廣東省深圳市坪山實驗學校、桂園中學2025-2026學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷一、單選題1．方程的根是()A． B．C． D．2．用配方法解方程，則配方正確的是（）A． B． C． D．3．要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（

）A．測量兩條對角線是否相等B．度量兩個角是否是90°C．測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D．測量兩組對邊是否分別相等4．某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，那么符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（

）A．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”B．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的點數(shù)是6C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭”D．袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球5．“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥，如圖，將邊長為的正方形沿對角線方向平移得到正方形，形成一個“方勝”圖案，則點，之間的距離為（

）A． B． C．2 D．6．已知關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則另一個關(guān)于x的方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，7．在2020年元旦期間，某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當銷售價為2900元時，平均每天能銷售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？設每臺冰箱定價元，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．8．在如圖所示的中，，分別為邊，的中點，點，分別在邊，上移動（不與端點重合），且滿足，則下列為定值的是（

）A．四邊形的周長 B．的大小C．四邊形的面積 D．線段的長二、填空題9．已知是方程的一個實數(shù)根，則的值為．10．如圖1，在面積為的正方形內(nèi)部有一不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），為測算陰影部分面積，小亮利用計算機進行模擬試驗，通過計算機在正方形區(qū)域隨機投放一個點，并記錄該點落在陰影上的頻率數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖2所示．小亮由此估計陰影部分面積約為．11．圖（1）是一種利用了四邊形不穩(wěn)定性設計的千斤頂．如圖（2）所示，該千斤頂?shù)幕拘螤钍且粋€菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋矗g的距離）．已知，，當千斤頂升高時，四邊形為正方形．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）12．☆|數(shù)學文化《幾何原本》歐幾里得的《幾何原本》中記載，形如的方程的圖解法如下：如圖，以和b為兩直角邊長作，再在斜邊上截取則的長就是所求方程的正根．利用以上方法解關(guān)于x的一元二次方程時，若構(gòu)造后的圖形滿足，則m的值為．13．如圖，已知正方形與正方形，，分別是，的中點，當點落在線段上時，點恰好在上．記正方形的面積為，正方形的面積為，則．三、解答題14．解一元二次方程時，兩位同學的解法如下：甲同學：或或乙同學：，，，，此方程無實數(shù)根．(1)你認為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．甲同學的解法__________，乙同學的解法__________．（填“正確”或者“不正確”）(2)請選擇合適的方法解一元二次方程．15．如圖，某景區(qū)停車場有A，B兩個停車區(qū)域，其中，A區(qū)剩余2個空車位，B區(qū)剩余3個空車位．甲、乙兩輛車隨機停入這5個空車位中，每個車位只能停一輛車．(1)甲停在A區(qū)的概率是_______；(2)求甲、乙停在相同區(qū)域的概率．16．尺規(guī)作圖（僅用無刻度的直尺和圓規(guī)）：(1)如圖1，南南用尺規(guī)分別以的點A，B為圓心，為半徑畫圓弧，交于點E，F(xiàn)，連接．請你證明四邊形為菱形．(2)在圖2中，請用尺規(guī)在的邊上分別作出點E，F(xiàn)，使四邊形為菱形．（要求：方法與（1）不同，保留作圖痕跡，不要求證明）17．已知關(guān)于的方程，為常數(shù)．(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；(2)小明認為該方程的根不會為0，他的觀點正確嗎？請說明理由．18．荔枝是廣東省的特產(chǎn)之一．請你運用數(shù)學知識，根據(jù)素材，幫果農(nóng)解決問題．信息及素材素材一在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導下，果農(nóng)對荔枝種植養(yǎng)護技術(shù)進行了研究與改進，使產(chǎn)量得到了增長，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2023年荔枝平均每株產(chǎn)量是250千克，2025年達到了360千克，每年的增長率基本相同．素材二荔枝一般用長方體包裝盒包裝后進行售賣．素材三果農(nóng)們通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，顧客們也很愿意購買美觀漂亮的其它造型的包裝紙盒．（1）任務1：求荔枝平均每株產(chǎn)量的年平均增長率；（2）任務2：現(xiàn)有長，寬的長方形紙板，將四角各裁掉一個正方形（如圖1），折成無蓋長方體紙盒（如圖2），為了裝下適當數(shù)量的荔枝，需要設計底面積為的紙盒，計算此時紙盒的高；（3）任務3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務2中的紙板通過圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無蓋紙盒（如圖4），則此時紙盒的高為____________．（圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計）19．閱讀材料：材料1：一元二次方程的兩根，有如下的關(guān)系（韋達定理）：，．材料2：有些數(shù)學問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是我們能夠通過構(gòu)造一元二次方程，并利用一元二次方程的有關(guān)知識將其解決．下面介紹兩種基本構(gòu)造方法：方法1：利用根的定義構(gòu)造．例如，若實數(shù)、滿足、，且，則可將、看作是方程的兩個不相等的實數(shù)根．方法2：利用韋達定理逆向構(gòu)造．例如，如若實數(shù)、滿足、，則可以將、看作是方程的兩實數(shù)根．根據(jù)上述材料解決下面問題：(1)已知實數(shù)、，且，滿足、，則的值為___________；(2)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，若滿足，求的值；(3)已知實數(shù)、、滿足、，且，求的最大值．20．如圖1，在矩形中，，，、分別是、上的點（不含端點），．連接，將四邊形沿所在直線對折，得到四邊形，點、的對應點分別為點、．備用圖1

備用圖2(1)若，當時，__________；當時，__________．(2)如圖2，當點恰好落在的中點，交于點，，求的值．(3)若，，當所在直線經(jīng)過矩形的頂點時，直接寫出的值．

參考答案題號12345678答案CCCBABBC1．C【詳解】解：，，故選：C．2．C【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：C．3．C【詳解】解：A、測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、度量兩個角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不符合題意；C、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項C符合題意；D、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C．4．B【詳解】根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，隨著試驗次數(shù)的增多頻率穩(wěn)定在以上，以下，A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時結(jié)果是“正面向上”的概率是，本選項不符合題意；B、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的點數(shù)是的概率是，本選項符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭”的概率是，本選項不符合題意；D、袋子中有個白球和個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球的概率是，本選項不符合題意；故選：B．5．A【詳解】解：由題意得，四邊形是正方形，，，，點D，之間的距離為，故選：A．6．B【詳解】解：令，則方程即為方程，∵方程的解是，∴方程的解是，，∴或，解得，，，∴方程的解是，，．故選：B．7．B【詳解】解：設定價為元，則單臺利潤為元．售價降低元，對應降價次數(shù)為次，銷量增加臺，總銷量為．總利潤方程為：故選：B．8．C【詳解】解：連接，在中，，分別為，中點，且，，，且，四邊形是平行四邊形，，同理，且．∴四邊形是平行四邊形，則與的面積分別為與面積的一半，四邊形的面積，四邊形的面積始終為面積的一半，是定值．選項A：、等邊長隨、移動變化，周長不定，錯誤．選項B：隨位置改變，錯誤．選項D：長度隨、移動改變，錯誤．綜上，四邊形的面積是定值，故選：．9．2030【詳解】解：將代入，得，∴，∴．故答案為：．10．22.4【詳解】解：由折線統(tǒng)計圖知，隨著實驗次數(shù)的增加，點在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在，于是把作為概率．設不規(guī)則圖案的面積為，則有，解得：，即不規(guī)則圖案的面積為．故答案為：．11．17【詳解】解：連接，與相交于點O．∵四邊形是菱形，∴，，．當時，是等邊三角形．∴；當時，，則，∴，∴，因此增加的高度為．答：千斤頂升高了；故答案為：17．12．【詳解】解：根據(jù)題意，構(gòu)造圖形如圖所示:則，，∵，∴，即m就是的一個正根，∴解得(負值已舍)．故答案為：．13．【詳解】解：連接，過點作，的延長線交于點，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，分別是，的中點，∴，，∴四邊形，四邊形都是矩形，∵，，∴，∴四邊形，四邊形都是矩形，設，，則，，，∴，，∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，是對角線，∴是線段的垂直平分線，∴，在中，由勾股定理得，∴，整理得：，解這個關(guān)于的方程得，或（不合題意，舍去），∴，在中，由勾股定理得：，∴正方形的面積，∵，∴正方形的面積，∴，故答案為：．14．(1)不正確，不正確；(2)，【詳解】（1）解：甲同學的解法不正確，理由是用因式分解法時未將方程化為“右邊為0”的形式（應為），直接拆分導致錯誤；乙同學的解法不正確，理由是未將方程化為一般式，錯誤確定的值（實際而非3），使判別式計算錯誤．故答案為：不正確，不正確；（2）解，先將方程化為一般式：，此方程中，，，，計算判別式∵，方程有兩個不相等的實數(shù)根，代入求根公式得：．∴方程的解為，．15．(1)(2)【詳解】（1）解：∵甲車停放的所有可能結(jié)果有5種，停在A區(qū)的只有2種，∴甲能夠停放在A區(qū)的概率是；（2）解：分別將、兩個停車區(qū)域的空車位即為“”“”“”“”“”，則根據(jù)題意列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：，共有10種，它們出現(xiàn)的可能性相同．所有的結(jié)果中，滿足“甲、乙兩人停在相同區(qū)域”（記為事件）的結(jié)果有4種，即，所以．16．(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形∴，即，由作圖知，∴四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是菱形；（2）解：如圖，四邊形即為所求作：作圖理由：∵平分，平分，∴，，∵∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，，∴，，∴，，同理（1）四邊形是菱形．17．(1)(2)正確，理由見解析【詳解】（1）解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，，；（2）解：假設，則，，方程沒有實數(shù)根，小明的觀點正確．18．（1）荔枝平均每株產(chǎn)量的年平均增長率為；（2）此時紙盒的高為；（3）．【詳解】解：（1）任務1：設荔枝平均每株產(chǎn)量的年平均增長率為，由題意得：，；，（不符合題意舍去）答：荔枝平均每株產(chǎn)量的年平均增長率為；（2）任務2：設裁掉正方形的邊長為，由題意得：，解得：，（不符合題意舍去），答：此時紙盒的高為；（3）任務3：如圖，設底面正六邊形為，連接、、，和交于點，和交于點，所在直線交長方形紙板的邊于點設底面正六邊形的邊長為，紙盒的高為，正六邊形的每條邊相等，每個內(nèi)角都為，為等腰三角形，，，由正六邊形的性質(zhì)可得平分，，，直角三角形中，，，同理直角三角形中，，，，①，左側(cè)小三角形頂點的角度，左側(cè)小三角形為邊長的等邊三角形，根據(jù)圖形的上下對稱可得與長方形紙板的左右兩邊垂直，為等邊三角形的高，，同理可得，，四邊形為矩形，，，②，聯(lián)立①②式可得，答：紙盒的高為cm．19．(1)(2)(3)的最大值為1【詳解】（1）解：實數(shù)、，且，滿足、，實數(shù)、（）是一元二次方程的兩根，，故答案為：；（2）解：方程兩個實數(shù)根，，若滿足，，無解或，，，，，．（3）解：，，將、看作是方程的兩實數(shù)根；，而，，，即，的最大值為1．20．(1)(2)(3)【詳解】（1）解：如圖：∵矩形，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴；∵將四邊形沿所在直線對折，得到四邊形，∴，∴，∵，