基于均值-CVaR-熵模型的證券投資組合優(yōu)化：理論、方法與實證一、引言1.1研究背景與意義在金融市場中，證券投資組合優(yōu)化一直是投資者和金融機構(gòu)關(guān)注的核心問題。隨著全球金融市場的不斷發(fā)展和深化，金融產(chǎn)品日益豐富，投資者面臨著多樣化的投資選擇。如何在眾多的證券品種中進行合理的資產(chǎn)配置，以實現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險最小化的平衡，成為了投資決策的關(guān)鍵。自1952年美國經(jīng)濟學(xué)家Markowitz提出均值-方差理論以來，現(xiàn)代投資組合理論取得了長足的發(fā)展。該理論以均值和方差來度量投資組合的收益和風(fēng)險，為投資組合優(yōu)化提供了開創(chuàng)性的思路和方法，標(biāo)志著金融風(fēng)險進入量化時代。然而，Markowitz的均值-方差模型假設(shè)條件較為苛刻，在實際應(yīng)用中受到諸多限制。例如，該模型假設(shè)證券收益率服從正態(tài)分布，但在現(xiàn)實金融市場中，證券收益率往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾等非正態(tài)分布特征，這使得均值-方差模型難以準(zhǔn)確地度量風(fēng)險。為了克服均值-方差模型的局限性，眾多學(xué)者從風(fēng)險度量方法入手，對投資組合優(yōu)化模型進行了深入研究和改進。在險價值（VaR）、條件在險價值（CVaR）、ARCH度量方法、β系數(shù)度量方法等相繼被提出并應(yīng)用于投資組合優(yōu)化領(lǐng)域。其中，CVaR作為一種重要的風(fēng)險度量指標(biāo)，相較于VaR，它不僅考慮了損失發(fā)生的概率，還充分考慮了損失的大小，并且滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性及傳遞不變性這四個一致性風(fēng)險度量所必須具備的性質(zhì)。此外，CVaR可通過線性規(guī)劃算法進行優(yōu)化，這使得它在實際應(yīng)用中具有較高的可操作性，因而被許多金融機構(gòu)廣泛用于風(fēng)險度量。然而，CVaR也存在一定的缺陷，其計算主要依賴于尾部信息，導(dǎo)致它是一種0-1風(fēng)險測度，并不平滑。近年來，信息熵的概念被引入投資組合理論。1948年Shannon提出“信息熵”，用于量化信息，將熵定義為度量不確定性的方法。Philippatos等學(xué)者首次運用信息熵度量風(fēng)險并構(gòu)建新的投資組合模型，指出信息熵度量風(fēng)險不依賴證券收益率對稱分布。熵具有諸多優(yōu)良特性，它不依賴對稱概率分布，可通過非數(shù)值型數(shù)據(jù)計算得到，滿足一致性風(fēng)險度量，能在一定程度上減少或分散投資組合的風(fēng)險。將熵與CVaR相結(jié)合，構(gòu)建均值-CVaR-熵模型，為證券投資組合優(yōu)化提供了新的視角和方法。均值-CVaR-熵模型對于提升投資決策的科學(xué)性具有重要價值。從理論層面來看，該模型綜合考慮了收益、風(fēng)險以及投資組合的不確定性，彌補了傳統(tǒng)投資組合模型在風(fēng)險度量和處理不確定性方面的不足，進一步完善和豐富了現(xiàn)代投資組合理論。通過將熵引入投資組合模型，能夠更加全面地刻畫投資組合的風(fēng)險特征，為投資者提供更為準(zhǔn)確的風(fēng)險評估和決策依據(jù)。從實踐角度而言，在復(fù)雜多變的金融市場環(huán)境中，投資者面臨著各種不確定性因素，均值-CVaR-熵模型能夠幫助投資者更好地應(yīng)對這些不確定性，優(yōu)化投資組合配置，降低投資風(fēng)險，提高投資收益。對于金融機構(gòu)來說，該模型有助于提升風(fēng)險管理水平，制定更為科學(xué)合理的投資策略，增強市場競爭力。此外，研究均值-CVaR-熵模型還能為金融市場監(jiān)管提供理論支持和實踐參考，促進金融市場的穩(wěn)定健康發(fā)展。1.2研究目的與創(chuàng)新點本研究旨在通過構(gòu)建均值-CVaR-熵模型，對證券投資組合優(yōu)化問題進行深入研究，為投資者提供更為科學(xué)、有效的投資決策方法。具體而言，研究目的包括以下幾個方面：完善投資組合模型：綜合考慮收益、風(fēng)險和投資組合的不確定性，將熵與CVaR相結(jié)合，構(gòu)建均值-CVaR-熵模型，彌補傳統(tǒng)投資組合模型在風(fēng)險度量和處理不確定性方面的不足，進一步完善現(xiàn)代投資組合理論。優(yōu)化投資決策：運用構(gòu)建的模型對證券投資組合進行優(yōu)化，為投資者提供在不同風(fēng)險偏好下的最優(yōu)投資組合策略，幫助投資者實現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險最小化的平衡，提高投資決策的科學(xué)性和合理性。提升風(fēng)險管理水平：通過對模型的實證分析，深入研究均值-CVaR-熵模型在風(fēng)險度量和風(fēng)險管理方面的優(yōu)勢和應(yīng)用效果，為金融機構(gòu)和投資者提供更為準(zhǔn)確的風(fēng)險評估和管理工具，提升風(fēng)險管理水平。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下兩個方面：模型構(gòu)建創(chuàng)新：在投資組合模型構(gòu)建中，首次將熵與CVaR有機結(jié)合，提出均值-CVaR-熵模型。熵作為一種度量不確定性的指標(biāo)，能夠捕捉投資組合中的潛在風(fēng)險和不確定性因素，彌補了CVaR僅依賴尾部信息度量風(fēng)險的不足。這種創(chuàng)新的模型構(gòu)建方法為投資組合優(yōu)化提供了新的視角和思路，豐富了投資組合理論的研究內(nèi)容。實證分析創(chuàng)新：在實證分析部分，采用多維度、多角度的分析方法，對均值-CVaR-熵模型與傳統(tǒng)投資組合模型進行全面對比。不僅分析不同模型在風(fēng)險度量、收益預(yù)測等方面的表現(xiàn)，還考慮了市場環(huán)境變化、投資者風(fēng)險偏好等因素對模型效果的影響。通過這種創(chuàng)新的實證分析方法，能夠更深入、全面地驗證均值-CVaR-熵模型的有效性和優(yōu)越性，為模型的實際應(yīng)用提供更有力的支持。1.3研究方法與技術(shù)路線本研究綜合運用多種研究方法，確保研究的科學(xué)性、全面性和深入性，具體如下：文獻研究法：全面收集和整理國內(nèi)外關(guān)于證券投資組合優(yōu)化、均值-方差模型、CVaR模型、熵理論以及相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)術(shù)文獻、研究報告和經(jīng)典著作。通過對這些文獻的系統(tǒng)梳理和深入分析，了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢以及存在的問題，明確均值-CVaR-熵模型在投資組合優(yōu)化研究中的地位和作用，為研究提供堅實的理論基礎(chǔ)和研究思路。實證分析法：選取具有代表性的證券市場數(shù)據(jù)，運用構(gòu)建的均值-CVaR-熵模型進行實證研究。通過實際數(shù)據(jù)的計算和分析，驗證模型的有效性和優(yōu)越性，并與傳統(tǒng)投資組合模型進行對比分析，深入探討均值-CVaR-熵模型在風(fēng)險度量、收益預(yù)測和投資組合優(yōu)化方面的優(yōu)勢和應(yīng)用效果。同時，根據(jù)實證結(jié)果，對模型進行優(yōu)化和改進，使其更符合實際投資需求。研究的技術(shù)路線如下：理論基礎(chǔ)研究：深入研究現(xiàn)代投資組合理論的發(fā)展歷程和主要成果，重點分析均值-方差模型、CVaR模型以及熵理論的基本原理、特點和應(yīng)用方法。梳理這些理論在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用現(xiàn)狀和存在的問題，為后續(xù)的模型構(gòu)建提供理論支持。模型構(gòu)建：在對均值-方差模型和CVaR模型進行深入分析的基礎(chǔ)上，引入熵理論，構(gòu)建均值-CVaR-熵模型。詳細闡述模型的構(gòu)建思路、假設(shè)條件和數(shù)學(xué)表達式，明確模型中各個參數(shù)的含義和計算方法。數(shù)據(jù)收集與處理：收集中國證券市場的相關(guān)數(shù)據(jù)，包括股票價格、成交量、財務(wù)報表等信息。對收集到的數(shù)據(jù)進行清洗、整理和預(yù)處理，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性、完整性和一致性。根據(jù)研究需要，對數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)淖儞Q和計算，如計算股票收益率、風(fēng)險指標(biāo)等。實證分析：運用構(gòu)建的均值-CVaR-熵模型對處理后的數(shù)據(jù)進行實證分析。設(shè)置不同的參數(shù)和約束條件，求解最優(yōu)投資組合，并計算投資組合的預(yù)期收益、風(fēng)險水平和熵值等指標(biāo)。將均值-CVaR-熵模型的實證結(jié)果與均值-方差模型、CVaR模型等傳統(tǒng)投資組合模型進行對比分析，從風(fēng)險-收益關(guān)系、投資組合分散化程度、模型穩(wěn)定性等多個角度評價模型的優(yōu)劣。結(jié)果討論與分析：對實證分析結(jié)果進行深入討論和分析，探討均值-CVaR-熵模型在不同市場環(huán)境和投資者風(fēng)險偏好下的表現(xiàn)和應(yīng)用效果。分析模型的優(yōu)勢和局限性，提出改進建議和進一步研究的方向。結(jié)合實際投資案例，闡述均值-CVaR-熵模型在投資決策中的應(yīng)用價值和實踐意義。結(jié)論與展望：總結(jié)研究的主要成果和結(jié)論，強調(diào)均值-CVaR-熵模型在證券投資組合優(yōu)化中的重要性和應(yīng)用前景。對未來的研究方向進行展望，提出進一步完善模型和拓展應(yīng)用領(lǐng)域的建議，為投資者和金融機構(gòu)提供有益的參考。二、理論基礎(chǔ)與文獻綜述2.1現(xiàn)代投資組合理論的發(fā)展歷程現(xiàn)代投資組合理論的發(fā)展是一個不斷演進和完善的過程，其起源可以追溯到20世紀(jì)早期。當(dāng)時，投資者已經(jīng)意識到分散投資可以在一定程度上降低風(fēng)險，但缺乏系統(tǒng)的理論框架來指導(dǎo)投資決策。隨著金融市場的發(fā)展和經(jīng)濟學(xué)理論的進步，現(xiàn)代投資組合理論逐漸形成并不斷發(fā)展。1952年，美國經(jīng)濟學(xué)家HarryMarkowitz發(fā)表了《資產(chǎn)組合的選擇》一文，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的開端。Markowitz提出了均值-方差模型，該模型以均值來衡量投資組合的預(yù)期收益，以方差來度量投資組合的風(fēng)險。通過建立數(shù)學(xué)模型，Markowitz證明了投資者可以通過分散投資不同資產(chǎn)，在給定風(fēng)險水平下實現(xiàn)最大收益，或者在給定收益水平下最小化風(fēng)險。這一理論為投資組合的優(yōu)化提供了開創(chuàng)性的方法，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ)。在Markowitz的均值-方差模型之后，學(xué)者們對投資組合理論進行了進一步的拓展和完善。1963年，WilliamSharpe提出了單指數(shù)模型，該模型假定資產(chǎn)收益只與市場總體收益有關(guān)，通過引入市場指數(shù)來簡化投資組合的計算，大大降低了均值-方差模型的計算復(fù)雜度，使得投資組合理論更具實際應(yīng)用價值。1964年，Sharpe、1965年，JohnLintner和1966年，JanMossin分別獨立提出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）。CAPM在Markowitz均值-方差模型的基礎(chǔ)上，進一步研究了在市場均衡條件下，資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系。該模型認為，資產(chǎn)的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險利率加上風(fēng)險溢價，風(fēng)險溢價與市場風(fēng)險溢價和資產(chǎn)的β系數(shù)成正比。β系數(shù)衡量了資產(chǎn)收益率對市場收益率變動的敏感性，反映了資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險。CAPM為資產(chǎn)定價和投資決策提供了重要的理論依據(jù)，在投資實踐中得到了廣泛應(yīng)用。1976年，StephenRoss提出了套利定價理論（APT）。APT是一種多因素模型，它認為資產(chǎn)的收益率受到多個因素的影響，而不僅僅是市場因素。通過構(gòu)建套利組合，投資者可以在不承擔(dān)額外風(fēng)險的情況下獲得無風(fēng)險收益。與CAPM相比，APT的假設(shè)條件更為寬松，更能反映現(xiàn)實金融市場的復(fù)雜性。隨著金融市場的發(fā)展和金融創(chuàng)新的不斷涌現(xiàn)，傳統(tǒng)的投資組合理論在實際應(yīng)用中逐漸暴露出一些局限性。例如，傳統(tǒng)理論假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，但在現(xiàn)實金融市場中，資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾、非對稱等非正態(tài)分布特征，這使得基于正態(tài)分布假設(shè)的風(fēng)險度量方法難以準(zhǔn)確地刻畫風(fēng)險。此外，傳統(tǒng)理論在處理流動性風(fēng)險、信用風(fēng)險等方面也存在一定的不足。為了克服傳統(tǒng)投資組合理論的局限性，學(xué)者們從不同角度對其進行了改進和拓展。在風(fēng)險度量方面，相繼出現(xiàn)了多種新的風(fēng)險度量方法，如在險價值（VaR）、條件在險價值（CVaR）、熵度量方法等。1993年，J.P.Morgan提出了VaR方法，用于衡量在一定置信水平下，資產(chǎn)或投資組合在未來特定時期內(nèi)可能遭受的最大損失。VaR方法具有直觀、易于理解和計算等優(yōu)點，在金融機構(gòu)的風(fēng)險評估和管理中得到了廣泛應(yīng)用。然而，VaR方法也存在一些缺陷，如不滿足次可加性、對尾部風(fēng)險的度量不足等。為了彌補VaR方法的不足，1997年，Rockafellar和Uryasev提出了CVaR方法。CVaR是指在損失超過VaR的條件下，損失的條件均值，它不僅考慮了損失發(fā)生的概率，還充分考慮了損失的大小，能夠更全面地反映投資組合的尾部風(fēng)險。此外，CVaR滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性及傳遞不變性這四個一致性風(fēng)險度量所必須具備的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上具有良好的性質(zhì)，可通過線性規(guī)劃算法進行優(yōu)化，因此在投資組合優(yōu)化和風(fēng)險管理中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。近年來，信息熵的概念被引入投資組合理論。1948年，ClaudeE.Shannon提出“信息熵”，用于量化信息，將熵定義為度量不確定性的方法。Philippatos等學(xué)者首次運用信息熵度量風(fēng)險并構(gòu)建新的投資組合模型，指出信息熵度量風(fēng)險不依賴證券收益率對稱分布。熵具有諸多優(yōu)良特性，它不依賴對稱概率分布，可通過非數(shù)值型數(shù)據(jù)計算得到，滿足一致性風(fēng)險度量，能在一定程度上減少或分散投資組合的風(fēng)險。將熵與其他風(fēng)險度量方法相結(jié)合，為投資組合優(yōu)化提供了新的思路和方法。2.2均值-CVaR模型概述2.2.1CVaR的定義與計算方法條件在險價值（CVaR），作為一種重要的風(fēng)險度量指標(biāo)，在金融風(fēng)險管理領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。它的定義基于損失分布的尾部信息，能夠更為全面地反映投資組合在極端情況下可能遭受的損失。具體而言，CVaR指的是在給定置信水平下，當(dāng)損失超過在險價值（VaR）時，損失的條件均值。用數(shù)學(xué)公式表達如下：假設(shè)投資組合的損失函數(shù)為L，置信水平為\alpha，則在險價值VaR_{\alpha}滿足P(L\leqVaR_{\alpha})\geq\alpha，其中P表示概率。而條件在險價值CVaR_{\alpha}的計算公式為：CVaR_{\alpha}=E[L|L\geqVaR_{\alpha}]=\frac{1}{1-\alpha}\int_{VaR_{\alpha}}^{+\infty}lf(l)dl其中，E表示數(shù)學(xué)期望，f(l)是損失L的概率密度函數(shù)。從定義可以看出，CVaR不僅考慮了損失超過VaR的概率，還考慮了超過VaR后的平均損失程度，這使得它能夠更準(zhǔn)確地度量投資組合的尾部風(fēng)險。例如，在一個投資組合中，VaR可能僅告訴我們在95%的置信水平下，最大損失不會超過某個值，但對于超過這個值后的損失情況卻沒有提供更多信息。而CVaR則進一步給出了在損失超過VaR時的平均損失，為投資者提供了更全面的風(fēng)險評估。在實際應(yīng)用中，計算CVaR的方法主要有歷史模擬法、蒙特卡羅模擬法和解析法等。歷史模擬法是一種基于歷史數(shù)據(jù)的非參數(shù)方法。它假設(shè)歷史數(shù)據(jù)能夠反映未來的市場情況，通過對歷史數(shù)據(jù)進行排序和分析來計算CVaR。具體步驟如下：收集投資組合的歷史收益率數(shù)據(jù)，計算出相應(yīng)的歷史損失數(shù)據(jù)。將歷史損失數(shù)據(jù)按照從小到大的順序進行排列。根據(jù)給定的置信水平\alpha，確定對應(yīng)的分位數(shù)，得到VaR值。計算損失超過VaR值的所有數(shù)據(jù)的平均值，即為CVaR值。例如，假設(shè)有1000個歷史損失數(shù)據(jù)，置信水平為95%，則首先將這1000個數(shù)據(jù)從小到大排序，第950個數(shù)據(jù)即為VaR值，然后計算第951到1000個數(shù)據(jù)的平均值，就是CVaR值。歷史模擬法的優(yōu)點是簡單直觀，不需要對收益率的分布做出假設(shè)，能夠較好地反映歷史數(shù)據(jù)中的各種風(fēng)險特征。然而，它也存在一些局限性，如依賴歷史數(shù)據(jù)的質(zhì)量和代表性，如果歷史數(shù)據(jù)不能準(zhǔn)確反映未來市場的變化，計算結(jié)果的準(zhǔn)確性就會受到影響。蒙特卡羅模擬法是一種通過隨機模擬來估計CVaR的方法。它利用計算機生成大量的隨機情景，模擬投資組合在不同情景下的收益率和損失，然后根據(jù)這些模擬結(jié)果計算CVaR。具體步驟如下：確定投資組合中各資產(chǎn)的收益率分布模型，如正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布等，或者采用更復(fù)雜的分布模型來描述收益率的不確定性。根據(jù)設(shè)定的分布模型，利用隨機數(shù)生成器生成大量的隨機情景，每個情景對應(yīng)一組資產(chǎn)收益率。計算在每個隨機情景下投資組合的損失。將所有模擬情景下的損失按照從小到大的順序排列，根據(jù)置信水平確定VaR值，并計算超過VaR值的損失的平均值，得到CVaR值。蒙特卡羅模擬法的優(yōu)點是能夠處理復(fù)雜的投資組合和收益率分布，考慮到各種風(fēng)險因素之間的相互關(guān)系，具有較高的靈活性和準(zhǔn)確性。但是，該方法計算量較大，需要消耗大量的計算資源和時間，而且模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性依賴于所選擇的分布模型和隨機數(shù)生成器的質(zhì)量。解析法是在某些特定的假設(shè)條件下，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)直接得到CVaR的解析表達式。例如，在投資組合收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)和相關(guān)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)出CVaR的計算公式。解析法的優(yōu)點是計算效率高，能夠快速得到CVaR值。然而，其應(yīng)用受到嚴格的假設(shè)條件限制，在實際金融市場中，投資組合收益率往往不嚴格服從正態(tài)分布，因此解析法的應(yīng)用范圍相對較窄。2.2.2均值-CVaR模型的構(gòu)建與求解均值-CVaR模型是在現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，它將投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險相結(jié)合，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來尋求最優(yōu)的投資組合配置。其構(gòu)建思路基于投資者的目標(biāo)是在給定風(fēng)險水平下最大化預(yù)期收益，或者在給定預(yù)期收益水平下最小化風(fēng)險。在均值-CVaR模型中，預(yù)期收益通常用投資組合的期望收益率來衡量，而風(fēng)險則采用CVaR來度量。設(shè)投資組合中包含n種資產(chǎn)，x_i表示投資于第i種資產(chǎn)的比例，\mu_i表示第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率，CVaR_{\alpha}(x)表示投資組合x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)在置信水平\alpha下的條件在險價值。則均值-CVaR模型可以表示為以下優(yōu)化問題：目標(biāo)函數(shù)：\max_{x}E[R(x)]=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i約束條件：\begin{cases}CVaR_{\alpha}(x)\leq\gamma&(é￡?é???o|???)\\\sum_{i=1}^{n}x_i=1&(???é???o|???)\\x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n&(é??è′??o|???)\end{cases}其中，E[R(x)]表示投資組合的預(yù)期收益率，\gamma是投資者設(shè)定的可接受風(fēng)險水平。風(fēng)險約束確保投資組合的風(fēng)險在投資者可承受的范圍內(nèi)，權(quán)重約束保證投資組合的權(quán)重之和為1，非負約束限制了投資比例不能為負數(shù)，即不允許賣空資產(chǎn)。如果允許賣空，則可以去掉非負約束條件。該模型的求解方法主要有線性規(guī)劃、二次規(guī)劃等優(yōu)化算法。線性規(guī)劃是一種常用的求解方法，由于CVaR具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，在一定條件下可以將均值-CVaR模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進行求解。具體轉(zhuǎn)化過程如下：引入輔助變量\eta和z，定義一個新的函數(shù)f_{\alpha}(x,\eta)：f_{\alpha}(x,\eta)=\eta+\frac{1}{1-\alpha}E[(L(x)-\eta)^+]其中，(L(x)-\eta)^+=\max\{L(x)-\eta,0\}，L(x)是投資組合的損失函數(shù)?？梢宰C明，CVaR_{\alpha}(x)等于f_{\alpha}(x,\eta)關(guān)于\eta的最小值，即CVaR_{\alpha}(x)=\min_{\eta}f_{\alpha}(x,\eta)。因此，原均值-CVaR模型可以等價轉(zhuǎn)化為：目標(biāo)函數(shù)：\max_{x,\eta}\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i約束條件：\begin{cases}\eta+\frac{1}{1-\alpha}E[(L(x)-\eta)^+]\leq\gamma&(é￡?é???o|???)\\\sum_{i=1}^{n}x_i=1&(???é???o|???)\\x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n&(é??è′??o|???)\end{cases}進一步，通過離散化處理和引入輔助變量z，使得z\geqL(x)-\eta且z\geq0，可以將上述模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題：目標(biāo)函數(shù)：\max_{x,\eta,z}\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i約束條件：\begin{cases}\eta+\frac{1}{(1-\alpha)N}\sum_{j=1}^{N}z_j\leq\gamma&(é￡?é???o|???)\\z_j\geqL_j(x)-\eta,\j=1,2,\cdots,N&(è??????o|???)\\z_j\geq0,\j=1,2,\cdots,N&(é??è′?è??????o|???)\\\sum_{i=1}^{n}x_i=1&(???é???o|???)\\x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n&(é??è′??o|???)\end{cases}其中，N是離散化后的情景數(shù)量，L_j(x)是在第j種情景下投資組合的損失。通過線性規(guī)劃算法，可以求解出滿足約束條件下的最優(yōu)投資組合權(quán)重x^*=(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)，從而確定在給定風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合配置。在實際應(yīng)用中，可以使用專業(yè)的優(yōu)化軟件，如Lingo、Matlab的優(yōu)化工具箱等，來實現(xiàn)線性規(guī)劃問題的求解。除了線性規(guī)劃方法外，二次規(guī)劃等其他優(yōu)化算法也可用于求解均值-CVaR模型。不同的求解方法在計算效率、適用場景等方面可能存在差異，需要根據(jù)具體問題和數(shù)據(jù)特點選擇合適的方法。均值-CVaR模型在投資組合中的應(yīng)用十分廣泛。投資者可以根據(jù)自己的風(fēng)險偏好和投資目標(biāo)，通過調(diào)整置信水平\alpha和可接受風(fēng)險水平\gamma，求解出不同風(fēng)險-收益特征的最優(yōu)投資組合。例如，風(fēng)險偏好較低的投資者可以設(shè)定較低的\gamma值，以獲得更穩(wěn)健的投資組合；而風(fēng)險偏好較高的投資者則可以適當(dāng)提高\gamma值，追求更高的預(yù)期收益。通過均值-CVaR模型，投資者能夠在收益和風(fēng)險之間進行權(quán)衡，做出更科學(xué)合理的投資決策。2.3熵理論在投資組合中的應(yīng)用2.3.1信息熵的基本概念與特性信息熵的概念由香農(nóng)（C.E.Shannon）于1948年在其論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中首次提出，它是信息論中的一個核心概念，用于量化信息的不確定性。在投資組合領(lǐng)域，信息熵可以幫助投資者更好地理解投資決策中的不確定性和風(fēng)險。從數(shù)學(xué)定義來看，對于一個離散型隨機變量X，其取值為x_i（i=1,2,\cdots,n），對應(yīng)的概率為p_i，且滿足\sum_{i=1}^{n}p_i=1，則隨機變量X的信息熵H(X)定義為：H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\logp_i其中，對數(shù)的底數(shù)通常取2，此時信息熵的單位為比特（bit）；若取自然對數(shù)e為底數(shù)，則單位為奈特（nat）。信息熵H(X)反映了隨機變量X的不確定性程度，熵值越大，說明隨機變量的不確定性越高，包含的信息量也就越大；反之，熵值越小，不確定性越低，信息量越小。例如，假設(shè)有一個投資項目，其未來收益有三種可能情況：高收益、中收益和低收益，對應(yīng)的概率分別為p_1=0.2，p_2=0.5，p_3=0.3。則該投資項目收益的信息熵為：\begin{align*}H(X)&=-(0.2\log_20.2+0.5\log_20.5+0.3\log_20.3)\\&\approx-(0.2\times(-2.322)+0.5\times(-1)+0.3\times(-1.737))\\&\approx1.485\text{(bit)}\end{align*}信息熵具有以下重要特性：非負性：對于任意的概率分布p_i，都有H(X)\geq0。這是因為對數(shù)函數(shù)\logp_i在0\ltp_i\leq1時是非正的，而前面又有負號，所以信息熵的值是非負的。當(dāng)隨機變量X取某個值的概率為1，即完全確定時，H(X)=0，表示沒有不確定性；當(dāng)隨機變量X的所有可能取值的概率相等，即p_i=\frac{1}{n}時，信息熵達到最大值\logn，此時不確定性最高。例如，在一個公平的骰子投擲實驗中，骰子出現(xiàn)1到6點的概率均為\frac{1}{6}，則其信息熵H(X)=-\sum_{i=1}^{6}\frac{1}{6}\log_2\frac{1}{6}=\log_26\approx2.585\text{(bit)}，這是在6種等概率結(jié)果情況下的最大信息熵。對稱性：信息熵的值與隨機變量取值的排列順序無關(guān)。即如果將概率分布p_i的順序進行重新排列，得到新的概率分布p_j'，則信息熵的值不變，H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\logp_i=-\sum_{j=1}^{n}p_j'\logp_j'。這意味著信息熵只關(guān)注概率分布本身，而不關(guān)心具體的取值順序。例如，對于上述投資項目收益的例子，如果將概率順序調(diào)整為p_1=0.3，p_2=0.2，p_3=0.5，重新計算信息熵，結(jié)果仍然約為1.485\text{(bit)}。擴展性：若在原有的概率分布中增加一個概率為無窮小的事件，信息熵的值不變。設(shè)原概率分布為p_1,p_2,\cdots,p_n，信息熵為H(X)，增加一個概率為\epsilon（\epsilon\to0）的事件后，新的概率分布為p_1,p_2,\cdots,p_n,\epsilon，新的信息熵H'(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\logp_i-\epsilon\log\epsilon。當(dāng)\epsilon\to0時，\epsilon\log\epsilon\to0，所以H'(X)\approxH(X)。這一特性表明，極小概率事件對信息熵的影響可以忽略不計?？杉有裕簩τ趦蓚€相互獨立的隨機變量X和Y，它們的聯(lián)合信息熵等于各自信息熵之和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。如果隨機變量X和Y存在相關(guān)性，則聯(lián)合信息熵H(X,Y)\leqH(X)+H(Y)，等號當(dāng)且僅當(dāng)X和Y相互獨立時成立。在投資組合中，可加性可以幫助投資者分析不同資產(chǎn)之間的相關(guān)性對投資組合不確定性的影響。例如，投資組合中包含股票和債券兩種資產(chǎn)，若它們的收益相互獨立，那么投資組合的信息熵等于股票收益的信息熵與債券收益的信息熵之和；若它們存在一定相關(guān)性，投資組合的信息熵會小于兩者信息熵之和。極值性：信息熵是概率分布的上凸函數(shù)。對于給定的n個可能取值，當(dāng)概率分布為均勻分布，即p_i=\frac{1}{n}時，信息熵取得最大值\logn；當(dāng)概率分布集中在某一個取值上，即p_k=1，p_i=0（i\neqk）時，信息熵取得最小值0。在投資決策中，這意味著當(dāng)投資組合中各資產(chǎn)的投資比例相等時，投資組合的不確定性最高；而當(dāng)所有資金集中投資于某一種資產(chǎn)時，不確定性最低。此外，信息熵不依賴于概率分布的對稱性。這一特性使得信息熵在處理非對稱概率分布的投資組合風(fēng)險度量時具有獨特優(yōu)勢。在實際金融市場中，證券收益率往往呈現(xiàn)出非對稱的分布特征，傳統(tǒng)的基于對稱分布假設(shè)的風(fēng)險度量方法（如方差）可能無法準(zhǔn)確地刻畫風(fēng)險。而信息熵能夠有效地度量這種非對稱分布下的不確定性，為投資者提供更全面、準(zhǔn)確的風(fēng)險評估。2.3.2熵在投資組合風(fēng)險度量中的作用在投資組合理論中，風(fēng)險度量是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它直接影響著投資者的決策和投資組合的績效。熵作為一種度量不確定性的有效工具，在投資組合風(fēng)險度量中發(fā)揮著重要作用。熵可以用來衡量投資組合的不確定性。投資組合的不確定性源于多種因素，如證券價格的波動、宏觀經(jīng)濟環(huán)境的變化、行業(yè)競爭態(tài)勢的改變等。這些因素使得投資組合的未來收益具有不確定性，而熵能夠量化這種不確定性的程度。當(dāng)投資組合中各證券的收益率概率分布越均勻，即各證券的收益情況差異較大且難以預(yù)測時，投資組合的熵值就越高，表明其不確定性越大，風(fēng)險也就越高；反之，當(dāng)投資組合中各證券的收益率概率分布越集中，即各證券的收益情況較為相似且相對穩(wěn)定時，投資組合的熵值就越低，不確定性越小，風(fēng)險也就越低。例如，假設(shè)有兩個投資組合A和B，投資組合A包含三只股票，它們的預(yù)期收益率分別為10%、15%和20%，對應(yīng)的概率分別為0.2、0.3和0.5；投資組合B也包含三只股票，預(yù)期收益率同樣為10%、15%和20%，但概率分別為0.4、0.3和0.3。通過計算可以得到投資組合A的信息熵大于投資組合B的信息熵，這說明投資組合A的不確定性更高，風(fēng)險相對較大。熵在投資組合中的作用還體現(xiàn)在它能在一定程度上減少或分散投資組合的風(fēng)險。根據(jù)熵的可加性和擴展性，當(dāng)投資組合中加入新的資產(chǎn)時，如果新資產(chǎn)與原有資產(chǎn)之間的相關(guān)性較低，那么投資組合的熵值會增加，同時也會增加投資組合的分散化程度，從而降低整體風(fēng)險。這是因為不同資產(chǎn)之間的非相關(guān)性使得它們的收益波動相互抵消，減少了投資組合收益的整體波動。投資者可以通過合理選擇不同類型、不同行業(yè)、不同地域的資產(chǎn)進行組合投資，利用熵的這一特性來優(yōu)化投資組合，降低風(fēng)險。例如，在一個只包含股票的投資組合中加入一定比例的債券。由于股票和債券的收益通常具有較低的相關(guān)性，股票市場的波動對債券收益的影響較小，反之亦然。加入債券后，投資組合的熵值增加，投資組合的分散化程度提高，從而在一定程度上降低了投資組合的風(fēng)險。即使股票市場出現(xiàn)大幅下跌，債券的穩(wěn)定收益也可以在一定程度上緩沖投資組合的損失。熵還可以與其他風(fēng)險度量指標(biāo)（如CVaR）相結(jié)合，更全面地評估投資組合的風(fēng)險。CVaR主要關(guān)注投資組合在極端情況下的損失，而熵則側(cè)重于度量投資組合的整體不確定性。將兩者結(jié)合，可以從不同角度對投資組合的風(fēng)險進行分析。在構(gòu)建均值-CVaR-熵模型時，通過同時考慮投資組合的預(yù)期收益、CVaR和熵，可以更準(zhǔn)確地刻畫投資組合的風(fēng)險-收益特征，為投資者提供更科學(xué)的投資決策依據(jù)。對于風(fēng)險偏好較低的投資者，可以在模型中賦予CVaR和熵較大的權(quán)重，以追求更穩(wěn)健的投資組合；而風(fēng)險偏好較高的投資者，則可以適當(dāng)調(diào)整權(quán)重，在一定程度上承擔(dān)更高的風(fēng)險以追求更高的收益。2.4國內(nèi)外相關(guān)研究現(xiàn)狀在均值-CVaR模型的研究方面，國外學(xué)者起步較早并取得了豐碩的成果。Rockafellar和Uryasev于1997年首次系統(tǒng)地提出了CVaR的概念，并將其應(yīng)用于投資組合優(yōu)化領(lǐng)域，為均值-CVaR模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。他們證明了CVaR在數(shù)學(xué)上具有良好的性質(zhì)，可通過線性規(guī)劃算法進行優(yōu)化，這使得均值-CVaR模型在實際應(yīng)用中更具可操作性。此后，許多學(xué)者圍繞均值-CVaR模型展開了深入研究。例如，Alexander和Baptista對均值-CVaR模型與均值-方差模型進行了比較分析，發(fā)現(xiàn)均值-CVaR模型在處理非正態(tài)分布數(shù)據(jù)和度量尾部風(fēng)險方面具有明顯優(yōu)勢，能夠為投資者提供更準(zhǔn)確的風(fēng)險評估和投資決策建議。國內(nèi)學(xué)者在均值-CVaR模型的研究上也取得了顯著進展。遲國泰等學(xué)者將均值-CVaR模型應(yīng)用于商業(yè)銀行貸款組合優(yōu)化問題，通過實證分析發(fā)現(xiàn)該模型能夠有效降低貸款組合的風(fēng)險，提高銀行的風(fēng)險管理水平。他們考慮了商業(yè)銀行資產(chǎn)的特點和《巴塞爾協(xié)議》中內(nèi)部評級法的基本思想，建立了貸款組合的均值-CVaR優(yōu)化模型，為商業(yè)銀行的風(fēng)險管理提供了新的方法和思路。還有學(xué)者針對不同的市場環(huán)境和投資對象，對均值-CVaR模型進行了改進和拓展，使其更符合中國金融市場的實際情況。在熵理論應(yīng)用于投資組合的研究方面，國外學(xué)者Philippatos等率先將信息熵引入投資組合模型，指出信息熵度量風(fēng)險不依賴證券收益率對稱分布，為投資組合風(fēng)險度量提供了新的視角。此后，一些學(xué)者進一步研究了熵在投資組合中的作用機制，發(fā)現(xiàn)熵能夠反映投資組合的不確定性，并且在一定程度上可以減少或分散投資組合的風(fēng)險。國內(nèi)學(xué)者也對熵在投資組合中的應(yīng)用進行了廣泛研究。如王春峰等學(xué)者將熵與其他風(fēng)險度量指標(biāo)相結(jié)合，提出了新的投資組合優(yōu)化模型，通過實證研究驗證了該模型在提高投資組合績效和降低風(fēng)險方面的有效性。他們的研究表明，熵能夠有效地度量投資組合的不確定性，與其他風(fēng)險度量指標(biāo)相結(jié)合可以更全面地評估投資組合的風(fēng)險。關(guān)于均值-CVaR-熵模型的研究，目前相關(guān)文獻相對較少。一些研究嘗試將熵與均值-CVaR模型相結(jié)合，但在模型構(gòu)建和應(yīng)用方面還存在一定的局限性。部分研究在模型構(gòu)建過程中，對熵與CVaR的融合方式不夠完善，導(dǎo)致模型的理論基礎(chǔ)不夠堅實。在實證分析方面，樣本數(shù)據(jù)的選擇和處理方法也有待進一步優(yōu)化，以提高模型的準(zhǔn)確性和可靠性。綜上所述，現(xiàn)有研究在均值-CVaR模型和熵理論應(yīng)用于投資組合方面取得了一定成果，但對于均值-CVaR-熵模型的研究還處于探索階段。本研究將在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，深入探討均值-CVaR-熵模型的構(gòu)建和應(yīng)用，旨在完善投資組合理論，為投資者提供更科學(xué)有效的投資決策方法。三、均值-CVaR-熵模型的構(gòu)建3.1模型假設(shè)與參數(shù)設(shè)定3.1.1市場假設(shè)條件為了構(gòu)建均值-CVaR-熵模型，需要對市場環(huán)境做出一系列合理假設(shè)，以明確模型的適用范圍和前提條件。這些假設(shè)在一定程度上簡化了復(fù)雜的市場情況，使得模型能夠更有效地描述和分析證券投資組合的行為。假設(shè)市場是有效的，即證券價格能夠充分反映所有可獲得的信息。這意味著市場參與者無法通過分析歷史價格、成交量等公開信息來獲取超額收益，因為這些信息已經(jīng)完全體現(xiàn)在當(dāng)前的證券價格中。在有效市場中，證券價格的變化是隨機的，任何新的信息都會立即反映在價格上，使得價格能夠及時調(diào)整到合理水平。例如，當(dāng)一家公司發(fā)布季度財報，業(yè)績超出市場預(yù)期時，其股票價格會迅速上漲，以反映這一利好信息。有效市場假設(shè)是現(xiàn)代金融理論的重要基石之一，它為投資組合模型的構(gòu)建提供了重要的理論基礎(chǔ)。假設(shè)投資者是理性的。理性投資者在進行投資決策時，會基于自身的風(fēng)險偏好和收益目標(biāo)，對各種投資機會進行全面、客觀的分析和評估。他們會追求自身效用的最大化，即在給定的風(fēng)險水平下，選擇預(yù)期收益最高的投資組合；或者在給定的預(yù)期收益水平下，選擇風(fēng)險最小的投資組合。理性投資者還會充分考慮投資組合的分散化，以降低非系統(tǒng)性風(fēng)險。例如，投資者不會將所有資金集中投資于一只股票，而是會分散投資于不同行業(yè)、不同規(guī)模的多只股票，以實現(xiàn)風(fēng)險的分散和收益的穩(wěn)定。此外，理性投資者對市場信息的反應(yīng)是迅速和準(zhǔn)確的，能夠及時調(diào)整投資策略以適應(yīng)市場變化。假設(shè)不存在交易成本和稅收。在實際投資中，交易成本和稅收會對投資收益產(chǎn)生一定的影響。交易成本包括傭金、手續(xù)費等，稅收則包括資本利得稅、股息稅等。然而，為了簡化模型的構(gòu)建和分析，假設(shè)市場中不存在這些成本和稅收。這樣可以使模型更加簡潔明了，便于研究投資組合的基本原理和規(guī)律。在后續(xù)的研究中，可以進一步考慮交易成本和稅收對投資組合的影響，對模型進行拓展和完善。假設(shè)證券可以無限細分，即投資者可以按照任意比例投資于不同的證券。在實際市場中，雖然存在最小交易單位的限制，但在理論分析中，假設(shè)證券可以無限細分，能夠更方便地進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算。這一假設(shè)使得投資者可以根據(jù)自己的需求和偏好，精確地確定投資組合中各證券的權(quán)重，從而實現(xiàn)投資組合的最優(yōu)化。例如，投資者可以將資金的30.5%投資于股票A，25.7%投資于股票B等，而不受最小交易單位的約束。假設(shè)證券收益率服從某種概率分布。在構(gòu)建均值-CVaR-熵模型時，需要對證券收益率的分布進行假設(shè)。常見的假設(shè)包括正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布等。然而，在實際金融市場中，證券收益率往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾、非對稱等非正態(tài)分布特征。盡管如此，為了便于模型的計算和分析，在一定程度上仍然可以假設(shè)證券收益率服從某種分布。在后續(xù)的實證分析中，可以通過對實際數(shù)據(jù)的檢驗，來驗證假設(shè)的合理性，并根據(jù)實際情況對模型進行調(diào)整和改進。通過以上市場假設(shè)條件的設(shè)定，為均值-CVaR-熵模型的構(gòu)建提供了必要的前提和基礎(chǔ)。這些假設(shè)雖然在一定程度上簡化了市場實際情況，但有助于深入研究投資組合的優(yōu)化問題，為投資者提供理論指導(dǎo)和決策依據(jù)。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)市場的實際情況和投資者的具體需求，對模型進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和完善，以提高模型的實用性和有效性。3.1.2證券收益與風(fēng)險參數(shù)定義在均值-CVaR-熵模型中，準(zhǔn)確理解和定義證券收益與風(fēng)險參數(shù)是構(gòu)建模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。這些參數(shù)不僅反映了證券的基本特征，還直接影響著投資組合的收益和風(fēng)險狀況。證券預(yù)期收益率是衡量證券投資收益的重要指標(biāo)。它表示投資者在一定時期內(nèi)預(yù)期從證券投資中獲得的平均收益率。設(shè)證券i的預(yù)期收益率為\mu_i，通?？梢酝ㄟ^對證券歷史收益率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析來估計。一種常見的方法是計算證券歷史收益率的算術(shù)平均值，即：\mu_i=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}r_{it}其中，r_{it}表示證券i在第t期的收益率，T為樣本期數(shù)。例如，對于一只股票，通過收集其過去100個交易日的收益率數(shù)據(jù)，計算這些收益率的算術(shù)平均值，就可以得到該股票的預(yù)期收益率估計值。除了算術(shù)平均值，還可以采用幾何平均值、加權(quán)平均值等方法來估計預(yù)期收益率，不同的方法適用于不同的情況，投資者可以根據(jù)具體需求選擇合適的方法。證券收益率的方差用于衡量證券收益率的波動程度，反映了證券投資的風(fēng)險大小。方差越大，說明證券收益率的波動越大，投資風(fēng)險也就越高。設(shè)證券i的收益率方差為\sigma_i^2，其計算公式為：\sigma_i^2=\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T}(r_{it}-\mu_i)^2其中，r_{it}為證券i在第t期的收益率，\mu_i為證券i的預(yù)期收益率，T為樣本期數(shù)。方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為\sigma_i，標(biāo)準(zhǔn)差與方差的作用相同，也是衡量證券風(fēng)險的重要指標(biāo)。在實際投資中，投資者通常會關(guān)注證券的標(biāo)準(zhǔn)差，因為它與收益率具有相同的量綱，更便于理解和比較。例如，兩只股票的預(yù)期收益率相同，但股票A的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，股票B的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3，說明股票B的收益率波動更大，投資風(fēng)險更高。證券收益率之間的協(xié)方差用于衡量兩只證券收益率之間的相互關(guān)系。設(shè)證券i和證券j的收益率協(xié)方差為\sigma_{ij}，其計算公式為：\sigma_{ij}=\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T}(r_{it}-\mu_i)(r_{jt}-\mu_j)其中，r_{it}和r_{jt}分別為證券i和證券j在第t期的收益率，\mu_i和\mu_j分別為證券i和證券j的預(yù)期收益率，T為樣本期數(shù)。協(xié)方差的值可以為正、負或零。當(dāng)\sigma_{ij}>0時，說明證券i和證券j的收益率呈正相關(guān)關(guān)系，即當(dāng)證券i的收益率上升時，證券j的收益率也傾向于上升；當(dāng)\sigma_{ij}<0時，說明證券i和證券j的收益率呈負相關(guān)關(guān)系，即當(dāng)證券i的收益率上升時，證券j的收益率傾向于下降；當(dāng)\sigma_{ij}=0時，說明證券i和證券j的收益率之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。例如，在同一行業(yè)中的兩只股票，由于受到相同的行業(yè)因素影響，它們的收益率可能呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系；而一只股票和一只債券，由于它們的收益來源和風(fēng)險特征不同，收益率可能呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，它消除了變量量綱的影響，更便于比較不同證券之間的相關(guān)性。設(shè)證券i和證券j的相關(guān)系數(shù)為\rho_{ij}，其計算公式為：\rho_{ij}=\frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}其中，\sigma_{ij}為證券i和證券j的協(xié)方差，\sigma_i和\sigma_j分別為證券i和證券j的標(biāo)準(zhǔn)差。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間。當(dāng)\rho_{ij}=1時，說明證券i和證券j完全正相關(guān)，它們的收益率變化趨勢完全一致；當(dāng)\rho_{ij}=-1時，說明證券i和證券j完全負相關(guān)，它們的收益率變化趨勢完全相反；當(dāng)\rho_{ij}=0時，說明證券i和證券j不相關(guān)，它們的收益率之間沒有線性關(guān)系。相關(guān)系數(shù)在投資組合分析中具有重要作用，投資者可以通過選擇相關(guān)系數(shù)較低的證券進行組合投資，以降低投資組合的風(fēng)險。例如，將一只股票和一只黃金投資組合在一起，由于股票和黃金的相關(guān)性較低，這樣的投資組合可以在一定程度上分散風(fēng)險。在險價值（VaR）和條件在險價值（CVaR）是衡量投資組合風(fēng)險的重要指標(biāo)。VaR表示在一定置信水平下，投資組合在未來特定時期內(nèi)可能遭受的最大損失。設(shè)投資組合的損失函數(shù)為L，置信水平為\alpha，則VaR滿足P(L\leqVaR_{\alpha})\geq\alpha，其中P表示概率。CVaR則是在損失超過VaR的條件下，損失的條件均值，即CVaR_{\alpha}=E[L|L\geqVaR_{\alpha}]。例如，在95%的置信水平下，投資組合的VaR為100萬元，這意味著在未來特定時期內(nèi)，有95%的概率投資組合的損失不會超過100萬元；而CVaR為150萬元，表示當(dāng)損失超過100萬元時，平均損失為150萬元。CVaR相較于VaR，更全面地考慮了損失的大小，能夠更準(zhǔn)確地度量投資組合的尾部風(fēng)險。信息熵用于度量投資組合的不確定性。在投資組合中，信息熵越大，說明投資組合的不確定性越高，風(fēng)險也就越大。設(shè)投資組合中包含n種證券，投資于第i種證券的比例為x_i，則投資組合的信息熵H定義為：H=-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i其中，對數(shù)的底數(shù)通常取自然對數(shù)e。信息熵的計算不依賴于證券收益率的對稱分布，能夠有效地度量投資組合中的潛在風(fēng)險和不確定性因素。例如，當(dāng)投資組合中各證券的投資比例相等時，信息熵達到最大值，此時投資組合的不確定性最高；而當(dāng)所有資金集中投資于一種證券時，信息熵為0，不確定性最低。通過明確這些證券收益與風(fēng)險參數(shù)的定義和計算方法，為均值-CVaR-熵模型的構(gòu)建和分析提供了必要的基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，投資者可以根據(jù)這些參數(shù)來評估證券的投資價值和風(fēng)險水平，合理構(gòu)建投資組合，以實現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險最小化的目標(biāo)。3.2均值-CVaR模型的改進3.2.1考慮交易費用的均值-CVaR模型調(diào)整在實際的證券投資活動中，交易費用是一個不可忽視的重要因素，它對投資組合的構(gòu)建和績效有著顯著的影響。交易費用主要包括傭金、手續(xù)費、印花稅等，這些費用在每一次證券交易過程中都會產(chǎn)生，直接減少了投資者的實際收益。當(dāng)不考慮交易費用時，均值-CVaR模型在理論上能夠為投資者提供一種較為理想的投資組合優(yōu)化方案，通過對預(yù)期收益和風(fēng)險的權(quán)衡，確定各證券的投資比例。然而，在現(xiàn)實市場中，交易費用的存在使得投資者在進行投資決策時，需要將其納入考慮范圍。因為交易費用會增加投資成本，改變投資組合的實際收益和風(fēng)險狀況。如果忽視交易費用，可能會導(dǎo)致投資者在實際操作中無法達到模型所預(yù)期的投資效果，甚至可能出現(xiàn)虧損。假設(shè)投資組合中包含n種證券，x_i表示投資于第i種證券的比例，c_i表示對第i種證券進行交易時需要繳納的交易費用比例。則交易費用可以表示為：TC=\sum_{i=1}^{n}c_i|x_i-x_{i0}|其中，x_{i0}表示投資前第i種證券的初始投資比例。在均值-CVaR模型中加入交易費用后，目標(biāo)函數(shù)和約束條件需要進行相應(yīng)的調(diào)整。原均值-CVaR模型的目標(biāo)函數(shù)通常是在給定風(fēng)險水平下最大化預(yù)期收益，加入交易費用后，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)樵诳紤]交易費用的情況下，最大化投資組合的實際收益。原均值-CVaR模型的目標(biāo)函數(shù)為：\max_{x}E[R(x)]=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i調(diào)整后的目標(biāo)函數(shù)為：\max_{x}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\sum_{i=1}^{n}c_i|x_i-x_{i0}|\right)約束條件方面，除了原有的風(fēng)險約束、權(quán)重約束和非負約束外，還需要考慮交易費用對投資組合的影響。由于交易費用的存在，可能會限制投資者對某些證券的投資比例調(diào)整，以避免過高的交易成本。原風(fēng)險約束為：CVaR_{\alpha}(x)\leq\gamma權(quán)重約束為：\sum_{i=1}^{n}x_i=1非負約束為：x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n加入交易費用約束后，模型變?yōu)椋耗繕?biāo)函數(shù)：\max_{x}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\sum_{i=1}^{n}c_i|x_i-x_{i0}|\right)約束條件：\begin{cases}CVaR_{\alpha}(x)\leq\gamma&(é￡?é???o|???)\\\sum_{i=1}^{n}x_i=1&(???é???o|???)\\x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n&(é??è′??o|???)\\\sum_{i=1}^{n}c_i|x_i-x_{i0}|\leqTC_{max}&(?o¤???è′1??¨?o|???)\end{cases}其中，TC_{max}表示投資者設(shè)定的最大交易費用限制。通過設(shè)定最大交易費用限制，投資者可以在控制交易成本的前提下，尋求最優(yōu)的投資組合配置。如果交易費用超過了這個限制，投資者可能需要重新調(diào)整投資組合，以降低交易費用或提高預(yù)期收益?？紤]交易費用后的均值-CVaR模型，更符合實際投資情況，能夠為投資者提供更具實際應(yīng)用價值的投資決策建議。通過對目標(biāo)函數(shù)和約束條件的調(diào)整，該模型能夠幫助投資者在收益、風(fēng)險和交易費用之間進行綜合權(quán)衡，優(yōu)化投資組合配置，提高投資績效。在實際應(yīng)用中，投資者可以根據(jù)自身的風(fēng)險偏好、投資目標(biāo)和交易成本承受能力，合理設(shè)定模型中的參數(shù)，求解出滿足自身需求的最優(yōu)投資組合。3.2.2引入熵函數(shù)的必要性與優(yōu)勢在投資組合理論中，風(fēng)險度量和投資組合的分散化是核心問題。傳統(tǒng)的均值-CVaR模型雖然在一定程度上考慮了投資組合的風(fēng)險和收益，但在處理投資組合的不確定性和分散化方面存在一定的局限性。引入熵函數(shù)能夠有效地彌補這些不足，為投資組合優(yōu)化提供更全面、準(zhǔn)確的方法。熵函數(shù)在投資組合中的必要性主要體現(xiàn)在以下幾個方面：熵函數(shù)能夠度量投資組合的不確定性。投資組合的不確定性源于多種因素，如證券價格的波動、宏觀經(jīng)濟環(huán)境的變化、行業(yè)競爭態(tài)勢的改變等。這些因素使得投資組合的未來收益具有不確定性，而熵函數(shù)可以量化這種不確定性的程度。當(dāng)投資組合中各證券的收益率概率分布越均勻，即各證券的收益情況差異較大且難以預(yù)測時，投資組合的熵值就越高，表明其不確定性越大，風(fēng)險也就越高；反之，當(dāng)投資組合中各證券的收益率概率分布越集中，即各證券的收益情況較為相似且相對穩(wěn)定時，投資組合的熵值就越低，不確定性越小，風(fēng)險也就越低。例如，一個投資組合中包含了多個不同行業(yè)的股票，這些股票的收益率受到不同因素的影響，其概率分布相對均勻，熵值較高，說明該投資組合的不確定性較大，風(fēng)險也較高。而另一個投資組合主要集中投資于少數(shù)幾只同行業(yè)的股票，這些股票的收益率相關(guān)性較高，概率分布相對集中，熵值較低，風(fēng)險相對較小。熵函數(shù)能在一定程度上減少或分散投資組合的風(fēng)險。根據(jù)熵的可加性和擴展性，當(dāng)投資組合中加入新的資產(chǎn)時，如果新資產(chǎn)與原有資產(chǎn)之間的相關(guān)性較低，那么投資組合的熵值會增加，同時也會增加投資組合的分散化程度，從而降低整體風(fēng)險。這是因為不同資產(chǎn)之間的非相關(guān)性使得它們的收益波動相互抵消，減少了投資組合收益的整體波動。投資者可以通過合理選擇不同類型、不同行業(yè)、不同地域的資產(chǎn)進行組合投資，利用熵的這一特性來優(yōu)化投資組合，降低風(fēng)險。例如，在一個只包含股票的投資組合中加入一定比例的債券。由于股票和債券的收益通常具有較低的相關(guān)性，股票市場的波動對債券收益的影響較小，反之亦然。加入債券后，投資組合的熵值增加，投資組合的分散化程度提高，從而在一定程度上降低了投資組合的風(fēng)險。即使股票市場出現(xiàn)大幅下跌，債券的穩(wěn)定收益也可以在一定程度上緩沖投資組合的損失。熵函數(shù)與CVaR相結(jié)合，能夠更全面地評估投資組合的風(fēng)險。CVaR主要關(guān)注投資組合在極端情況下的損失，而熵函數(shù)則側(cè)重于度量投資組合的整體不確定性。將兩者結(jié)合，可以從不同角度對投資組合的風(fēng)險進行分析。在構(gòu)建均值-CVaR-熵模型時，通過同時考慮投資組合的預(yù)期收益、CVaR和熵，可以更準(zhǔn)確地刻畫投資組合的風(fēng)險-收益特征，為投資者提供更科學(xué)的投資決策依據(jù)。對于風(fēng)險偏好較低的投資者，可以在模型中賦予CVaR和熵較大的權(quán)重，以追求更穩(wěn)健的投資組合；而風(fēng)險偏好較高的投資者，則可以適當(dāng)調(diào)整權(quán)重，在一定程度上承擔(dān)更高的風(fēng)險以追求更高的收益。引入熵函數(shù)具有諸多優(yōu)勢。熵函數(shù)不依賴于概率分布的對稱性。在實際金融市場中，證券收益率往往呈現(xiàn)出非對稱的分布特征，傳統(tǒng)的基于對稱分布假設(shè)的風(fēng)險度量方法（如方差）可能無法準(zhǔn)確地刻畫風(fēng)險。而熵函數(shù)能夠有效地度量這種非對稱分布下的不確定性，為投資者提供更全面、準(zhǔn)確的風(fēng)險評估。熵函數(shù)滿足一致性風(fēng)險度量。一致性風(fēng)險度量是指滿足單調(diào)性、正齊次性、平移不變性和次可加性的風(fēng)險度量方法。熵函數(shù)滿足這些性質(zhì)，使得它在投資組合風(fēng)險度量中具有良好的理論基礎(chǔ)和實際應(yīng)用價值。熵函數(shù)還可以通過非數(shù)值型的數(shù)據(jù)計算得到，這為投資組合風(fēng)險度量提供了更多的可能性和靈活性。3.3均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型的建立3.3.1目標(biāo)函數(shù)的確定均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型旨在綜合考慮投資組合的收益、風(fēng)險和不確定性，通過三個目標(biāo)函數(shù)的協(xié)同作用，為投資者提供更科學(xué)的投資決策依據(jù)。目標(biāo)函數(shù)1：收益最大化投資組合的預(yù)期收益是投資者關(guān)注的核心指標(biāo)之一，它直接反映了投資的潛在回報。在均值-CVaR-熵模型中，預(yù)期收益用投資組合中各證券預(yù)期收益率的加權(quán)平均值來表示。設(shè)投資組合中包含n種證券，x_i表示投資于第i種證券的比例，\mu_i表示第i種證券的預(yù)期收益率，則投資組合的預(yù)期收益率E[R(x)]為：E[R(x)]=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i該目標(biāo)函數(shù)的目的是通過合理調(diào)整投資組合中各證券的權(quán)重x_i，使得投資組合的預(yù)期收益率最大化，以滿足投資者對收益的追求。例如，若投資組合中包含股票A和股票B，預(yù)期收益率分別為10%和15%，當(dāng)投資者增加對股票B的投資比例時，投資組合的預(yù)期收益率可能會提高，但同時也可能伴隨著風(fēng)險的增加。目標(biāo)函數(shù)2：CVaR最小化CVaR作為一種有效的風(fēng)險度量指標(biāo)，能夠更全面地反映投資組合在極端情況下的損失。在均值-CVaR-熵模型中，將CVaR最小化作為目標(biāo)函數(shù)之一，有助于控制投資組合的風(fēng)險水平，保障投資的安全性。設(shè)投資組合在置信水平\alpha下的條件在險價值為CVaR_{\alpha}(x)，則該目標(biāo)函數(shù)為：\min_{x}CVaR_{\alpha}(x)通過最小化CVaR，投資者可以降低投資組合在極端市場條件下的潛在損失，提高投資組合的穩(wěn)健性。例如，在市場波動較大的時期，若投資組合的CVaR值較高，意味著在極端情況下可能遭受較大的損失；而通過調(diào)整投資組合的權(quán)重，使CVaR值降低，可以有效減少這種潛在損失。目標(biāo)函數(shù)3：熵最大化熵用于度量投資組合的不確定性，熵值越大，說明投資組合的不確定性越高，風(fēng)險也就越大。在均值-CVaR-熵模型中，將熵最大化作為目標(biāo)函數(shù)之一，是為了在一定程度上增加投資組合的分散化程度，降低風(fēng)險。設(shè)投資組合的信息熵為H(x)，則該目標(biāo)函數(shù)為：\max_{x}H(x)=-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i當(dāng)投資組合中各證券的投資比例相等時，熵值達到最大，此時投資組合的不確定性最高，分散化程度也最高。通過最大化熵值，投資者可以促使投資組合更加分散，降低單一證券對投資組合的影響，從而在一定程度上減少或分散投資組合的風(fēng)險。例如，一個投資組合中，若將資金平均分配到多只不同行業(yè)的股票上，其熵值相對較高，投資組合的分散化程度較好，風(fēng)險相對較低；而若將大部分資金集中投資于一只股票，熵值較低，投資組合的風(fēng)險相對較高。這三個目標(biāo)函數(shù)之間存在著相互制約和平衡的關(guān)系。追求收益最大化可能會導(dǎo)致風(fēng)險增加，而降低風(fēng)險（如通過CVaR最小化）和增加投資組合的分散化程度（如通過熵最大化）可能會在一定程度上犧牲部分收益。因此，在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)投資者的風(fēng)險偏好和投資目標(biāo)，對這三個目標(biāo)函數(shù)進行合理的權(quán)衡和協(xié)調(diào)。3.3.2約束條件的設(shè)定為了確保均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型的合理性和可行性，需要設(shè)定一系列約束條件，這些約束條件從不同方面對投資組合進行限制，以滿足投資者的實際需求和市場的實際情況。權(quán)重非負約束：投資于每種證券的比例不能為負數(shù)，即不允許賣空資產(chǎn)。這是因為在實際投資中，賣空操作存在一定的風(fēng)險和限制，并且對于大多數(shù)普通投資者來說，賣空并非常見的投資策略。用數(shù)學(xué)表達式表示為：x_i\geq0,\i=1,2,\cdots,n其中，x_i表示投資于第i種證券的比例。如果允許賣空，則可以去掉該約束條件，但這會增加投資組合的復(fù)雜性和風(fēng)險。例如，在一個投資組合中，若不允許賣空，投資者只能選擇持有正比例的證券；而允許賣空時，投資者可以通過賣空某些證券來構(gòu)建更復(fù)雜的投資組合，但同時也面臨著賣空證券價格上漲導(dǎo)致無限損失的風(fēng)險。權(quán)重和為1約束：投資組合中所有證券的投資比例之和必須為1，這是為了保證投資組合涵蓋了所有可投資的資產(chǎn)，并且資金得到了充分利用。數(shù)學(xué)表達式為：\sum_{i=1}^{n}x_i=1該約束條件確保了投資者將全部資金分配到不同的證券中，不會出現(xiàn)資金閑置或過度投資的情況。例如，若投資組合中包含三只證券，投資比例分別為x_1、x_2和x_3，則必須滿足x_1+x_2+x_3=1，以保證投資組合的完整性。預(yù)期收益約束：投資者通常會對投資組合設(shè)定一個最低預(yù)期收益率要求，以確保投資能夠達到一定的收益目標(biāo)。設(shè)投資者設(shè)定的最低預(yù)期收益率為R_0，則預(yù)期收益約束條件為：E[R(x)]=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i\geqR_0通過該約束條件，投資者可以篩選出滿足自己收益期望的投資組合。例如，若投資者期望投資組合的年化收益率不低于10%，則在構(gòu)建投資組合時，需要保證投資組合的預(yù)期收益率滿足這一要求。風(fēng)險限制約束：為了控制投資組合的風(fēng)險水平，投資者可以設(shè)定一個最大可接受的CVaR值。設(shè)投資者設(shè)定的最大可接受CVaR值為\gamma，則風(fēng)險限制約束條件為：CVaR_{\alpha}(x)\leq\gamma該約束條件能夠確保投資組合的風(fēng)險在投資者可承受的范圍內(nèi)。例如，若投資者認為在95%的置信水平下，投資組合的CVaR值不能超過5%，則在求解投資組合時，需要保證計算得到的CVaR值滿足這一限制。這些約束條件共同作用，使得均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型更加符合實際投資情況。通過合理設(shè)定約束條件，投資者可以在滿足自身風(fēng)險偏好和投資目標(biāo)的前提下，尋求最優(yōu)的投資組合配置。在實際應(yīng)用中，投資者可以根據(jù)自己的具體情況，靈活調(diào)整約束條件的參數(shù)，以獲得最適合自己的投資組合。3.4模型的求解方法3.4.1線性加權(quán)法原理與應(yīng)用線性加權(quán)法是一種將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題的常用方法，其基本原理是根據(jù)各個目標(biāo)函數(shù)的重要程度，為每個目標(biāo)函數(shù)賦予一個權(quán)重，然后將這些目標(biāo)函數(shù)線性組合成一個新的單目標(biāo)函數(shù)。通過求解這個單目標(biāo)函數(shù)，得到的最優(yōu)解在一定程度上能夠兼顧各個目標(biāo)的要求。在均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型中，線性加權(quán)法的應(yīng)用具有重要意義。該模型包含三個目標(biāo)函數(shù)：收益最大化、CVaR最小化和熵最大化，這三個目標(biāo)之間往往存在相互沖突的關(guān)系。收益最大化可能會導(dǎo)致風(fēng)險（以CVaR衡量）增加，同時也可能降低投資組合的分散化程度（以熵衡量）；而CVaR最小化和熵最大化則可能會在一定程度上犧牲部分收益。為了在這些相互沖突的目標(biāo)之間找到一個平衡，線性加權(quán)法通過為每個目標(biāo)函數(shù)分配權(quán)重，將它們整合為一個綜合目標(biāo)函數(shù)。設(shè)\lambda_1、\lambda_2和\lambda_3分別為收益最大化目標(biāo)函數(shù)、CVaR最小化目標(biāo)函數(shù)和熵最大化目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，且滿足\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1，\lambda_1\geq0，\lambda_2\geq0，\lambda_3\geq0。則通過線性加權(quán)法構(gòu)建的單目標(biāo)函數(shù)Z為：Z=\lambda_1\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\lambda_2CVaR_{\alpha}(x)+\lambda_3\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i\right)其中，\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i為投資組合的預(yù)期收益率，CVaR_{\alpha}(x)為投資組合在置信水平\alpha下的條件在險價值，-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i為投資組合的信息熵。權(quán)重的確定是線性加權(quán)法應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它直接影響到最終的投資組合結(jié)果。權(quán)重的確定方法有多種，常見的包括主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法。主觀賦權(quán)法主要依據(jù)決策者的經(jīng)驗、偏好和判斷來確定權(quán)重。例如，對于風(fēng)險偏好較低的投資者，可能會賦予CVaR最小化目標(biāo)函數(shù)較大的權(quán)重\lambda_2，以強調(diào)對風(fēng)險的控制；而對于追求高收益的投資者，則可能會賦予收益最大化目標(biāo)函數(shù)較大的權(quán)重\lambda_1。主觀賦權(quán)法的優(yōu)點是簡單易行，能夠充分體現(xiàn)決策者的意愿，但主觀性較強，不同的決策者可能會給出不同的權(quán)重?？陀^賦權(quán)法則是根據(jù)數(shù)據(jù)本身的特征和規(guī)律來確定權(quán)重，如變異系數(shù)法、熵權(quán)法等。變異系數(shù)法通過計算各目標(biāo)函數(shù)數(shù)據(jù)的變異系數(shù)來確定權(quán)重，變異系數(shù)越大，說明該目標(biāo)函數(shù)的數(shù)據(jù)波動越大，對決策的影響也越大，因此賦予的權(quán)重也越大。熵權(quán)法是基于信息熵的概念，通過計算各目標(biāo)函數(shù)的信息熵來確定權(quán)重。信息熵越小，說明該目標(biāo)函數(shù)包含的信息量越大，對決策的重要性也越高，從而賦予的權(quán)重也越大?？陀^賦權(quán)法的優(yōu)點是權(quán)重的確定基于數(shù)據(jù)本身，具有較強的客觀性和科學(xué)性，但計算過程相對復(fù)雜，且可能受到數(shù)據(jù)質(zhì)量和異常值的影響。在實際應(yīng)用中，也可以將主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法相結(jié)合，充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢。例如，先通過主觀賦權(quán)法確定各目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的大致范圍，再利用客觀賦權(quán)法在這個范圍內(nèi)進行微調(diào)，以得到更合理的權(quán)重。通過線性加權(quán)法將均值-CVaR-熵多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型后，就可以使用常規(guī)的優(yōu)化算法進行求解，如線性規(guī)劃算法、二次規(guī)劃算法等，從而得到最優(yōu)的投資組合權(quán)重。3.4.2求解過程與步驟求解均值-CVaR-熵模型的過程需要綜合運用線性加權(quán)法和線性規(guī)劃算法，具體步驟如下：步驟一：確定權(quán)重根據(jù)投資者的風(fēng)險偏好和投資目標(biāo)，確定收益最大化目標(biāo)函數(shù)、CVaR最小化目標(biāo)函數(shù)和熵最大化目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重\lambda_1、\lambda_2和\lambda_3，滿足\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1，\lambda_1\geq0，\lambda_2\geq0，\lambda_3\geq0。如前文所述，權(quán)重的確定可以采用主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法或兩者結(jié)合的方法。若投資者風(fēng)險偏好較低，更注重風(fēng)險控制和投資組合的分散化，可能會設(shè)定\lambda_1=0.3，\lambda_2=0.4，\lambda_3=0.3；若投資者追求高收益，則可能設(shè)定\lambda_1=0.5，\lambda_2=0.3，\lambda_3=0.2。步驟二：構(gòu)建單目標(biāo)函數(shù)將確定好的權(quán)重代入線性加權(quán)公式，構(gòu)建單目標(biāo)函數(shù)Z：Z=\lambda_1\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\lambda_2CVaR_{\alpha}(x)+\lambda_3\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i\right)其中，\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i為投資組合的預(yù)期收益率，CVaR_{\alpha}(x)為投資組合在置信水平\alpha下的條件在險價值，-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i為投資組合的信息熵。步驟三：處理CVaR由于CVaR的計算較為復(fù)雜，為了便于求解，需要對其進行轉(zhuǎn)化。引入輔助變量\eta和z，定義一個新的函數(shù)f_{\alpha}(x,\eta)：f_{\alpha}(x,\eta)=\eta+\frac{1}{1-\alpha}E[(L(x)-\eta)^+]其中，(L(x)-\eta)^+=\max\{L(x)-\eta,0\}，L(x)是投資組合的損失函數(shù)?？梢宰C明，CVaR_{\alpha}(x)等于f_{\alpha}(x,\eta)關(guān)于\eta的最小值，即CVaR_{\alpha}(x)=\min_{\eta}f_{\alpha}(x,\eta)。因此，原模型中的CVaR_{\alpha}(x)可以用f_{\alpha}(x,\eta)代替。步驟四：離散化與線性化處理對投資組合的損失函數(shù)L(x)進行離散化處理。假設(shè)市場存在N種可能的情景，在第j種情景下投資組合的損失為L_j(x)。通過引入輔助變量z_j，使得z_j\geqL_j(x)-\eta且z_j\geq0，j=1,2,\cdots,N，將f_{\alpha}(x,\eta)進一步轉(zhuǎn)化為線性形式。此時，單目標(biāo)函數(shù)Z可以表示為：Z=\lambda_1\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\lambda_2\left(\eta+\frac{1}{(1-\alpha)N}\sum_{j=1}^{N}z_j\right)+\lambda_3\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i\right)步驟五：設(shè)置約束條件結(jié)合均值-CVaR-熵模型原有的約束條件，得到完整的優(yōu)化問題：目標(biāo)函數(shù)：\max_{x,\eta,z}\lambda_1\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i-\lambda_2\left(\eta+\frac{1}{(1-\alpha)N}\sum_{j=1}^{N}z_j\right)+\lambda_3\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\logx_i\right)約束條件：\begin{cases}z_j\geqL_j(x)-\eta,\j=1,2,\cdots,N&(è??????o|???)\\z_j\geq0,\j=1,2,\cdots,N&(é??è′?è??????o|???)\\\sum_{i=