m個獨(dú)立同分布的風(fēng)險所組成的風(fēng)險集合的損失次數(shù)。3.如果用二項(xiàng)分布描述損失次數(shù)，則意味著損失次數(shù)存在一個最大值。4.二項(xiàng)分布的眾數(shù)＝int[q(m+1)]，int表示取整數(shù)。如果q(m+1)為整數(shù)，則其眾數(shù)也等于q(m+1)－1。98四、幾何分布幾何分布具有下述性質(zhì)：1.幾何分布是當(dāng)r=1時負(fù)二項(xiàng)分布的特例。2.幾何分布具有指數(shù)形式的衰減概率函數(shù)，因此具有無記憶性。3.幾何分布的眾數(shù)恒為零。

99第四節(jié)損失金額模型一、指數(shù)分布指數(shù)分布具有下述性質(zhì)：1.如果在單位時間內(nèi)的損失次數(shù)服從參數(shù)為θ的泊松分布,則相鄰損失之間的時間間隔服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。2.指數(shù)分布具有無記憶性。100二、對數(shù)正態(tài)分布其中，－

<

<+

，

>0，x>0101對數(shù)正態(tài)分布具有下述性質(zhì)：1.正態(tài)分布經(jīng)指數(shù)變換后即為對數(shù)正態(tài)分布；對數(shù)正態(tài)分布經(jīng)對數(shù)變換后即為正態(tài)分布。2.設(shè)r，t為正實(shí)數(shù)，X是參數(shù)為（

，

）的對數(shù)正態(tài)分布，則Y

＝rXt

仍是對數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為（t

+ln(r)，t2

）。3.對數(shù)正態(tài)分布總是右偏的。4.對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差是其參數(shù)（

，

）的增函數(shù)。5.對給定的參數(shù)

，當(dāng)

趨于零時，對數(shù)正態(tài)分布的均值趨于exp(

)，方差趨于零。102三、伽瑪分布103伽瑪分布具有下述性質(zhì)：1.當(dāng)固定尺度參數(shù)θ時，改變形狀參數(shù)

的取值會改變伽瑪密度函數(shù)的形狀。2.當(dāng)

趨于無窮大時，伽瑪分布近似于正態(tài)分布。3.當(dāng)

=1時，伽瑪分布就是參數(shù)為θ的指數(shù)分布。4.當(dāng)尺度參數(shù)θ相同時，伽瑪分布具有可加性。5.伽瑪分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是伽瑪分布，參數(shù)變?yōu)椋?/p>

，θ/r）。104四、帕累托分布105帕累托分布具有下述性質(zhì)：1.帕累托分布總是右偏的，眾數(shù)恒為0。2.帕累托分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是帕累托分布，參數(shù)變?yōu)椋?/p>

，r

）。3.如果均值

＝E(X)保持不變，當(dāng)

時，帕累托分布收斂到參數(shù)為1/

的指數(shù)分布。106五、威布爾分布107威布爾分布具有下述性質(zhì)：1.當(dāng)

=1時，威布爾分布就是參數(shù)為

的指數(shù)分布。2.威布爾分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是威布爾分布，參數(shù)變?yōu)椋ǎ?/p>

）。3.如果服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布（即參數(shù)為1），則Y服從威布爾分布。4.威布爾分布在

＝3.6附近呈現(xiàn)大致對稱的形狀。108六、通貨膨脹對損失金額模型的影響若令，則X與Y的分布函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y的密度函數(shù)之間有如下關(guān)系：

109第五節(jié)累積損失模型累積損失的分布模型有兩種不同的表現(xiàn)形式：個體風(fēng)險模型：集體風(fēng)險模型：110在集體風(fēng)險模型中，累積損失S的均值和方差分別為：對累積損失的一種最簡單的近似計(jì)算是正態(tài)近似：111如果累積損失S服從復(fù)合泊松分布，泊松分布的參數(shù)為l，則其中m與a2分別為個體損失金額X的均值和二階原點(diǎn)矩，即112當(dāng)正態(tài)近似不適用時，還可以對原始損失數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換（如NP變換），使其符合正態(tài)分布的形式。經(jīng)過NP變換以后，累積損失S的分布函數(shù)可近似表示為113對于集體風(fēng)險模型，當(dāng)損失次數(shù)服從泊松分布時，可以用Panjer迭代計(jì)算累積損失的分布：114第11章費(fèi)率厘定的基本原理115第一節(jié)引言非壽險產(chǎn)品的費(fèi)率由三個部分構(gòu)成：純保費(fèi)：用于補(bǔ)償保險公司在未來的期望賠款成本；費(fèi)用附加：用于補(bǔ)償保險公司經(jīng)營相關(guān)保險業(yè)務(wù)的各種必要的費(fèi)用支出；利潤附加：保險公司經(jīng)營保險業(yè)務(wù)所得到的收益，可以看作是經(jīng)營過程中保險所使用的資本金的成本。116風(fēng)險單位：對風(fēng)險進(jìn)行度量的基本單位，也是費(fèi)率厘定的基本單位。索賠頻率：在一定時期內(nèi)每個風(fēng)險單位的索賠次數(shù)，通常用索賠總次數(shù)和風(fēng)險單位數(shù)之比進(jìn)行估計(jì)。索賠強(qiáng)度：一個風(fēng)險單位每次索賠的金額，通常用賠款總額與索賠次數(shù)之比進(jìn)行估計(jì)。純保費(fèi)：保險公司對每一風(fēng)險單位的平均賠款金額，可以表示為每個風(fēng)險單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積。賠付率：賠款與保費(fèi)之比。117第二節(jié)純保費(fèi)純保費(fèi)是期望索賠頻率E(N)與期望索賠強(qiáng)度E(X)的乘積。由于免賠額和賠償限額的使用，再加上通貨膨脹的影響，期望索賠頻率與期望索賠強(qiáng)度的計(jì)算就不簡單地是損失次數(shù)分布和損失金額分布的均值。一、有限期望函數(shù)118二、免賠額對純保費(fèi)的影響當(dāng)免賠額為d時，保險公司的期望賠款將為

如果在應(yīng)用免賠額之前的期望索賠頻率為n，則當(dāng)免賠額為d時，期望索賠頻率將變?yōu)閺亩儽ＹM(fèi)成為119如果進(jìn)一步假設(shè)通貨膨脹率為r，免賠額d保持不變，則純保費(fèi)為120三、賠償限額對純保費(fèi)的影響當(dāng)賠償限額為u時，保險人的期望賠款額為

純保費(fèi)為121如果進(jìn)一步假設(shè)通貨膨脹率為i，賠償限額u保持不變，則保險公司的期望賠款為

純保費(fèi)為122四、免賠額與賠償限額對純保費(fèi)的綜合影響如果保單規(guī)定的免賠額為d，且對每一次保險事故，保險公司的最高賠款支出為u－d，則對每一次損失X，保險公司的實(shí)際賠款支出為：123因此包括零賠款(即在免賠額以下的損失)在內(nèi)的期望賠款為

純保費(fèi)為124如果通貨膨脹率為r，免賠額d和賠償限額u保持不變，則保險公司的實(shí)際賠款支出為包括零賠款在內(nèi)的期望賠款為125從而純保費(fèi)為126第三節(jié)毛保費(fèi)一、純保費(fèi)法用純保費(fèi)法厘定的毛保險費(fèi)率不僅能夠滿足預(yù)期的賠款和費(fèi)用支出，而且能夠提供預(yù)期的收益，其計(jì)算公式如下：R——每個風(fēng)險單位的毛保險費(fèi)率；P——每個風(fēng)險單位的純保費(fèi)；F——每個風(fēng)險單位的固定費(fèi)用；V——變動費(fèi)用附加系數(shù)，即單位毛保費(fèi)中的變動費(fèi)用；Q——單位毛保費(fèi)中的利潤附加系數(shù)；127二、賠付率法賠付率法的毛保險費(fèi)率計(jì)算公式如下：R——新厘定的毛保險費(fèi)率R0——當(dāng)前的毛保險費(fèi)率A——費(fèi)率調(diào)整因子(W/T)W——經(jīng)驗(yàn)賠付率T——目標(biāo)賠付率128第四節(jié)數(shù)據(jù)調(diào)整一、等水平已賺保費(fèi)：將整個經(jīng)驗(yàn)期的費(fèi)率都調(diào)整為當(dāng)前費(fèi)率，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算的已賺保費(fèi)?？梢允褂闷叫兴倪呅畏椒ㄟM(jìn)行近似估計(jì)。二、最終賠款：已付賠款與未決賠款之和。預(yù)測最終賠款最常用的方法是損失進(jìn)展法（lossdevelopment）。損失進(jìn)展法的假設(shè)條件如下：保險事故發(fā)生以后，索賠將經(jīng)歷“未報告→已報告但未賠付→已賠付”這一順序發(fā)展，而且這一過程在一定時期內(nèi)是平穩(wěn)的。129三、趨勢分析在一般情況下，需要把期望賠款（即純保費(fèi)）分解為索賠強(qiáng)度和索賠頻率的乘積，并對索賠強(qiáng)度和索賠頻率的變動趨勢分別進(jìn)行分析。預(yù)測索賠頻率或索賠強(qiáng)度趨勢的兩個常用模型是線性模型和指數(shù)模型：線性模型：y=at+b

指數(shù)模型：y=beat

指數(shù)模型還可以表示為：㏑(y)=at+㏑(b)

若令Y=㏑(y)，B=㏑(b)，則有Y=at+B130第12章分類費(fèi)率131第一節(jié)分類變量分類變量：個體風(fēng)險的一些基本風(fēng)險特征，根據(jù)這些特征，可以將風(fēng)險集合區(qū)分成若干風(fēng)險子集，屬于同一個風(fēng)險子集的個體風(fēng)險具有近似相同的潛在損失。分類變量既可以是數(shù)量特征的指標(biāo)，也可以是屬性特征的指標(biāo)。132一、分類變量的選擇1、精算因素。2、經(jīng)營因素。3、社會因素。4、法律因素。二、分類變量舉例（略）133三、風(fēng)險分類與其它定價因素的關(guān)系1、風(fēng)險單位。2、經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率系統(tǒng)。3、市場營銷和承保。134第二節(jié)單變量分析法在一個風(fēng)險分類體系中，各個類別的費(fèi)率通常地表示為相對比率的形式，即假設(shè)一個類別的費(fèi)率為1，而其他類別的費(fèi)率也按比例調(diào)整為相對數(shù)的形式。這種分類費(fèi)率也被稱作相對費(fèi)率。單變量分析法(one-wayanalysis)是指每次僅計(jì)算一個分類變量的不同水平所對應(yīng)的相對費(fèi)率。在應(yīng)用單變量分析法厘定相對費(fèi)率時,既可以根據(jù)純保費(fèi)進(jìn)行,也可以根據(jù)賠付率進(jìn)行。135兩個需要注意的問題（一）分布不均勻的風(fēng)險單位數(shù)（二）數(shù)據(jù)的可信度136第三節(jié)邊際總和法邊際總和法：在分類體系中,要求根據(jù)每一個分類變量的不同水平所計(jì)算的純保費(fèi)之和等于相對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)賠付成本之和，即：估計(jì)值的邊際總和＝觀察值的邊際總和假設(shè)每個分類變量的相對費(fèi)率分別為137令μ為整個風(fēng)險集合的平均純保費(fèi)，Cij為各個類別的經(jīng)驗(yàn)賠付成本，nij為各個類別的風(fēng)險單位數(shù)。138求解相對費(fèi)率的遞推公式：139在上述迭代公式中，可以令m

等于經(jīng)驗(yàn)賠付成本的平均值，即140令任一個分類變量的相對費(fèi)率為1，如并將其代入第一個方程組求解；把得到的代入第二個方程組，可以求得一組新的；將其再次代入第一個方程組求解，如此不斷進(jìn)行下去，最后可以得到收斂的結(jié)果。141第四節(jié)廣義線性模型自20世紀(jì)末開始,廣義線性模型在分類費(fèi)率厘定中的應(yīng)用得到迅速發(fā)展,已成為厘定分類費(fèi)率的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型將因變量Y表示為其均值μ和一個隨機(jī)變量ε之和,即Y=μ+ε因變量的期望值μ可以表示為解釋變量的一個線性組合,即其中,誤差項(xiàng)ε服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布142線性回歸模型是建立在下列假設(shè)的基礎(chǔ)上:①因變量的每個觀察值相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,它們的均值可以互不相同,但它們的方差是相同的。②解釋變量的一個線性組合可以估計(jì)因變量的期望值。143

在上述假設(shè)之下,雖然線性回歸模型很容易通過代數(shù)方法求解,但在精算應(yīng)用中,上述假設(shè)通常很難得到滿足:第一,要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現(xiàn)實(shí)的。第二,在許多實(shí)際問題中,尤其是在保險實(shí)踐中,因變量的取值往往是非負(fù)的第三,如果因變量是嚴(yán)格非負(fù)的,那么直觀地看,當(dāng)因變量的均值趨于零時,其方差也應(yīng)該趨于零。第四,在線性回歸模型中,假設(shè)解釋變量通過加法關(guān)系對因變量產(chǎn)生影響,但在某些情況下,解釋變量之間可能通過一種乘法關(guān)系對因變量產(chǎn)生影響。144

廣義線性模型的假設(shè)可歸納如下:(1)隨機(jī)成分,即因變量Y的概率分布。因變量Y的每個觀察值Yi相互獨(dú)立且服從指數(shù)型分布族中的一個分布。(2)系統(tǒng)成分,即解釋變量的線性組合,可表示為

η=β0+β1x1+…+βpxp(3)連接函數(shù)。連接函數(shù)單調(diào)且可導(dǎo),它建立了隨機(jī)成分與系統(tǒng)成分之間的關(guān)系。在廣義線性模型中,常用的連接函數(shù)是對數(shù)連接函數(shù)。

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各種典型的廣義線性模型分別是:(1)在預(yù)測索賠頻率時,典型的廣義線性模型是泊松回歸模型,即使用泊松分布假設(shè)和對數(shù)連接函數(shù)。(2)在預(yù)測索賠強(qiáng)度時,典型的廣義線性模型是伽瑪回歸模型,即使用伽瑪分布假設(shè)和對數(shù)連接函數(shù)。(3)在預(yù)測續(xù)保率和新業(yè)務(wù)轉(zhuǎn)換率時,典型的廣義線性模型是Logistic回歸模型,即使用二項(xiàng)分布假設(shè)和Logit連接函數(shù)。

146第13章經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率147經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率：根據(jù)個體風(fēng)險的損失經(jīng)驗(yàn)和其他有關(guān)信息所計(jì)算的個體風(fēng)險的費(fèi)率。信度模型和獎懲系統(tǒng)是最為常見的兩種經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率模型。第一節(jié)信度模型古典信度模型：又稱有限波動信度模型,因?yàn)樵撃Ｐ驮噲D限制觀察數(shù)據(jù)中的隨機(jī)波動對估計(jì)值的影響。Bühlmann信度模型：又稱最小二乘信度模型,該模型通過估計(jì)值與真實(shí)值之間誤差平方和的最小化確定信度因子。148一、古典信度模型在古典信度模型中,需要確定當(dāng)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)達(dá)到多大規(guī)模時,才可以給其賦予100%的可信度,而這個數(shù)據(jù)規(guī)模又稱完全可信度標(biāo)準(zhǔn)。（一）索賠頻率的完全可信度標(biāo)準(zhǔn)完全可信度標(biāo)準(zhǔn)，就是給個體風(fēng)險的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)賦予的權(quán)重為1時，對經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最低要求。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。149表13-1索賠頻率的完全可信度標(biāo)準(zhǔn)150（二）索賠強(qiáng)度的完全可信度標(biāo)準(zhǔn)（三）純保費(fèi)的完全可信度標(biāo)準(zhǔn)（四）部分可信度151二、Bühlmann信度模型152三、信度模型的應(yīng)用（一）信度補(bǔ)項(xiàng)的選擇在信度模型的實(shí)際應(yīng)用中，信度補(bǔ)項(xiàng)的選擇在很大程度上需要依賴于精算師的經(jīng)驗(yàn)判斷。在估計(jì)勞工補(bǔ)償保險的費(fèi)率時,可以選擇上年的費(fèi)率作為信度補(bǔ)項(xiàng)。在估計(jì)汽車保險費(fèi)率的上調(diào)幅度時,可以選擇汽車修理成本和醫(yī)療費(fèi)用上升幅度的加權(quán)平均數(shù)作為信度補(bǔ)項(xiàng)。在估計(jì)某個地區(qū)的費(fèi)率上調(diào)幅度時,可以選擇全國平均的費(fèi)率上調(diào)幅度作為信度補(bǔ)項(xiàng)。153（二）對異常損失的處理處理異常損失的一種常用方法是設(shè)置限額，這會降低個體風(fēng)險損失經(jīng)驗(yàn)的方差，從而提高其經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度。（三）對信度因子的估計(jì)假設(shè)一個保單組合包含m份保單，每份保單的風(fēng)險單位數(shù)相同，并對其進(jìn)行了t年的觀察，其中第i份保單在第j年的索賠頻率觀察值為，則過程方差的均值和假設(shè)均值的方差可以如下計(jì)算：風(fēng)險i的平均索賠頻率：154保單組合的平均索賠頻率：風(fēng)險i的過程方差：過程方差的均值：假設(shè)均值的方差：155(四)模型比較古典信度模型與Bühlmann信度模型的主要區(qū)別在于,在古典信度模型中,信度因子可以等于1,但在Bühlmann信度模型中,信度因子只會趨近于1,但不會等于1。不過,這兩個模型都會改進(jìn)估計(jì)值的穩(wěn)定性和精確性。當(dāng)古典信度模型的完全可信度標(biāo)準(zhǔn)(即期望索賠次數(shù)nF)是Bühlmann參數(shù)K的7~8倍時,這兩個模型的信度因子會很接近。156第二節(jié)獎懲系統(tǒng)一、獎懲系統(tǒng)的含義獎懲系統(tǒng)：對上一保險年度沒有發(fā)生索賠的投保人，在下一年度續(xù)保時給予保費(fèi)上的優(yōu)待，而對于上一保險年度發(fā)生索賠的投保人，則在下一保險年度提高其保費(fèi)。應(yīng)用獎懲系統(tǒng)的目的：使被保險人繳納的保險費(fèi)反映其真實(shí)的風(fēng)險水平；降低保險公司受理小額賠案的費(fèi)用，從而可以進(jìn)一步降低保險費(fèi)率；鼓勵被保險人在駕車時更加小心謹(jǐn)慎。157對獎懲系統(tǒng)的批評：破壞了被保險人的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性。被保險人之間的互助合作被削弱了。違背了大數(shù)定律。運(yùn)用數(shù)學(xué)語言對獎懲系統(tǒng)的描述：把所有的被保險人劃分成有限個等級，每個等級用Ci表示，i=1，2，…，s，被保險人的保費(fèi)只依賴于他所屬的等級（其中s表示等級總數(shù)）；新投保的被保險人繳納初始等級C0的保險費(fèi)；被保險人的續(xù)期保費(fèi)取決于他在上一個保險年度所屬的等級和索賠次數(shù)。158表13-11A款的獎懲系統(tǒng)保費(fèi)等級獎懲系數(shù)10.720.830.941.051.161.271.481.691.8102.0159二、穩(wěn)態(tài)概率分布如果用表示索賠頻率為

的保單在一個保險年度發(fā)生k次索賠的概率用M表示表13－12的轉(zhuǎn)移概率矩陣令為轉(zhuǎn)移概率矩陣M的穩(wěn)態(tài)概率分布，則是下述方程組的解：其中，T表示對矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置。160三、平均保費(fèi)水平1、保單組合的平均保費(fèi)水平2、個體保單的平均保費(fèi)水平四、最優(yōu)獎懲系統(tǒng)定義：每個被保險人繳納的保費(fèi)與其潛在的風(fēng)險水平成比例,且保險公司能夠維持其財(cái)務(wù)平衡,即對于一組固定的保單持有人,保險公司不會因?yàn)閷?shí)施獎懲系統(tǒng)而減少其保費(fèi)收入。161最優(yōu)獎懲系統(tǒng)具有一些很重要的性質(zhì)：（1）從長期來看，最優(yōu)獎懲系統(tǒng)是公平的。（2）在最優(yōu)獎懲系統(tǒng)下，保險公司的財(cái)務(wù)具有穩(wěn)定性。（3）在最優(yōu)獎懲系統(tǒng)中，個體保單的保費(fèi)水平只與以前年度的總索賠次數(shù)有關(guān)，而不管這些索賠次數(shù)在過去若干年是如何分布的。（4）最優(yōu)獎懲系統(tǒng)是信度模型的特例。即只要令信度因子，則：162第14章非壽險準(zhǔn)備金評估163第一節(jié) 引言未到期責(zé)任準(zhǔn)備金：在準(zhǔn)備金評估日為尚未終止的保險責(zé)任而提取的準(zhǔn)備金。未決賠款準(zhǔn)備金：保險公司對尚未結(jié)案的賠案而提取的準(zhǔn)備金，包括已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金、已發(fā)生未報案未決賠款準(zhǔn)備金和理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金。已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金：為保險事故已經(jīng)發(fā)生并已向保險公司提出索賠，但保險公司尚未結(jié)案的賠案而提取的準(zhǔn)備金。164已發(fā)生未報案未決賠款準(zhǔn)備金：為保險事故已經(jīng)發(fā)生，但尚未向保險公司提出索賠的賠案而提取的準(zhǔn)備金。理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金：為尚未結(jié)案的賠案可能發(fā)生的費(fèi)用而提取的準(zhǔn)備金。理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金：為尚未結(jié)案的賠案可能發(fā)生的費(fèi)用提取的準(zhǔn)備金,其中針對直接發(fā)生于具體賠案的專家費(fèi)、律師費(fèi)、損失檢驗(yàn)費(fèi)等而提取的為直接理賠費(fèi)用