3.1導(dǎo)數(shù)小題篇考向1導(dǎo)數(shù)的運算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：如我們將分三步：①將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)；②將對的導(dǎo)數(shù)記為，將對的導(dǎo)數(shù)記為；③．注意：奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．4．八大同構(gòu)函數(shù)八大同構(gòu)函數(shù)分別是：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．我們通過基本的求導(dǎo)來看看這八大同構(gòu)函數(shù)的圖像，再分析單調(diào)區(qū)間及極值，以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系．圖1-2-1圖1-2-2①如圖1-2-1，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，且；②如圖1-2-2，對于，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，且；反思關(guān)于圖1-2-1和圖1-2-2，我們仔細觀察會發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)，我們把換成即可得到．圖1-2-3圖1-2-4③如圖1-2-3，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞增，在區(qū)間遞減，；④如圖1-2-4，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞增，在區(qū)間遞減，；反思關(guān)于圖1-2-3和圖1-2-4，我們仔細觀察會發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)，我們把換成即可得到．圖1-2-5圖1-2-6⑤如圖1-2-5，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：當時，，在區(qū)間遞減；當時，，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；⑥如圖1-2-6，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：當時，，在區(qū)間遞減；當時，，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；反思關(guān)于圖1-2-5和圖1-2-6，我們仔細觀察會發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)，我們把換成即可得到．圖1-2-7圖1-2-8⑦如圖1-2-7，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；⑧如圖1-2-8，對于函數(shù)，求導(dǎo)后可得：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；反思關(guān)于圖1-2-7和圖1-2-8，仔細觀察會發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)，我們把換成即可得到．我們可以利用八大函數(shù)進行快速求解最值或單調(diào)區(qū)間注意：改變單調(diào)區(qū)間的因素：、、；改變最值的因素：、、；題型1基本求導(dǎo)【例1】下列式子正確的是A． B． C． D．【例2】若函數(shù)，則A． B． C． D．【例3】已知函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），則（1）A． B． C． D．【例4】函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，A． B．3 C． D．2【例5】已知函數(shù)，則A． B． C． D．題型2必備拓展知識【例1】給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)（反之為凹函數(shù)）．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是A． B． C． D．【例2】【多選】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“新駐點”，下列函數(shù)中，具有“新駐點”的是A． B． C． D．【例3】給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點，為函數(shù)的“拐點”．已知函數(shù)的拐點為，，則下列結(jié)論正確的為A． B．點在直線上 C． D．點在直線上【例4】以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間，上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)至少存在一個點，使得（b）（a），其中稱為函數(shù)在閉區(qū)間，上的“中值點”．請問函數(shù)在區(qū)間，上的“中值點”的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4考向2導(dǎo)數(shù)的切線問題題型1在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為：，一定要抓住關(guān)鍵．【例1】（2023?甲卷）曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．【例2】（2019?新課標Ⅲ）已知曲線在點處的切線方程為，則A．， B．， C．， D．，【例3】（2024?甲卷）設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為A． B． C． D．題型2過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．【例1】已知函數(shù)，若過點的直線與曲線相切，則該直線斜率為．【例2】已知，則函數(shù)的圖象過點的切線方程為．【例3】（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．題型3切線條數(shù)問題設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為，又因為切線方程過點，所以然后解出的值，有幾個值，就有幾條切線．【例1】經(jīng)過點作曲線的切線有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【例2】（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【例3】（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是．題型4公切線問題公切線代數(shù)表達：當與具有公切線時，設(shè)直線與切于點與切于點，①當與切于同一點，設(shè)切點為，則有；=2\*GB3②公切線方程的等量關(guān)系，求參數(shù)取范圍或者切點的取值范圍．【例1】（2024?新高考Ⅰ）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則．【例2】曲線在點，處的切線與在點，處的切線相同，則A． B． C．1 D．2【例3】（2025?深圳一模）已知曲線與曲線只有一個公共點，則A． B．1 C． D．考向3單調(diào)性與極值最值1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負之間的關(guān)系①單調(diào)遞增：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；②單調(diào)遞減：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.③如果在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是一個常數(shù)函數(shù).(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.2．函數(shù)的極值(1)極小值點與極小值：如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點與極大值：如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3．函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.當f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別①極值是對某一點附近(即局部)而言的，最值是對函數(shù)的整個定義區(qū)間而言的.②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.③函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點.題型1最值與求參【例1】下列函數(shù)中，在區(qū)間0,1內(nèi)不單調(diào)的是（

）A．y=lnx+1 C．y=tan2x 【例2】（2022?乙卷）函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A．， B．， C．， D．，【例3】已知函數(shù)fx=13x3+16A．?∞,12 B．?∞,433題型2極值與求參【例1】已知函數(shù)y=fx的定義域為a,b，導(dǎo)函數(shù)y=f′x在a,b內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=fx

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【例3】已知函數(shù)fx=x3+3mx2A．4 B．4或11 C．9 D．11【例4】（2024?多選?新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點 B．當時， C．當時， D．當時，題型3距離問題①一般轉(zhuǎn)化為平行切線問題；②若兩函數(shù)互為反函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為其中一個函數(shù)到的距離最小值的兩倍．【例1】已知是函數(shù)圖像上的動點，是直線上的動點，則，兩點間距離的最小值為A． B．4 C． D．【例2】（2012?新課標）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為A． B． C． D．【例3】（2024?武漢四調(diào)）在同一平面直角坐標系中，，分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．【例4】已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為A．4 B． C． D．2題型4單調(diào)性與共零點轉(zhuǎn)化若，且滿足：①與在同一定義域內(nèi)有變號零點；②與同為單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）函數(shù)；則一定有與共零點，即零點相同，如左圖．【例1】設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．0【例2】函數(shù)，若恒成立，則的最小值是A． B． C． D．【例3】（2024?新高考Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．1考向4必備函數(shù)模型題型一三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且),其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域為．=2\*GB3②值域為，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實根個數(shù)對于三次函數(shù)(、、、且),其導(dǎo)數(shù)為當，其導(dǎo)數(shù)有兩個解，，原函數(shù)有兩個極值，．①當時,原方程有且只有一個實根；②當時,原方程有兩個實數(shù)根；③當時,原方程三個實數(shù)根；性質(zhì)3：對稱性三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；，其中橫坐標為其函導(dǎo)數(shù)的對稱軸；【例1】（2024?新高考Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點 C．存在，，使得為曲線的對稱軸 D．存在，使得點，（1）為曲線的對稱中心【例2】（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則A． B． C． D．【例3】已知函數(shù)，且，，則A． B． C． D．題型二六大同構(gòu)函數(shù)模型【例1】利用八大函數(shù)（不求導(dǎo)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：=1\*GB3①；=2\*GB3②；【例2】利用八大函數(shù)（不求導(dǎo)）求下列函數(shù)的最值：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；【例3】已知函數(shù)，的最小值分別為，，則A． B． C． D．，的大小關(guān)系不確定題型三飄帶函數(shù)函數(shù)（，）的圖像類似兩條無限延伸的飄帶，故把它稱為飄帶函數(shù)．由于一條飄帶函數(shù)與對數(shù)函數(shù)具有緊密的放縮關(guān)系，為使整個函數(shù)放縮關(guān)系完整，我們通常用一個反比例函數(shù)對進行逼近放縮，如圖，從圖像可以看出三個函數(shù)在的左右兩邊大小關(guān)系徹底發(fā)生改變，既有結(jié)論：①，；②，，此不等式在多變元問題中是常見有效的放縮方法，是多元問題的一條主線，萬萬不能忘記．證明①構(gòu)造函數(shù)，則，而，故當時，；當時．②構(gòu)造函數(shù)，則，而，故當時，；當時，．飄帶函數(shù)在高考中應(yīng)用廣泛，如：證明對數(shù)平均不等式、比大小、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合等．【例1】已知函數(shù)，對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【例2】設(shè)，則A． B． C． D．考向5同構(gòu)體系題型1單變量同構(gòu)【例1】設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是．【例2】若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【例3】函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【例4】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．題型2雙變量同構(gòu)與等量關(guān)系八大同構(gòu)函數(shù)中，會經(jīng)常形成內(nèi)部同構(gòu)的關(guān)聯(lián)，成為了近幾年常考題型.①若，則，當時，，當（或者）時，一定有，或者；②若，則（或），當時，，當（或者）時，一定有，或者；③若，則，當時，，當（或者）時，一定有，或者；【例1】已知實數(shù)，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為A． B． C． D．【例2】已知函數(shù)，若存在，使得成立，則的最大值為.【例3】（2022?新高考1）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．題型3朗博同構(gòu)的保值性1.朗博函數(shù)指的是形如或類型的函數(shù)，我們可以將這類函數(shù)進行“改頭換面”處理，比如；關(guān)于朗博函數(shù)我們統(tǒng)一往母函數(shù)同構(gòu)，即恒成立，當且僅當時等號成立；或，當且僅當時等號成立，等等，要確?！啊蹦艹闪ⅲ胰〉葪l件滿足定義域，我們稱之為保值性．2.常見變形總結(jié)（）（注意定義域），，，；；；；；【例1】已知函數(shù)，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【例2】若時，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是．【例3】若exx+alnx?ax+A．（0，e2] B．(0，e22] C．題型4雙變量同構(gòu)的新考法一類題型是不同同構(gòu)方式下的內(nèi)部關(guān)系或外部關(guān)系一類題型是同構(gòu)結(jié)合其他知識點進行考察一類題型是不完整同構(gòu)的考察【例1】【多選】已知，，，則A． B． C． D．【例2】【多選】已知實數(shù)，滿足，則A． B． C． D．【例3】已知，，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則A． B． C． D．【例4】若a，，自然對數(shù)的底數(shù)為e，則的最小值為．【例5】對任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．拓展思維拓展1數(shù)形結(jié)合與公切線問題考向一平移函數(shù)公切線問題當與為平行曲線，即，則有證明:因為與有公切線，設(shè)切點為，切點為，則一定有，所以，根據(jù)公切線方程可得:，所以，即如果按照數(shù)形結(jié)合來理解，就是與，兩點確定公切線，兩切點連線的斜率就是公切線斜率，即將切點左移單位，再下移單位，這樣得到點，所以公切線斜率【例1】(2016?新課標II)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【例2】若直線與曲線和曲線同時相切，則（）A.B.C.D.考向二公切線方程中的隱形同構(gòu)兩曲線公共點公切線問題：當與切于同一點，設(shè)切點為，則有，單參數(shù)求定值，雙參數(shù)轉(zhuǎn)化為單參數(shù)后確定參數(shù)的取值范圍，這里面要看清楚同構(gòu).【例1】直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則的最大值是A． B． C． D．【例2】已知，，.若，圖象有公共點，且在該點處的切線重合，則的可能取值為（）A． B． C． D．考向三凹凸性數(shù)形幾何解讀公切線條數(shù)與是否有公切線，決定它們公切線條數(shù)的是函數(shù)凹凸性和相同的單調(diào)區(qū)間交點.凹凸性相同的兩曲線，在兩個曲線，時，兩個函數(shù)均為凹函數(shù)，且，時均在遞增區(qū)間，①如圖，若與無交點，可以類比于兩個圓的外公切線，當小圓內(nèi)含于大圓時，無公切線;②若與有唯一交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓內(nèi)切時，有唯一的外公切線;③若與有兩個交點時，如圖，可以類比于當小圓與大圓相交時，有兩條外公切線;內(nèi)含型無公切線內(nèi)切型有一條外公切線同旁相交型兩條外公切線同理，凹凸性不同的兩條曲線，在兩個曲線為凹函數(shù)，為凸函數(shù)時，且，，兩個函數(shù)均在遞增區(qū)間;④如圖，若與有兩個交點，可以類比圓的內(nèi)公切線，當兩圓相交時，無內(nèi)公切線;⑤若與有唯一交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓外切時，有唯一的內(nèi)公切線.⑥若與無交點時，如圖所示，可以類比于當兩圓相離時，有兩條內(nèi)公切線.非同旁相交型無公切線外切型有一條內(nèi)公切線外離型有兩條內(nèi)公切線【例1】已知直線與曲線和曲線均相切，則實數(shù)的解的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【例2】若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則的取值范圍為A． B． C． D．【例3】(多選)若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值可能是（）A.B.4C.D.考向四分段函數(shù)公切線條數(shù)問題【例1】（多選）關(guān)于曲線和的公切線，下列說法正確的有A．無論取何值，兩曲線都有公切線 B．若兩曲線恰有兩條公切線，則 C．若，則兩曲線只有一條公切線 D．若，則兩曲線有三條公切線【例2】若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，拓展1切線條數(shù)與拐點切線界定題型一數(shù)形結(jié)合凹凸性分析：我們可以參考圓的切線，對于圓上一點只能作一條切線，圓外一點能作兩條切線，圓內(nèi)一點不能作切線，所以對于一個凹凸性不改變的函數(shù)，即二階導(dǎo)沒有變號零點的函數(shù)，在“圓外”一點能作兩條切線如下左圖所示．【例1】（2021?新高考=1\*ROMANI）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．題型二三次函數(shù)切線條數(shù)一般地，如圖，過三次函數(shù)圖象的拐點（對稱中心或拐點）作切線,則坐標平面被切線和函數(shù)的圖象分割為四個區(qū)域，有以下結(jié)論：由于區(qū)域Ⅰ、IV屬于外弧區(qū)域，故過區(qū)域Ⅰ、IV內(nèi)的點作的切線，有3條；由于區(qū)域II、Ⅲ屬于內(nèi)弧區(qū)域，過區(qū)域II、Ⅲ內(nèi)的點或者對稱中心作的切線，有且僅有1條；過切線或函數(shù)圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有2條．【例1】（2022?多選?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個極值點 B．有三個零點 C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【例2】過點可作三條直線與曲線相切，則的取值范圍為A． B． C． D．【例3】若過點，可作曲線三條切線，則A． B． C．或 D．題型三含漸近線和拐點的函數(shù)切線界定（1）關(guān)于切線條數(shù)問題，由于，，當時，，此處為函數(shù)的拐點，易求拐點處切線方程為，當時，，我們把稱為此函數(shù)的漸近線，區(qū)別于三次函數(shù)只有拐點，故我們通過拐點切線和漸近線，將平面分為7個區(qū)域，我們可以對此類型題進行歸納總結(jié)，如下：當時，函數(shù)與拐點處切線以及軸（漸近線）將平面分成四個區(qū)域（如圖所示），分別由兩個外弧區(qū)域和兩個內(nèi)弧區(qū)域組成，=1\*GB3①區(qū)域1和區(qū)域4屬于雙外弧區(qū)域，位于此區(qū)域的點能作三條切線；②區(qū)域2和區(qū)域3屬于一內(nèi)弧一外弧區(qū)域，位于此區(qū)域的點能作一條切線；我們將拐點切線作為內(nèi)外弧分界點，區(qū)域2就是拐點右側(cè)曲線的內(nèi)弧區(qū)域，但是相對于曲線左側(cè)，則是外弧區(qū)域，所以只能往拐點左側(cè)區(qū)域作唯一一條切線，也是“遠切線”；同理，區(qū)域3是拐點左側(cè)曲線的內(nèi)弧區(qū)域，也是拐點右側(cè)曲線的外弧區(qū)域，所以過區(qū)域3的任意一點能作唯一一條切點位于拐點右側(cè)的“遠切線”；那么區(qū)域1和區(qū)域4就是拐點左右兩側(cè)的雙外弧區(qū)域，在本側(cè)能作兩條切點位于拐點同側(cè)的“近切線”，以及一條拐點另一側(cè)的“遠切線”．③過曲線上拐點處僅能作一條切線，過拐點以外的曲線上任意一點能作兩條切線；在曲線上任意一點能作一條切線，這可以理解為拐點同側(cè)外弧的兩條切線合二為一，類比于圓，圓上一點能作一條切線，就是圓外的兩條切線在這里合二為一，還有一條切線源自拐點另一處的“遠切線”．=4\*GB3④過拐點處切線上除了拐點以外的任意一點，僅能作兩條切線；拐點切線，就是一條“近切線”和一條“遠切線”合二為一，否則就會有三條切線．當時，函數(shù)與拐點處切線以及軸將平面分成三個區(qū)域（如圖所示），分別由兩個外弧區(qū)域和一個內(nèi)弧區(qū)域組成，由于不在漸近線內(nèi)側(cè)，故少了一條“遠切線”．=5\*GB3⑤區(qū)域5和區(qū)域7屬于雙外弧區(qū)域，位于此區(qū)域的點能作兩條切線，相比區(qū)域1和區(qū)域4，少了一條位于處的遠切線；=6\*GB3⑥區(qū)域6屬于一內(nèi)弧一外弧區(qū)域，由于唯一一條遠切線的缺失，故位于此區(qū)域的點不能作的切線；=7\*GB3⑦由于缺失了一條遠切線，故過曲線上任意一點僅能作一條切點在曲線上切線；=8\*GB3⑧過曲線與軸的交點僅能作唯一切線．【例1】（2022?新課標1卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是．【例2】已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的可能取值為A． B． C． D．1【例3】若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【例4】若過點（a，b）（a＞0）可以作曲線y＝xex的三條切線，則（）A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0 C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0【例5】（無拐點）過點作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【例6】若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，，，，則的取值范圍是A． B．，， C． D．，，拓展3雙參數(shù)問題處理技巧題型一零點比大小破解雙參比值問題1．恒成立，求的最值和取值范圍；2．恒成立，求的最值和取值范圍．如圖2-2-1所示，通常的方法是構(gòu)造函數(shù)，則時，從而達到解決此類型的目的，這種解答方法適合解答題，但此類型題目出現(xiàn)在選填壓軸題的幾率更大，常規(guī)思路由于計算量大，對一道客觀題來說沒必要，故需要采納一些高觀點低運算的方法，此類型可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，如圖2-2-2所示，通常是一個凹函數(shù)，如意味著與相切時即恒成立，是直線和軸的交點，記為，將的唯一零點求出，滿足即可．圖2-2-1圖2-2-2圖2-2-3圖2-2-4同理，在