課時規(guī)范練80事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025123456789101112基礎鞏固練1.(2024·山東省實驗中學模擬)某市地鐵1號線從A站到G站共有7個站點,甲、乙二人同時從A站上車,準備在B站、D站和G站中的某個站點下車,若他們在這3個站點中的某個站點下車是等可能的,則甲、乙二人在不同站點下車的概率為(

)C123456789101112D解析

設“某天接納顧客量超過1萬人次”為事件A,“隨后一天的接納顧客量1234567891011123.(2024·廣東惠州模擬)已知某地市場上供應的一種電子產品中,甲廠產品占80%,乙廠產品占20%,甲廠產品的合格率是75%,乙廠產品的合格率是80%,則從該地市場上買到一個合格的電子產品的概率是(

)A.0.75 B.0.8

C.0.76

D.0.95C解析

設買到的電子產品是甲廠產品為事件A,買到的電子產品是乙廠產品為事件B,則P(A)=0.8,P(B)=0.2,記從該地市場上買到一個合格的電子產品為事件C,則P(C|A)=0.75,P(C|B)=0.8,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76.1234567891011124.(多選題)(2024·山東威海模擬)已知事件A,B滿足P(A)=0.5,P(B)=0.2,則(

)A.若B?A,則P(AB)=0.5B.若A與B互斥,則P(A∪B)=0.7C.若A與B相互獨立,則P()=0.9D.若P(B|A)=0.2,則A與B相互獨立BD123456789101112解析

對于A,因為P(A)=0.5,P(B)=0.2,B?A,所以P(AB)=P(B)=0.2,故A錯誤;對于B,因為A與B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,故B正確;P(A)×P(B)=0.5×0.2=0.1,所以P(AB)=P(A)P(B),所以A與B相互獨立,故D正確.故選BD.1234567891011125.(多選題)(2024·湖南岳陽高三期末)某校10月份舉行校運動會,甲、乙、丙三位同學計劃從長跑、跳繩、跳遠中任選一項參加,每人選擇各項目的AD1234567891011121234567891011126.(2022·天津,13)現(xiàn)有52張撲克牌(去掉大小王),每次取一張,取后不放回,則兩次都抽到A的概率為

;在第一次抽到A的條件下,第二次也抽到A的概率是

.

解析

設第一次抽到A的事件為M,第二次抽到A的事件為N,則抽兩次都是1234567891011127.(2024·廣東梅州模擬)有一批同規(guī)格的產品,由甲、乙、丙三家工廠生產,其中甲、乙、丙工廠分別生產3000件、3000件、4000件,而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%,5%,5%,現(xiàn)從這批產品中任取一件,則(1)取到次品的概率為

;

(2)若取到的是次品,則其來自甲廠的概率為

.

0.053123456789101112解析

(1)設任取一件產品來自甲廠為事件A1、來自乙廠為事件A2、來自丙廠為事件A3,則A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,設任取一件產品,取到的是次品為事件B,則P(B|A1)=6%,P(B|A2)=5%,P(B|A3)=5%,則P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=1234567891011121234567891011128.(2022·新高考Ⅱ,19)在某地區(qū)進行某種疾病調查,隨機調查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病患者年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;123456789101112(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總人口數(shù)的16%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).123456789101112解

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為

=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)由題圖,得這100位這種疾病患者中年齡位于區(qū)間[20,70)的頻率為(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故可估計該地區(qū)一人患這種疾病患者年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.(3)設B表示事件“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,C表示事件“任選一人患這種疾病”,由條件概率公式可得P(C|B)=

=0.001

437

5≈0.001

4.123456789101112綜合提升練9.(2022·全國乙,理10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(

)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大D123456789101112解析

該棋手在第二盤與甲比賽時,p=p2p1+(1-p2)p1p3+p3p1+(1-p3)p1p2=2p1(p2+p3)-2p1p2p3.同理,該棋手在第二盤與乙比賽時,p=2p2(p1+p3)-2p1p2p3.該棋手在第二盤與丙比賽時,p=2p3(p1+p2)-2p1p2p3.顯然,由p3>p2>p1>0可知,p1(p2+p3)<p2(p1+p3)<p3(p1+p2).從而該棋手在第二盤與丙比賽時,p最大,故選D.12345678910111210.(多選題)(2024·廣東廣州模擬)有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺車床加工的次品率為8%,第2臺車床加工的次品率為3%,第3臺車床加工的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個零件,則下列結論正確的是(

)A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的,那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品,那么它不是第3臺車床加工出來的概率為BC123456789101112解析

記車床加工的零件是次品為事件A,記第i臺車床加工的零件為事件Bi,i=1,2,3,則P(A|B1)=8%,P(A|B2)=3%,P(A|B3)=2%,P(B1)=10%,P(B2)=40%,P(B3)=50%.對于A,任取一個零件是第1臺車床生產出來的次品的概率為P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=8%×10%=0.008,故A錯誤;對于B,任取一個零件,該零件是次品的概率為P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=8%×10%+3%×40%+2%×50%=0.03,故B正確;對于C,如果該零件是第3臺車床加工出來的,那么它不是次品的概率為123456789101112對于D,如果該零件是次品,那么它不是第3臺車床加工出來的概率為12345678910111211.(2024·江蘇南京、鹽城模擬)人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學,被認為是21世紀最重要的尖端科技之一,其理論和技術正在日益成熟,應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理:首先確定先驗概率,然后通過計算得到后驗概率,使先驗概率得到修正和校對,再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理,我們可以設計如下試驗模型:有完全相同的甲、乙兩個袋子,袋子里有形狀和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9個紅球和1個白球,乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子,再從該袋子中等可能摸出一個球,稱為一次試驗.多次試驗直到摸出紅球,則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為123456789101112(1)求首次試驗結束的概率;(2)在首次試驗摸出白球的條件下,我們對選到甲袋或乙袋的概率(先驗概率)進行調整.①求選到的袋子為甲袋的概率;②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子,繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案:方案一,從原來袋子中摸球;方案二,從另外一個袋子中摸球.請通過計算,說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.123456789101112解

(1)設試驗一次,“選到甲袋”為事件A1,“選到乙袋”為事件A2,“試驗結果為紅球”為事件B1,“試驗結果為白球”為事件B2,12345678910111212345678910111212.如圖,三個元件a,b,c獨立正常工作的概率分別是P1,P2,P3(0<P1<P2<P3<1),把它們隨意接入電路的三個接線盒T1,T2,T3中(一盒接一個元件),各種連接方法中,此電路正常工作的最大概率是

.

創(chuàng)新應用練P1P3+P2P3-P1P2P3

123456789101112解析

由題意,元件a,b,c不正常工作的概率分別為(1-P