考點(diǎn)06.分式方程（精講）【命題趨勢(shì)】分式方程考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握?！局R(shí)清單】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)。2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．3）增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根。由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解。2：分式方程的應(yīng)用（☆☆☆）1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題）；⑥答。2）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問(wèn)題，有工作量問(wèn)題、行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等。每個(gè)問(wèn)題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝，總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%等?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解。2.分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念。分式方程無(wú)解，需分類(lèi)討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無(wú)解?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.解分式方程例1：（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知是方程的解，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．4變式1．（2023上·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的分式方程的解為，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5例2：（2023·福建·統(tǒng)考一模）下列解分式方程的步驟中，錯(cuò)誤的是（

）A．找最簡(jiǎn)公分母：B．去分母：C．計(jì)算方程的根：D．驗(yàn)根：當(dāng)時(shí)，方程成立變式1．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）分式方程的解是（

）A． B． C．無(wú)解 D．變式2．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）解方程：．變式4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程過(guò)程如下：小?。航猓喝シ帜?，得去括號(hào)，得合并同類(lèi)項(xiàng)，得解得∴原方程的解是小迪：解：去分母，得去括號(hào)得合并同類(lèi)項(xiàng)得解得經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．例3：（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且變式1．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且變式2．（2023·山東·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的分式方程解的情況，下列說(shuō)法正確的是（

)．A．若，則此方程無(wú)解 B．若，則此方程無(wú)解C．若方程的解為負(fù)數(shù)，則 D．若，則方程的解為正數(shù)例4：（2023·廣東廣州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0變式1．（2023上·河南安陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤舴质椒匠逃性龈瑒tm的值為（）A．1 B． C．2 D．例5：（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4變式1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）“若關(guān)于的方程無(wú)解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說(shuō)法正確的是（

）A．尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B．尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C．兩人都錯(cuò)D．兩人的答案合起來(lái)才對(duì)例6：（2023·重慶渝中·校考一模）若關(guān)于的不等式組無(wú)解，且關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．10 B．12 C．16 D．14變式1．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)___________．變式2．（2023·廣西九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且關(guān)于x的方程的解為整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和是_____．核心考點(diǎn)2.分式方程的應(yīng)用例7：（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長(zhǎng)度為36米的橋梁進(jìn)行重新改造．為了盡快通車(chē)，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米?變式1．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生到黃河岸邊開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng)．已知初一植樹(shù)棵與初二植樹(shù)棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級(jí)平均每小時(shí)共植樹(shù)棵．求初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹(shù)多少棵？設(shè)初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹(shù)棵，則下面所列方程中正確的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）某工程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的綠化工程，由于情況有變，…．設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬(wàn)平方米，列方程為，根據(jù)方程可知省略的部分是（）A．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)B．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)C．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)D．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)變式3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）某村要修建一條長(zhǎng)為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊(duì)前來(lái)應(yīng)聘，村委會(huì)派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊(duì)的情況，獲得如下信息．信息一：甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天；信息二：乙隊(duì)每天施工的數(shù)量是甲隊(duì)每天施工的數(shù)量的倍．(1)根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別修多少米道路？(2)村委會(huì)將工程交給乙隊(duì)，要求25天內(nèi)完成．幾天后因乙隊(duì)接到搶險(xiǎn)任務(wù)，經(jīng)村委會(huì)同意，就將余下工程交給甲隊(duì)．那么在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工多少天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成？例8：（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區(qū)門(mén)口同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線去離該小區(qū)米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)節(jié)能環(huán)保，綠色出行的號(hào)召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的速度的倍，結(jié)果珂銘比小雪早6分鐘到達(dá)．(1)求小雪的速度；(2)活動(dòng)結(jié)束后返回，珂銘與小雪的速度均與原來(lái)相同，若小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區(qū)，則小雪至少要比珂銘提前多長(zhǎng)時(shí)間出發(fā)？變式1．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校九年級(jí)師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車(chē)先走，過(guò)了后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)；已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)師生速度的2倍，設(shè)騎車(chē)師生的速度為.根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考三模）小明和小麗約定周末在學(xué)校門(mén)口集合，乘大巴車(chē)一起去本溪水洞游玩，但由于小明有事，在小麗出發(fā)半小時(shí)后小明才到達(dá)校門(mén)口，然后小明立即乘出租車(chē)追趕，已知出租車(chē)的速度是大巴車(chē)的倍，追趕上大巴車(chē)后繼續(xù)前行，結(jié)果比小麗提前到達(dá)本溪水洞，已知學(xué)校到本溪水洞的距離為，設(shè)大巴車(chē)的速度為，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛(ài)好者張老師騎自行車(chē)先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，求張老師騎車(chē)的速度．例9：（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買(mǎi)筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．(1)若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買(mǎi)，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本與用195元購(gòu)買(mǎi)軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．(2)若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買(mǎi)本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．變式1.（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）“五一”期間，我市某商場(chǎng)舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)消費(fèi)滿(mǎn)一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：根據(jù)促銷(xiāo)方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可獲得雙重優(yōu)惠．例如，購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)為450元的商品，則消費(fèi)金額為（元），獲得優(yōu)惠額為：（元）．設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品的優(yōu)惠率．試問(wèn)：消費(fèi)金額p（元）的范圍…獲得獎(jiǎng)券金額（元）3060100130…(1)購(gòu)買(mǎi)一件標(biāo)價(jià)為800元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？(2)若一顧客購(gòu)買(mǎi)了一套西裝，得到的優(yōu)惠率為，已知該套西裝的標(biāo)價(jià)高于700元，低于850元，該套西裝的標(biāo)價(jià)是多少元？變式2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．(1)求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少?lài)崳?2)每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿(mǎn)足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢(qián)的采購(gòu)方案．考點(diǎn)06.分式方程（精講）【命題趨勢(shì)】分式方程考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握?！局R(shí)清單】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)。2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．3）增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根。由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解。2：分式方程的應(yīng)用（☆☆☆）1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題）；⑥答。2）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問(wèn)題，有工作量問(wèn)題、行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等。每個(gè)問(wèn)題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝，總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%等?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解。2.分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念。分式方程無(wú)解，需分類(lèi)討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無(wú)解?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.解分式方程例1：（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知是方程的解，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】將代入方程，即可求解．【詳解】解：將代入方程，得解得：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將代入原方程中得到關(guān)于的方程．變式1．（2023上·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可．【詳解】解：A，B，D選項(xiàng)中的方程，分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故不符合題意；C選項(xiàng)方程中的分母中含未知數(shù)，是分式方程，故符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的分式方程的解為，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】解分式方程，根據(jù)方程的解為，即可求解．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以得：，解得，且，方程的解為，，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．例2：（2023·福建·統(tǒng)考一模）下列解分式方程的步驟中，錯(cuò)誤的是（

）A．找最簡(jiǎn)公分母：B．去分母：C．計(jì)算方程的根：D．驗(yàn)根：當(dāng)時(shí)，方程成立【答案】D【分析】由解分式方程的步驟即可選擇．【詳解】該分式方程的最簡(jiǎn)公分母是，故A正確，不符合題意．分式兩邊同時(shí)乘以，得：，故B正確，不符合題意．由B選項(xiàng)即可得出，故C正確，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，故該分式方程無(wú)解．故D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）分式方程的解是（

）A． B． C．無(wú)解 D．【答案】C【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)合并，得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，即是原分式方程的增根，∴原分式方程解．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟．變式2．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則原方程可變形為，再化為整式方程即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則原方程可變形為，即；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關(guān)鍵，注意最后要化為整式方程.變式3．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】解：原方程可化為．方程兩邊同乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．∴原方程的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．變式4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程過(guò)程如下：小?。航猓喝シ帜福萌ダㄌ?hào)，得合并同類(lèi)項(xiàng)，得解得∴原方程的解是小迪：解：去分母，得去括號(hào)得合并同類(lèi)項(xiàng)得解得經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【答案】都錯(cuò)誤，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；解：去分母，得，去括號(hào)，得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．例3：（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0∴，∴，且故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．變式1．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】解分式方程求出，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，且，∴且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·山東·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的分式方程解的情況，下列說(shuō)法正確的是（

)．A．若，則此方程無(wú)解 B．若，則此方程無(wú)解C．若方程的解為負(fù)數(shù)，則 D．若，則方程的解為正數(shù)【答案】BC【分析】先按照一般步驟解方程，用含有a的代數(shù)式表示x，然后根據(jù)x的取值討論a的范圍，即可作出判斷．【詳解】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，原分式方程為，解得：x=2，當(dāng)x=2時(shí)，x-1≠0，∴原分式方程的解為x=2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，去分母得：，當(dāng)a=1時(shí)，該方程無(wú)解，∴原分式方程無(wú)解；當(dāng)a=-1時(shí)，原分式方程為，解得：x=1，當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，∴x=1是增根，原分式方程無(wú)解；∴若，則此方程無(wú)解，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、，去分母得：，解得：，∵方程的解為負(fù)數(shù)，∴x＜0且x-1≠0，∴且，解得：，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、若方程的解為正數(shù)，∴，且，解得：且a≠-1，∴當(dāng)且a≠-1時(shí)，方程的解為正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：BC【點(diǎn)睛】考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．例4：（2023·廣東廣州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，原方程有增根，最簡(jiǎn)公分母，解得：，當(dāng)時(shí)，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．變式1．（2023上·河南安陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤舴质椒匠逃性龈瑒tm的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先化分式方程為整式方程，令分母，代入整式方程計(jì)算m的值．【詳解】因?yàn)椋シ帜傅茫?，解得：因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，所以，即：是方程增根，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程中關(guān)于增根的解題方法．例5：（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，m的值為0或4；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）“若關(guān)于的方程無(wú)解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說(shuō)法正確的是（

）A．尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B．尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C．兩人都錯(cuò)D．兩人的答案合起來(lái)才對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解，②解出的解是增根，兩類(lèi)討論即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，去分母可得，，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，∵方程無(wú)解，即是方程的增根，可得：，解得：，∴，解得：，故選D；【點(diǎn)睛】本題考查分式方程無(wú)解的情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解，②解出的解是增根．例6：（2023·重慶渝中·?？家荒＃┤絷P(guān)于的不等式組無(wú)解，且關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無(wú)解可求得的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據(jù)解為整數(shù)，且，即可求得滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)的值．【詳解】解不等式，得．解不等式，得．因?yàn)殛P(guān)于的不等式組無(wú)解，可得．解得．解關(guān)于的分式方程，得．∵為整數(shù)，，,∴或或．∴滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)的和．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)___________．【答案】【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類(lèi)項(xiàng)，化簡(jiǎn)、用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值．【詳解】解：，整理得：若分式方程的解為整數(shù)，為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：成立；當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒(méi)有意義，故舍去；綜上:，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)分式方程，最終用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn)．變式2．（2023·廣西九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且關(guān)于x的方程的解為整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和是_____．【答案】2【分析】關(guān)于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a＜且a≠-1，再解分式方程得到，接著利用分式方程的解為整數(shù)得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后確定滿(mǎn)足條件的a的值，從而得到滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和．【詳解】∵關(guān)于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．把關(guān)于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，∵(a≠﹣3)為整數(shù)，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值為0，2，∴滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和是2．故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．核心考點(diǎn)2.分式方程的應(yīng)用例7：（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長(zhǎng)度為36米的橋梁進(jìn)行重新改造．為了盡快通車(chē)，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米?【答案】施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．【分析】設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)得：，解方程并檢驗(yàn)可得答案．【詳解】解：設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造米，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，答：施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程．變式1．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生到黃河岸邊開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng)．已知初一植樹(shù)棵與初二植樹(shù)棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級(jí)平均每小時(shí)共植樹(shù)棵．求初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹(shù)多少棵？設(shè)初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹(shù)棵，則下面所列方程中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)初一植樹(shù)棵與初二植樹(shù)棵所用的時(shí)間相同列式求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，故選：D；【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解決應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．變式2．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）某工程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的綠化工程，由于情況有變，…．設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬(wàn)平方米，列方程為，根據(jù)方程可知省略的部分是（）A．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)B．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)C．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)D．實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)【答案】C【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)給定的分式方程，找出省略的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率結(jié)合所列分式方程，即可找出省略的條件，此題得解．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬(wàn)平方米，∵所列分式方程為，∴為實(shí)際工作時(shí)間，為原計(jì)劃工作時(shí)間，∴省略條件：實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)．故選：C．變式3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）某村要修建一條長(zhǎng)為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊(duì)前來(lái)應(yīng)聘，村委會(huì)派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊(duì)的情況，獲得如下信息．信息一：甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天；信息二：乙隊(duì)每天施工的數(shù)量是甲隊(duì)每天施工的數(shù)量的倍．(1)根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別修多少米道路？(2)村委會(huì)將工程交給乙隊(duì)，要求25天內(nèi)完成．幾天后因乙隊(duì)接到搶險(xiǎn)任務(wù)，經(jīng)村委會(huì)同意，就將余下工程交給甲隊(duì)．那么在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工多少天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成？【答案】(1)甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；(2)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成．【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修米道路，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出甲施工隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度，再將其代入中，即可求出乙施工隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，根據(jù)要求25天內(nèi)完成修路任務(wù)，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修米道路，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，根據(jù)題意得：，解得：，∴y的最小值為10．答：在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．例8：（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區(qū)門(mén)口同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線去離該小區(qū)米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)節(jié)能環(huán)保，綠色出行的號(hào)召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的速度的倍，結(jié)果珂銘比小雪早6分鐘到達(dá)．(1)求小雪的速度；(2)活動(dòng)結(jié)束后返回，珂銘與小雪的速度均與原來(lái)相同，若小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區(qū)，則小雪至少要比珂銘提前多長(zhǎng)時(shí)間出發(fā)？【答案】(1)小雪的速度是米/分鐘(2)小雪至少要比珂銘提前出發(fā)12分鐘【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；（1）設(shè)小雪的速度是米/分鐘，則珂銘速度是米/分鐘，根據(jù)“珂銘比小雪早6分鐘到達(dá)”列出方程，解方程并檢驗(yàn)后即可得到答案；（2）求出珂銘與小雪全程所用的時(shí)間，根據(jù)“小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區(qū)”列出不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)小雪的速度是米/分鐘，則珂銘速度是米/分鐘，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，答：小雪的速度是米/分鐘．（2）由（1）可知，珂銘速度是（米/分鐘），珂銘全程用的時(shí)間是（分鐘），小雪全程用的時(shí)間是（分鐘），設(shè)小雪比珂銘提前a分鐘出發(fā)，根據(jù)題意得，，解得，答：小雪至少要比珂銘提前出發(fā)分鐘．變式1．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校九年級(jí)師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車(chē)先走，過(guò)了后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)；已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)師生速度的2倍，設(shè)騎車(chē)師生的速度為.根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．變式2．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考三模）小明和小麗約定周末在學(xué)校門(mén)口集合，乘大巴車(chē)一起去本溪水洞游玩，但由于小明有事，在小麗出發(fā)半小時(shí)后小明才到達(dá)校門(mén)口，然后小明立即乘出租車(chē)追趕，已知出租車(chē)的速度是大巴車(chē)的倍，追趕上大巴車(chē)后繼續(xù)前行，結(jié)果比小麗提前到達(dá)本溪水洞，已知學(xué)校到本溪水洞的距離為，設(shè)大巴車(chē)的速度為，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)大巴車(chē)的速度為，則出租車(chē)的速度是，根據(jù)所用的時(shí)間，即可列出分式方程．【詳解】解：設(shè)大巴車(chē)的速度為，則出租車(chē)的速度是，根據(jù)題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并依據(jù)相等關(guān)系列出方程．變式3．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛(ài)好者張老師騎自行車(chē)先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，求張老師騎車(chē)的速度．【答案】張老師騎車(chē)的速度為千米/小時(shí)【分析】實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟“設(shè)、列、解、答”，根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，找到題中等量關(guān)系張老師先走2小時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)張老師騎車(chē)的速度為千米/小時(shí)，則汽車(chē)速度是千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，答：張老師騎車(chē)的速度為千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例9：（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買(mǎi)筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．(1)若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買(mǎi)，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本與用195元購(gòu)買(mǎi)軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．(2)若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買(mǎi)硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買(mǎi)本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．【答案】(1)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；(2)乙商店硬面筆記本的原價(jià)18元【分析】（1）根據(jù)“硬面筆記本數(shù)量=軟面筆記本數(shù)量”列出分式方程，求解檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為a元，則軟面筆記本的單價(jià)為元，由再多購(gòu)買(mǎi)5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用相同可得，再根據(jù)且m，均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)硬面筆記本的單價(jià)為x元，則軟面筆記本的單價(jià)為元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，