基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取方法：理論、算法與實踐一、引言1.1研究背景與意義在當今數字化時代，彩色圖像作為承載和傳遞信息的重要媒介，廣泛應用于計算機視覺、醫(yī)學成像、遙感探測、工業(yè)檢測、安防監(jiān)控等眾多領域。在計算機視覺領域，彩色圖像用于目標識別、圖像分類和場景理解等任務，為自動駕駛、智能機器人等技術的發(fā)展提供關鍵支持。在醫(yī)學成像中，彩色圖像幫助醫(yī)生更直觀地觀察人體組織和器官的形態(tài)與病變情況，輔助疾病診斷和治療方案的制定。在遙感探測領域，彩色圖像能夠呈現豐富的地表信息，用于資源勘探、環(huán)境監(jiān)測和城市規(guī)劃等。在工業(yè)檢測中，彩色圖像可用于產品質量檢測，識別產品表面的缺陷和瑕疵。在安防監(jiān)控領域，彩色圖像有助于識別嫌疑人、監(jiān)控異常行為，保障社會安全。然而，在圖像的獲取、傳輸和存儲過程中，常常不可避免地受到各種噪聲的干擾，導致圖像質量下降，細節(jié)模糊，特征信息丟失。噪聲的存在不僅影響圖像的視覺效果，還會對后續(xù)的圖像分析和處理任務，如目標識別、圖像分割、圖像配準等造成嚴重的阻礙，降低這些任務的準確性和可靠性。例如在醫(yī)學圖像中，噪聲可能使醫(yī)生誤判病變區(qū)域；在安防監(jiān)控中，噪聲可能導致對嫌疑人特征的誤識別。此外，邊緣作為圖像中物體形狀和結構的重要特征，包含了圖像的關鍵信息，對于圖像的理解和分析至關重要。準確提取圖像的邊緣，能夠為圖像分割、目標識別、形狀分析等后續(xù)處理提供基礎和依據。因此，彩色圖像的降噪和邊緣提取成為了計算機視覺和圖像處理領域中至關重要的研究課題，對于提高圖像質量、增強圖像信息的有效利用具有重要意義。傳統(tǒng)的彩色圖像降噪和邊緣提取方法大多基于向量或矩陣計算，在處理彩色圖像時存在一定的局限性。這些方法通常將彩色圖像的各個顏色通道分開處理，忽略了顏色通道之間的相關性和整體性，導致在處理過程中容易丟失顏色信息，無法充分利用彩色圖像的豐富信息。而且在面對復雜噪聲和多變的圖像場景時，傳統(tǒng)方法的適應性和魯棒性較差，難以取得理想的處理效果。例如，在處理含有復雜紋理和多種噪聲的圖像時，傳統(tǒng)方法可能會過度平滑圖像，導致邊緣細節(jié)丟失，或者無法有效去除噪聲，使圖像仍存在明顯的噪聲干擾。四元數作為一種擴展的復數，由一個實部和三個虛部組成，能夠同時描述顏色的亮度、色調和飽和度等信息，為彩色圖像處理提供了一種全新的視角和方法。四元數的獨特數學性質使其在處理彩色圖像時具有諸多優(yōu)勢。四元數可以將彩色圖像的三個顏色通道（如紅、綠、藍）統(tǒng)一在一個數學框架下進行處理，充分考慮了顏色通道之間的內在聯系，避免了顏色信息的丟失。四元數具有較強的抗干擾能力和旋轉不變性，能夠更好地適應復雜的圖像環(huán)境和噪聲干擾，在降噪和邊緣提取過程中保持圖像的結構和特征信息。例如，在處理旋轉后的彩色圖像時，基于四元數的方法能夠更準確地提取邊緣，而傳統(tǒng)方法可能會因為圖像旋轉而導致邊緣提取不準確。此外，四元數在描述三維空間中的旋轉和變換方面具有簡潔性和高效性，這使得它在處理涉及圖像旋轉、縮放等變換的場景時具有明顯的優(yōu)勢?；谒脑獢档牟噬珗D像降噪與邊緣提取方法研究具有重要的理論意義和實際應用價值。從理論層面來看，探索四元數在彩色圖像處理中的應用，有助于豐富和完善圖像處理的理論體系，為圖像處理領域提供新的理論基礎和方法支撐。通過深入研究四元數與彩色圖像之間的內在聯系，揭示四元數在處理彩色圖像時的優(yōu)勢和潛在機制，能夠拓展四元數計算的應用范圍，推動相關數學理論的發(fā)展和應用。在實際應用中，該研究有望解決傳統(tǒng)彩色圖像處理方法存在的問題，提高彩色圖像的處理質量和效率，為計算機視覺、醫(yī)學成像、遙感探測、工業(yè)檢測、安防監(jiān)控等眾多領域提供更加準確、可靠的圖像處理技術支持。例如，在醫(yī)學成像中，基于四元數的方法可以更清晰地顯示病變區(qū)域的邊緣和細節(jié)，輔助醫(yī)生做出更準確的診斷；在工業(yè)檢測中，能夠更精準地識別產品表面的微小缺陷，提高產品質量檢測的精度和效率。1.2國內外研究現狀隨著彩色圖像在各個領域的廣泛應用，彩色圖像的降噪和邊緣提取技術一直是圖像處理領域的研究熱點。近年來，基于四元數的彩色圖像處理方法逐漸受到關注，國內外學者在這一領域開展了一系列研究工作。在國外，一些學者率先將四元數引入彩色圖像處理領域，并取得了一定的成果。文獻[文獻1]提出了一種基于四元數傅里葉變換的彩色圖像降噪算法，利用四元數傅里葉變換將彩色圖像從空間域轉換到頻率域，通過對頻率域系數的處理來抑制噪聲，實驗結果表明該算法在一定程度上能夠有效去除噪聲，同時保持圖像的顏色信息。文獻[文獻2]研究了基于四元數的非局部均值濾波算法在彩色圖像降噪中的應用，通過引入運動自適應權重，改進了傳統(tǒng)非局部均值濾波算法在處理彩色圖像時的局限性，提高了降噪效果和圖像的細節(jié)保持能力。在邊緣提取方面，文獻[文獻3]提出了一種基于四元數梯度算子的彩色圖像邊緣檢測方法，該方法利用四元數的數學特性定義了梯度算子，能夠更準確地檢測出彩色圖像的邊緣，并且對噪聲具有一定的魯棒性。國內學者也在基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取方面進行了深入研究。文獻[文獻4]提出了一種結合四元數和小波變換的彩色圖像降噪算法，先對彩色圖像進行四元數表示，然后利用小波變換的多分辨率分析特性對四元數圖像進行分解，在小波域中對噪聲系數進行處理，最后通過逆小波變換和四元數逆變換得到降噪后的圖像，該算法在降噪的同時能夠較好地保留圖像的高頻細節(jié)信息。文獻[文獻5]研究了基于四元數拉普拉斯算子的彩色圖像邊緣提取算法，通過對四元數拉普拉斯算子的設計和應用，實現了對彩色圖像邊緣的有效提取，并且與傳統(tǒng)邊緣提取算法相比，該算法在邊緣的連續(xù)性和準確性方面有了明顯的提升。盡管國內外學者在基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取方面取得了不少成果，但仍存在一些研究空白與不足。目前大多數基于四元數的算法在處理復雜噪聲（如混合噪聲）時的性能還有待提高，對于不同類型噪聲的適應性不夠強，難以滿足實際應用中復雜多變的噪聲環(huán)境需求。一些算法在降噪過程中雖然能夠較好地去除噪聲，但會導致圖像的邊緣細節(jié)部分丟失，影響后續(xù)對圖像的分析和理解；而在邊緣提取算法中，對于弱邊緣和細微邊緣的提取效果還不夠理想，容易出現邊緣斷裂和漏檢的情況。此外，基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法的計算復雜度普遍較高，這在一定程度上限制了其在實時性要求較高的應用場景中的應用，如何在保證算法性能的前提下降低計算復雜度，提高算法的執(zhí)行效率，也是當前研究需要解決的重要問題。同時，目前對于基于四元數的彩色圖像處理算法的理論研究還不夠深入，缺乏系統(tǒng)的理論分析和性能評估體系，難以全面準確地評價算法的優(yōu)劣和適用范圍。1.3研究目標與內容本研究旨在深入探索基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取方法，以解決傳統(tǒng)方法在處理彩色圖像時存在的局限性，提高彩色圖像的處理質量和效率，為相關領域的應用提供更有效的技術支持。具體研究目標和內容如下：研究目標：提出一種高效的基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法，該算法能夠在有效去除噪聲的同時，準確地提取彩色圖像的邊緣信息，最大程度地保留圖像的細節(jié)和特征，提高圖像的視覺質量和信息完整性。對所提出的算法進行性能評估和對比分析，與傳統(tǒng)的彩色圖像降噪和邊緣提取算法進行比較，驗證基于四元數的算法在處理彩色圖像時的優(yōu)越性和有效性，明確其在不同應用場景下的適用范圍和優(yōu)勢，為實際應用提供參考依據。研究內容：四元數理論基礎研究：深入研究四元數的基本概念、數學性質、運算規(guī)則以及在彩色圖像處理中的應用原理。詳細分析四元數如何表示彩色圖像的像素信息，以及四元數運算如何實現對彩色圖像的處理操作，為后續(xù)算法的設計和實現奠定堅實的理論基礎。例如，研究四元數的模長、共軛等性質在彩色圖像降噪和邊緣提取中的作用，探索四元數乘法的非交換性對圖像處理效果的影響?；谒脑獢档牟噬珗D像降噪算法設計與實現：根據四元數的特性和彩色圖像的噪聲特點，設計基于四元數的降噪算法。可以考慮將傳統(tǒng)的降噪算法（如中值濾波、高斯濾波等）與四元數相結合，利用四元數的顏色空間特性對濾波算法進行改進，以提高降噪效果和速度。在實現過程中，需要對算法進行優(yōu)化，減少計算量，提高算法的執(zhí)行效率，使其能夠滿足實際應用的需求?；谒脑獢档牟噬珗D像邊緣提取算法設計與實現：基于四元數的數學特性，設計彩色圖像邊緣檢測和提取算法。通過定義合適的四元數梯度算子和拉普拉斯算子等，實現對彩色圖像邊緣的準確檢測和提取。同時，研究如何在邊緣提取過程中增強弱邊緣和細微邊緣的提取效果，提高邊緣的連續(xù)性和準確性，避免邊緣斷裂和漏檢等問題。算法性能評估與結果分析：選取多組具有代表性的彩色圖像，包括不同場景、不同噪聲類型和強度的圖像，對基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法進行實驗驗證。采用客觀評價指標（如峰值信噪比、結構相似性指數等）和主觀視覺評價相結合的方式，對算法的性能進行全面評估。將實驗結果與傳統(tǒng)算法進行對比分析，深入研究基于四元數的算法在降噪和邊緣提取方面的優(yōu)勢和不足，為算法的進一步改進和優(yōu)化提供方向。1.4研究方法與創(chuàng)新點研究方法：理論研究法：全面深入地研究四元數的理論知識，包括四元數的基本概念、數學性質、運算規(guī)則等，剖析其在彩色圖像處理中的應用原理，明確四元數與彩色圖像像素信息表示以及圖像處理操作之間的內在聯系，為后續(xù)算法設計提供堅實的理論根基。通過查閱大量的學術文獻、專業(yè)書籍，梳理四元數理論的發(fā)展脈絡和研究現狀，掌握其在圖像處理領域的前沿研究成果和應用趨勢，從而為基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法的研究提供理論指導。例如，深入研究四元數的共軛、模長等性質在彩色圖像去噪和邊緣檢測中的作用機制，探索四元數乘法的非交換性對彩色圖像處理結果的影響。算法設計法：依據四元數的特性和彩色圖像的噪聲、邊緣特征，設計基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法。在降噪算法設計方面，將傳統(tǒng)的降噪算法（如中值濾波、高斯濾波等）與四元數相結合，利用四元數的顏色空間特性對濾波算法進行改進，以提高降噪效果和速度。在邊緣提取算法設計方面，基于四元數的數學特性，定義合適的四元數梯度算子和拉普拉斯算子等，實現對彩色圖像邊緣的準確檢測和提取。同時，在算法設計過程中，充分考慮算法的計算復雜度、適應性和魯棒性等因素，對算法進行優(yōu)化，以提高算法的性能和實用性。實驗驗證法：選取多組具有代表性的彩色圖像，涵蓋不同場景（如自然風光、人物肖像、工業(yè)場景等）、不同噪聲類型（如高斯噪聲、椒鹽噪聲、泊松噪聲等）和強度的圖像，對基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法進行實驗驗證。采用客觀評價指標（如峰值信噪比（PSNR）、結構相似性指數（SSIM）、均方誤差（MSE）等）和主觀視覺評價相結合的方式，對算法的性能進行全面評估。客觀評價指標能夠從量化的角度準確地衡量算法的降噪效果和邊緣提取質量，而主觀視覺評價則通過人眼觀察圖像的視覺效果，對算法處理后的圖像進行直觀評價，兩者相互補充，能夠更全面、準確地評估算法的性能。將實驗結果與傳統(tǒng)算法進行對比分析，深入研究基于四元數的算法在降噪和邊緣提取方面的優(yōu)勢和不足，為算法的進一步改進和優(yōu)化提供方向。創(chuàng)新點：算法改進創(chuàng)新：提出了一種全新的基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法，該算法在傳統(tǒng)算法的基礎上，充分利用四元數能夠統(tǒng)一處理彩色圖像多個顏色通道信息的優(yōu)勢，改進了濾波和邊緣檢測的方式。在降噪算法中，通過結合四元數的顏色空間特性和自適應權重機制，使算法能夠根據圖像的局部特征自動調整濾波參數，更有效地去除噪聲，同時更好地保留圖像的細節(jié)和紋理信息，解決了傳統(tǒng)算法在降噪過程中容易丟失細節(jié)的問題。在邊緣提取算法中，通過設計新的四元數梯度算子和拉普拉斯算子，增強了對弱邊緣和細微邊緣的提取能力，提高了邊緣的連續(xù)性和準確性，減少了邊緣斷裂和漏檢的情況，與傳統(tǒng)邊緣提取算法相比，具有更好的邊緣提取效果。性能評估創(chuàng)新：在算法性能評估方面，采用了多維度、綜合性的評估方式。不僅使用了常見的客觀評價指標（如PSNR、SSIM、MSE等）來量化評估算法在降噪和邊緣提取方面的性能，還引入了新的評價指標，如邊緣定位誤差、邊緣強度一致性等，從不同角度對邊緣提取的質量進行評估。同時，結合主觀視覺評價，邀請專業(yè)人員和普通觀察者對算法處理后的圖像進行打分和評價，充分考慮了人眼對圖像質量的感知因素。通過這種多維度的性能評估方式，能夠更全面、準確地評價基于四元數的彩色圖像降噪與邊緣提取算法的性能，為算法的優(yōu)化和改進提供更有力的依據，也為該領域的算法評估提供了新的思路和方法。二、四元數與彩色圖像處理基礎2.1四元數的基本理論四元數由愛爾蘭數學家威廉?羅恩?哈密頓（WilliamRowanHamilton）于1843年提出，它是對復數的一種擴展，在復數的基礎上引入了兩個新的虛數單位j和k，能夠描述更為復雜的數學和物理現象。一個四元數q通常表示為q=s+xi+yj+zk，其中s,x,y,z均為實數，i,j,k為虛數單位，且滿足以下運算規(guī)則：\begin{align*}i^2=j^2=k^2&=-1\\ij=k,ji&=-k\\jk=i,kj&=-i\\ki=j,ik&=-j\end{align*}四元數的加法運算如同向量加法，對應分量相加。設q_1=s_1+x_1i+y_1j+z_1k，q_2=s_2+x_2i+y_2j+z_2k，則q_1+q_2=(s_1+s_2)+(x_1+x_2)i+(y_1+y_2)j+(z_1+z_2)k。減法運算與之類似，對應分量相減。四元數的乘法運算則相對復雜，不滿足交換律，這是四元數區(qū)別于復數和實數乘法的重要特性。對于上述q_1和q_2，其乘法運算結果為：\begin{align*}q_1q_2=&(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)+(s_1x_2+s_2x_1+y_1z_2-y_2z_1)i\\&+(s_1y_2+s_2y_1+x_2z_1-x_1z_2)j+(s_1z_2+s_2z_1+x_1y_2-x_2y_1)k\end{align*}例如，當q_1=1+2i+3j+4k，q_2=5+6i+7j+8k時，按照上述乘法規(guī)則計算q_1q_2，首先計算實部：1??5-2??6-3??7-4??8=5-12-21-32=-60；接著計算i分量：1??6+5??2+3??8-4??7=6+10+24-28=12；然后計算j分量：1??7+5??3+6??4-2??8=7+15+24-16=30；最后計算k分量：1??8+5??4+2??7-3??6=8+20+14-18=24，所以q_1q_2=-60+12i+30j+24k。若計算q_2q_1，按照乘法規(guī)則重新計算各分量，會得到與q_1q_2不同的結果，這清晰地體現了四元數乘法的非交換性。這種非交換性在彩色圖像處理中具有重要作用，它使得四元數能夠以獨特的方式處理顏色信息，捕捉顏色之間的復雜關系。四元數的共軛定義為q^*=s-xi-yj-zk，即將虛部的符號取反。四元數的模長（范數）定義為\vertq\vert=\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}，它表示四元數的大小，類似于向量的模長。對于單位四元數，其模長為1，即s^2+x^2+y^2+z^2=1。單位四元數在表示旋轉和方向時具有重要應用，在彩色圖像處理中，也可用于一些特定的變換和操作，保持圖像的某些特性不變。例如在圖像的旋轉操作中，利用單位四元數可以準確地描述圖像的旋轉角度和方向，并且在旋轉過程中不會改變圖像的顏色信息的相對關系，從而保證圖像的質量和特征不受影響。2.2彩色圖像的表示與特征彩色圖像可以在多種顏色空間中進行表示，不同的顏色空間具有各自獨特的特點和應用場景，其中RGB和HSV是兩種較為常見且重要的顏色空間。RGB顏色空間是最基礎且廣泛應用的顏色空間之一，它基于三基色原理，通過紅色（Red）、綠色（Green）和藍色（Blue）三個顏色通道的不同強度組合來表示各種顏色。在RGB顏色空間中，每個顏色通道的取值范圍通常是0-255（8位表示），0表示該顏色分量的強度為0，即沒有該顏色，255表示該顏色分量的強度達到最大值。例如，當三個通道的值都為0時，即(0,0,0)，表示黑色；當三個通道的值都為255時，即(255,255,255)，表示白色；當紅色通道值為255，綠色和藍色通道值為0時，即(255,0,0)，表示紅色。在實際應用中，RGB顏色空間常用于圖像的顯示、存儲以及大多數圖像采集設備（如數碼相機、攝像頭等）的原始數據輸出。因為計算機顯示器的工作原理就是通過控制紅、綠、藍三種顏色的熒光粉發(fā)光強度來混合出各種顏色，所以RGB顏色空間與顯示設備的兼容性非常好，能夠直觀地反映出圖像在顯示器上的顯示效果。然而，RGB顏色空間也存在一些局限性。RGB顏色空間是基于物理設備的顏色表示方法，它的顏色分量之間存在較強的相關性，對人眼視覺感知的描述不夠直觀。在RGB顏色空間中，顏色的變化不僅僅取決于某個單一通道的改變，而是三個通道共同作用的結果，這使得在一些需要根據人眼視覺特性進行圖像處理的任務中，如顏色分割、目標識別等，使用RGB顏色空間可能會面臨一定的困難。例如，在進行膚色檢測時，由于不同個體的膚色在RGB顏色空間中的分布較為分散，很難通過簡單的閾值分割來準確地提取膚色區(qū)域。HSV顏色空間則是一種基于人眼視覺特性的顏色空間，它將顏色表示為色調（Hue）、飽和度（Saturation）和明度（Value）三個參數。色調（H）代表顏色的種類，如紅色、綠色、藍色等，取值范圍通常是0-360°，0°對應紅色，120°對應綠色，240°對應藍色，通過不同的角度來表示不同的色調。飽和度（S）表示顏色的純度或鮮艷程度，取值范圍一般是0-1，0表示灰色，1表示顏色最鮮艷。明度（V）反映顏色的明亮程度，取值范圍也是0-1，0表示黑色，1表示白色。例如，對于紅色，當飽和度和明度都為1時，是鮮艷的大紅色；當飽和度降低，明度不變時，顏色會逐漸變得暗淡，如變?yōu)榘导t色；當明度降低，飽和度不變時，顏色會逐漸變黑。HSV顏色空間的優(yōu)勢在于它能夠更直觀地反映人眼對顏色的感知。在許多圖像處理任務中，HSV顏色空間具有更好的適應性。在圖像分割任務中，如果要分割出圖像中的紅色物體，由于紅色在HSV顏色空間中的色調范圍相對固定，通過設置合適的色調閾值，就可以很容易地將紅色物體從背景中分割出來。在目標識別中，利用HSV顏色空間可以更準確地提取目標物體的顏色特征，提高識別的準確率。然而，HSV顏色空間在計算上相對復雜一些，從RGB顏色空間轉換到HSV顏色空間需要進行一定的數學運算。并且，HSV顏色空間也存在一些缺點，比如在不同的飽和度和明度下，人眼對色調的感知可能會有所不同，這使得在某些情況下，基于HSV顏色空間的圖像處理結果可能與人眼的直觀感受不完全一致。2.3彩色圖像降噪與邊緣提取的意義彩色圖像在眾多領域中發(fā)揮著關鍵作用，而圖像降噪和邊緣提取作為圖像處理的重要環(huán)節(jié)，具有極其重要的意義。在圖像質量提升方面，噪聲會嚴重影響圖像的視覺效果和信息表達。在醫(yī)學影像中，如X光、CT和MRI圖像，噪聲的存在可能會掩蓋病變區(qū)域的細微特征，導致醫(yī)生難以準確判斷病情，甚至可能引發(fā)誤診。在衛(wèi)星遙感圖像中，噪聲會干擾對地面目標的識別和分析，影響對資源分布、環(huán)境變化等信息的獲取。通過有效的降噪處理，可以顯著提高圖像的清晰度和信噪比，增強圖像的視覺質量，使圖像中的細節(jié)和特征更加清晰可辨，為后續(xù)的圖像分析和應用提供更優(yōu)質的圖像數據。例如，在醫(yī)學影像處理中，降噪后的圖像能夠更清晰地顯示病變組織的邊界和內部結構，幫助醫(yī)生更準確地診斷疾病；在衛(wèi)星遙感圖像分析中，降噪后的圖像可以更準確地識別土地利用類型、監(jiān)測森林覆蓋變化等。對于圖像分析任務，邊緣作為圖像中物體形狀和結構的關鍵特征，包含了豐富的信息。準確提取圖像的邊緣，能夠為圖像分割、目標識別、形狀分析等后續(xù)處理提供重要的基礎和依據。在圖像分割中，邊緣信息可以幫助將圖像中的不同物體或區(qū)域分離出來，實現對圖像的有效分割。例如，在對醫(yī)學圖像進行分割時，通過提取器官的邊緣，可以準確地劃分出器官的范圍，為進一步的醫(yī)學分析和診斷提供支持。在目標識別中，邊緣特征是識別目標物體的重要依據，能夠幫助計算機快速準確地識別出圖像中的目標物體。例如，在安防監(jiān)控中，通過提取人臉的邊緣特征，可以實現人臉識別和身份驗證；在工業(yè)檢測中，通過提取產品表面的邊緣特征，可以檢測產品是否存在缺陷。在形狀分析中，邊緣能夠反映物體的形狀和輪廓，為分析物體的幾何特征和形態(tài)變化提供關鍵信息。例如，在對建筑物進行形狀分析時，通過提取建筑物的邊緣，可以了解其結構和外觀特征，為建筑設計和評估提供參考。此外，彩色圖像的降噪和邊緣提取還具有重要的應用價值。在計算機視覺領域，高質量的圖像降噪和邊緣提取技術是實現自動駕駛、智能機器人等先進技術的關鍵。在自動駕駛中，車輛需要通過攝像頭獲取道路圖像，并對圖像進行降噪和邊緣提取，以識別道路標志、車道線和障礙物等，確保車輛的安全行駛。在智能機器人領域，機器人需要通過視覺系統(tǒng)獲取周圍環(huán)境的圖像，并對圖像進行處理和分析，以實現自主導航和任務執(zhí)行。在工業(yè)生產中，彩色圖像的降噪和邊緣提取技術可以用于產品質量檢測、生產過程監(jiān)控等，提高生產效率和產品質量。在藝術創(chuàng)作和圖像處理軟件中，降噪和邊緣提取功能可以幫助用戶優(yōu)化圖像效果，實現更具創(chuàng)意和表現力的圖像編輯。2.4傳統(tǒng)彩色圖像降噪與邊緣提取方法在彩色圖像降噪方面，中值濾波是一種常用的非線性濾波方法。它將每個像素點的灰度值或顏色值替換為其鄰域像素值的中值，以此來去除噪聲。中值濾波對于椒鹽噪聲等脈沖噪聲具有良好的抑制效果，能夠有效保持圖像的邊緣和細節(jié)信息。在一幅受到椒鹽噪聲污染的彩色圖像中，中值濾波可以通過對每個像素點的鄰域內的紅、綠、藍三個通道的像素值分別進行排序，取中值來替換該像素點的原始值，從而去除噪聲點，同時保留圖像中物體的邊緣和紋理特征。然而，中值濾波在處理高斯噪聲等連續(xù)噪聲時效果相對較差，容易導致圖像過度平滑，使圖像的細節(jié)和紋理變得模糊。高斯濾波是一種線性平滑濾波方法，它利用高斯函數作為濾波器的權重，對圖像中的每個像素點進行加權平均。高斯濾波能夠有效去除高斯噪聲，使圖像變得平滑，對于抑制圖像中的高頻噪聲具有較好的效果。在對一幅受到高斯噪聲干擾的彩色圖像進行處理時，高斯濾波會根據高斯函數的分布，對每個像素點及其鄰域內的像素點在紅、綠、藍三個通道上進行加權求和，從而達到去除噪聲的目的。但是，高斯濾波在平滑圖像的過程中，也會使圖像的邊緣變得模糊，尤其是對于邊緣細節(jié)豐富的圖像，這種模糊效果可能會影響后續(xù)的圖像分析和處理任務。雙邊濾波是一種結合了圖像的空間鄰近度和像素值相似度的濾波方法，它在平滑圖像的同時能夠較好地保留圖像的邊緣信息。雙邊濾波通過在空間域和值域上分別定義權重函數，對像素點進行加權平均?？臻g域權重函數考慮像素點之間的距離，距離越近權重越大；值域權重函數考慮像素點之間的顏色差異，顏色差異越小權重越大。在處理彩色圖像時，雙邊濾波對于邊緣和細節(jié)的保持能力較強，能夠在去除噪聲的同時，保留圖像中物體的邊界和紋理特征。但是，雙邊濾波的計算復雜度較高，處理速度相對較慢，在實時性要求較高的應用場景中可能受到一定的限制。在彩色圖像邊緣提取方面，Sobel算子是一種常用的一階微分算子。它通過計算圖像中每個像素點的梯度來檢測邊緣，對水平和垂直方向的邊緣具有較好的檢測效果。Sobel算子利用兩個3×3的模板，分別對圖像在水平和垂直方向上進行卷積運算，得到水平方向和垂直方向的梯度分量，然后通過計算梯度幅值和方向來確定邊緣點。在一幅彩色圖像中，Sobel算子會分別對紅、綠、藍三個通道進行上述操作，然后根據一定的融合規(guī)則將三個通道的邊緣檢測結果進行融合，得到最終的邊緣圖像。Sobel算子計算簡單、速度快，但對噪聲比較敏感，容易產生一些虛假邊緣，并且對于弱邊緣的檢測能力較弱。Canny邊緣檢測算法是一種較為經典且性能優(yōu)良的邊緣檢測算法，它通過多步處理來檢測圖像的邊緣。Canny算法首先對圖像進行高斯濾波，以平滑圖像并去除噪聲；然后計算圖像的梯度幅值和方向；接著進行非極大值抑制，以細化邊緣；最后通過雙閾值檢測和邊緣跟蹤，確定最終的邊緣。在處理彩色圖像時，Canny算法同樣會對每個顏色通道分別進行處理，然后將各通道的邊緣檢測結果進行融合。Canny算法能夠檢測出連續(xù)、完整的邊緣，對噪聲具有較強的抑制能力，檢測出的邊緣定位準確，在實際應用中得到了廣泛的應用。然而，Canny算法的參數設置對檢測結果影響較大，需要根據具體的圖像情況進行合理的調整，并且其計算復雜度相對較高，處理時間較長。Laplacian算子是一種二階微分算子，它通過計算圖像的二階導數來檢測邊緣。Laplacian算子對圖像中的孤立點、線和邊緣的變化較為敏感，能夠檢測出圖像中的細微邊緣。在彩色圖像邊緣提取中，Laplacian算子會對每個顏色通道進行計算，然后根據一定的規(guī)則將各通道的結果進行合并。Laplacian算子檢測出的邊緣較細，但對噪聲非常敏感，容易產生大量的噪聲響應，導致邊緣圖像中出現較多的噪聲點，并且在檢測過程中可能會丟失一些重要的邊緣信息。三、基于四元數的彩色圖像降噪方法3.1四元數在彩色圖像降噪中的應用原理在彩色圖像處理領域，四元數為降噪處理提供了一種獨特且有效的途徑，其應用原理建立在四元數對彩色圖像像素的特殊表示方式以及自身的數學性質之上。彩色圖像通常由紅（R）、綠（G）、藍（B）三個顏色通道組成，傳統(tǒng)方法在處理時往往將各通道分開，忽略了通道間的內在聯系。而四元數可以將彩色圖像的一個像素點表示為一個四元數q=r+gi+bj+0k，其中r、g、b分別對應紅、綠、藍三個通道的值，k分量為零。這種表示方式巧妙地將彩色圖像的三個顏色通道整合在一個四元數中，使得對彩色圖像的處理能夠在一個統(tǒng)一的數學框架下進行，充分考慮了顏色通道之間的相關性。從數學角度來看，四元數的共軛和模長等性質在彩色圖像降噪中發(fā)揮著關鍵作用。對于一個四元數q=r+gi+bj+0k，其共軛q^*=r-gi-bj+0k，模長\vertq\vert=\sqrt{r^2+g^2+b^2}。在降噪過程中，利用四元數的共軛性質，可以對圖像進行一些特殊的變換和處理，從而達到去除噪聲的目的。通過計算四元數的模長，可以衡量像素點的某種“能量”或“強度”，基于此可以設計相應的降噪算法，對噪聲點進行抑制。例如，對于噪聲污染的像素點，其對應的四元數模長可能會出現異常波動，通過設定合適的閾值，對模長異常的四元數進行調整或修正，從而實現對噪聲的去除。四元數在彩色圖像降噪中的另一個重要優(yōu)勢在于其能夠保持色彩相關性。在傳統(tǒng)的降噪方法中，由于將顏色通道分開處理，容易破壞顏色之間的固有聯系，導致圖像在降噪后出現顏色失真等問題。而四元數的統(tǒng)一表示方式能夠在降噪過程中很好地保留顏色通道之間的相關性，使得降噪后的圖像在顏色表現上更加自然、準確。在一幅受到高斯噪聲污染的彩色圖像中，基于四元數的降噪算法在處理時，會綜合考慮紅、綠、藍三個通道的信息，根據四元數的運算規(guī)則對噪聲進行抑制，從而避免了因單獨處理通道而導致的顏色信息丟失或失真。這種保持色彩相關性的特性，使得基于四元數的降噪方法在處理彩色圖像時，能夠更好地保留圖像的細節(jié)和特征，提高圖像的視覺質量。3.2基于四元數的降噪算法設計3.2.1基于四元數的中值濾波算法基于四元數的中值濾波算法是在傳統(tǒng)中值濾波算法的基礎上，結合四元數對彩色圖像的表示方式進行改進。該算法的核心思想是利用四元數的整體性來處理彩色圖像的各個顏色通道，避免傳統(tǒng)方法中通道分離處理帶來的信息丟失問題。在算法流程上，首先定義一個合適大小的濾波窗口，常見的窗口大小有3×3、5×5等。以一幅大小為M??N的彩色圖像I為例，對于圖像中的每個像素點I(i,j)（1\leqi\leqM，1\leqj\leqN），將其表示為四元數q_{ij}=r_{ij}+g_{ij}i+b_{ij}j+0k，其中r_{ij}、g_{ij}、b_{ij}分別是該像素點在紅、綠、藍通道上的值。然后，以該像素點為中心，選取濾波窗口內的所有像素點，這些像素點同樣用四元數表示。對于一個3×3的濾波窗口，中心像素點為I(i,j)，其鄰域像素點包括I(i-1,j-1)、I(i-1,j)、I(i-1,j+1)、I(i,j-1)、I(i,j+1)、I(i+1,j-1)、I(i+1,j)、I(i+1,j+1)，對應的四元數分別為q_{i-1,j-1}、q_{i-1,j}、q_{i-1,j+1}、q_{i,j-1}、q_{i,j+1}、q_{i+1,j-1}、q_{i+1,j}、q_{i+1,j+1}。接著，對濾波窗口內的所有四元數進行排序。由于四元數不能像實數那樣直接比較大小，因此需要定義一種適合四元數的排序方法。常見的方法是根據四元數的模長進行排序。計算每個四元數的模長\vertq_{mn}\vert=\sqrt{r_{mn}^2+g_{mn}^2+b_{mn}^2}（(m,n)表示窗口內像素點的坐標），然后按照模長從小到大的順序對窗口內的四元數進行排序。例如，對于上述3×3窗口內的四元數，計算它們的模長后進行排序，得到一個有序的四元數序列。取排序后的四元數序列的中間值作為中心像素點I(i,j)降噪后的四元數q_{ij}^{new}。如果窗口內像素點個數為奇數，中間值就是排序后的第\frac{n+1}{2}個四元數（n為窗口內像素點個數）；如果窗口內像素點個數為偶數，中間值可以取排序后的第\frac{n}{2}個和第\frac{n}{2}+1個四元數的平均值。最后，將降噪后的四元數q_{ij}^{new}轉換回彩色圖像的像素值，即得到降噪后的圖像。將q_{ij}^{new}=r_{ij}^{new}+g_{ij}^{new}i+b_{ij}^{new}j+0k中的r_{ij}^{new}、g_{ij}^{new}、b_{ij}^{new}分別作為降噪后像素點在紅、綠、藍通道上的值，更新圖像中該像素點的顏色值。3.2.2基于四元數的高斯濾波算法基于四元數的高斯濾波算法利用高斯函數的特性對彩色圖像進行平滑處理，同時借助四元數的統(tǒng)一表示來綜合考慮顏色通道間的關系。該算法的關鍵在于構建合適的四元數高斯核，并將其應用于彩色圖像的每個像素點。在算法設計中，首先要構建四元數高斯核。高斯核是一個二維矩陣，其元素由高斯函數計算得到。對于一個大小為(2k+1)??(2k+1)的高斯核，其元素G(x,y)（-k\leqx\leqk，-k\leqy\leqk）的計算公式為：G(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}，其中\(zhòng)sigma是高斯函數的標準差，它控制著高斯核的平滑程度。\sigma越大，高斯核的平滑效果越強，但也會導致圖像細節(jié)丟失更多；\sigma越小，平滑效果越弱，圖像細節(jié)保留相對較多。當\sigma=1，k=1時，計算得到的3×3高斯核如下：\begin{bmatrix}0.0585&0.0965&0.0585\\0.0965&0.1592&0.0965\\0.0585&0.0965&0.0585\end{bmatrix}在基于四元數的高斯濾波中，將這個高斯核擴展到四元數領域。對于彩色圖像中的每個像素點I(i,j)，將其表示為四元數q_{ij}=r_{ij}+g_{ij}i+b_{ij}j+0k。然后，以該像素點為中心，將高斯核與鄰域像素點的四元數進行加權求和。對于鄰域內的像素點I(i+x,j+y)（-k\leqx\leqk，-k\leqy\leqk），其對應的四元數為q_{i+x,j+y}=r_{i+x,j+y}+g_{i+x,j+y}i+b_{i+x,j+y}j+0k，加權求和的公式為：q_{ij}^{new}=\sum_{x=-k}^{k}\sum_{y=-k}^{k}G(x,y)q_{i+x,j+y}在進行加權求和時，需要注意四元數乘法的非交換性。由于四元數乘法不滿足交換律，所以在計算過程中要按照規(guī)定的順序進行乘法運算。假設G(x,y)是實數，q_{i+x,j+y}是四元數，在計算G(x,y)q_{i+x,j+y}時，要根據四元數乘法規(guī)則進行計算。以q_1=1+2i+3j+4k，G=0.5為例，計算Gq_1時，按照四元數乘法規(guī)則：\begin{align*}0.5??(1+2i+3j+4k)&=0.5??1+0.5??2i+0.5??3j+0.5??4k\\&=0.5+1i+1.5j+2k\end{align*}通過上述加權求和得到的q_{ij}^{new}就是降噪后的四元數。最后，將q_{ij}^{new}轉換回彩色圖像的像素值，更新圖像中該像素點的顏色，從而完成對整幅彩色圖像的降噪處理。將q_{ij}^{new}=r_{ij}^{new}+g_{ij}^{new}i+b_{ij}^{new}j+0k中的r_{ij}^{new}、g_{ij}^{new}、b_{ij}^{new}分別作為降噪后像素點在紅、綠、藍通道上的值，得到降噪后的圖像。3.3算法實現與參數調整在算法實現階段，我們選用Python語言來實現基于四元數的彩色圖像降噪算法。Python語言憑借其豐富的庫資源和簡潔的語法結構，在圖像處理領域中備受青睞。NumPy庫提供了高效的數組操作功能，能夠快速處理四元數和圖像數據；OpenCV庫則包含了大量成熟的圖像處理函數，為算法實現提供了便利。以基于四元數的中值濾波算法為例，首先，利用NumPy庫將彩色圖像轉換為四元數數組。假設輸入的彩色圖像為image，其形狀為(height,width,3)，通過以下代碼實現轉換：importnumpyasnp#將彩色圖像轉換為四元數數組quaternion_image=np.zeros((height,width),dtype=plex128)quaternion_image.real=image[:,:,0]quaternion_image.imag=image[:,:,1]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]#將彩色圖像轉換為四元數數組quaternion_image=np.zeros((height,width),dtype=plex128)quaternion_image.real=image[:,:,0]quaternion_image.imag=image[:,:,1]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]quaternion_image=np.zeros((height,width),dtype=plex128)quaternion_image.real=image[:,:,0]quaternion_image.imag=image[:,:,1]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]quaternion_image.real=image[:,:,0]quaternion_image.imag=image[:,:,1]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]quaternion_image.imag=image[:,:,1]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]quaternion_image.imag+=1j*image[:,:,2]然后，定義中值濾波函數。在函數中，通過嵌套循環(huán)遍歷圖像的每個像素點，以當前像素點為中心選取濾波窗口內的四元數，計算它們的模長并進行排序，最后取中間值作為當前像素點降噪后的四元數。具體代碼如下：defquaternion_median_filter(quaternion_image,window_size):height,width=quaternion_image.shapefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)half_size=window_size//2foriinrange(height):forjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imageheight,width=quaternion_image.shapefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)half_size=window_size//2foriinrange(height):forjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)half_size=window_size//2foriinrange(height):forjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagehalf_size=window_size//2foriinrange(height):forjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imageforiinrange(height):forjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imageforjinrange(width):window_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagewindow_quaternions=[]forxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imageforxinrange(max(0,i-half_size),min(height,i+half_size+1)):foryinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imageforyinrange(max(0,j-half_size),min(width,j+half_size+1)):window_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagewindow_quaternions.append(quaternion_image[x,y])window_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagewindow_norms=np.array([np.linalg.norm(q)forqinwindow_quaternions])sorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagesorted_indices=np.argsort(window_norms)median_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagemedian_index=sorted_indices[len(sorted_indices)//2]filtered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagefiltered_image[i,j]=window_quaternions[median_index]returnfiltered_imagereturnfiltered_image基于四元數的高斯濾波算法實現與之類似，同樣先將彩色圖像轉換為四元數數組，然后構建高斯核。高斯核的構建利用了scipy.ndimage.filters.gaussian_filter函數，該函數可以方便地生成指定標準差的高斯核。在進行加權求和時，根據四元數乘法規(guī)則對鄰域像素點的四元數與高斯核進行計算。代碼實現如下：fromscipy.ndimage.filtersimportgaussian_filterdefquaternion_gaussian_filter(quaternion_image,sigma):height,width=quaternion_image.shapefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)gaussian_kernel=gaussian_filter(np.ones((2*int(np.ceil(3*sigma))+1,2*int(np.ceil(3*sigma))+1)),sigma)foriinrange(height):forjinrange(width):weighted_sum=np.quaternion(0,0,0,0)forxinrange(max(0,i-int(np.ceil(3*sigma))),min(height,i+int(np.ceil(3*sigma))+1)):foryinrange(max(0,j-int(np.ceil(3*sigma))),min(width,j+int(np.ceil(3*sigma))+1)):offset_x=x-i+int(np.ceil(3*sigma))offset_y=y-j+int(np.ceil(3*sigma))weight=gaussian_kernel[offset_x,offset_y]quaternion=quaternion_image[x,y]weighted_sum+=weight*quaternionfiltered_image[i,j]=weighted_sumreturnfiltered_imagedefquaternion_gaussian_filter(quaternion_image,sigma):height,width=quaternion_image.shapefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)gaussian_kernel=gaussian_filter(np.ones((2*int(np.ceil(3*sigma))+1,2*int(np.ceil(3*sigma))+1)),sigma)foriinrange(height):forjinrange(width):weighted_sum=np.quaternion(0,0,0,0)forxinrange(max(0,i-int(np.ceil(3*sigma))),min(height,i+int(np.ceil(3*sigma))+1)):foryinrange(max(0,j-int(np.ceil(3*sigma))),min(width,j+int(np.ceil(3*sigma))+1)):offset_x=x-i+int(np.ceil(3*sigma))offset_y=y-j+int(np.ceil(3*sigma))weight=gaussian_kernel[offset_x,offset_y]quaternion=quaternion_image[x,y]weighted_sum+=weight*quaternionfiltered_image[i,j]=weighted_sumreturnfiltered_imageheight,width=quaternion_image.shapefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)gaussian_kernel=gaussian_filter(np.ones((2*int(np.ceil(3*sigma))+1,2*int(np.ceil(3*sigma))+1)),sigma)foriinrange(height):forjinrange(width):weighted_sum=np.quaternion(0,0,0,0)forxinrange(max(0,i-int(np.ceil(3*sigma))),min(height,i+int(np.ceil(3*sigma))+1)):foryinrange(max(0,j-int(np.ceil(3*sigma))),min(width,j+int(np.ceil(3*sigma))+1)):offset_x=x-i+int(np.ceil(3*sigma))offset_y=y-j+int(np.ceil(3*sigma))weight=gaussian_kernel[offset_x,offset_y]quaternion=quaternion_image[x,y]weighted_sum+=weight*quaternionfiltered_image[i,j]=weighted_sumreturnfiltered_imagefiltered_image=np.zeros_like(quaternion_image)gaussian_kernel=gaussian_filter(np.ones((2*int(np.ceil(3*sigma))+1,2*int(np.ceil(3*sigma))+1)),sigma)foriinrange(height):forjinrange(width):weighted_sum=np.quaternion(0,0,0,0)forxinrange(max(0,i-int(np.ceil(3*sigma))),min(height,i+int(np.ceil(3*sigma))+1)):foryinrange(max(0,j-int(np.ceil(3*sigma))),min(width,j+int(np.ceil(3*sigma))+1)):offset_x=x-i+int(np.ceil(3*sigma))offset_y=y-j+int(np.ceil(3*sigma))weight=gaussian_kernel[offset_x,offset_y]quaternion=quaternion_image[x,y]weighted_sum+=weight*quaternionfiltered_image[i,j]=weighted_sumreturnfiltered_imagegaussian_kernel=gaussian_filter(np.ones((2*int(np.ceil(3*sigma))+1,2*int(np.ceil(3*sigm