吉林省長春北湖學校2025-2026學年九年級上學期第一次月考數學試卷一、單選題1．若代數式有意義，則x應滿足的條件為（

）A． B． C． D．2．若一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A．2 B． C．4 D．3．如圖，，若，，，則的長為（

）A．8 B．6 C．4 D．94．用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖為固定電線桿AC，在離地面高度為7米的A處引拉線AB，使拉線AB與地面BC的夾角為α，則拉線AB的長為（

）A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米6．如圖，是的邊上的一點，那么下列四個條件不能單獨判定的是（

）A． B．C． D．7．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面積為4，則△DEF的面積為（）A．2 B．6 C．8 D．98．如圖，矩形的頂點A、B分別在反比例函數與的圖像上，點C、D在x軸上，、分別交y軸于點E、F，則陰影部分的面積等于（

）A． B．2 C． D．二、填空題9．如果，那么．10．一元二次方程的解是．11．關于的一元二次方程沒有實數根，則的取值范圍為．12．如圖,中,，點E為的中點，點D在上，且、相交于點F，若，則等于．13．如圖，放在正方形網格紙的位置如圖，則的值為．14．如圖，在菱形中，，點、分別是邊、上的點，連接，將菱形沿翻折，使點的對稱點落在對角線上，給出下面四個結論：①；②若，則；③若菱形邊長為4，是的中點，連接，則；④若，，則；上述結論中，正確的序號有．三、解答題15．計算題：(1)；(2)．16．解方程：(1)；(2)．17．已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．(2)若方程的一個根是，求的值和方程的另一個根．18．圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、M、N均在格點上，在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按要求畫圖，保留適當的作圖痕跡，不要求寫出畫法．(1)如圖①，．(2)如圖②，在線段上找一點E，使．(3)如圖③，在線段上找一點F，連接，使．19．習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某市圖書館為推廣全民閱讀活動，決定加大圖書購置經費的投入．一月份投入圖書購置經費50萬元，3月份投入72萬元．求該市這兩個月投入圖書購置經費的平均增長率．20．如圖，在中，，為邊上的中線，于點．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．21．小軍和小文利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高度．如圖所示，已知建筑物的高為15米，某一時刻，他們在陽光下分別測得的影長為24米，小軍的影長為米，其中四點在同一直線上，三點在同一直線上，且，．(1)線段與線段之間的位置關系為_________；(2)已知小軍的身高為米，求旗桿的高．22．閱讀與思考：我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值．例如：當取何值時，代數式有最?。ɑ蜃畲螅┲?？，，當時，代數式有最小值．【直接應用】（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：__________；（2）求當取何值時，代數式有最大或最小值？這個最大或最小值是多少？【知識遷移】（3）如圖，學校打算用長20米的籬笆圍一個長方形的生物園，生物園的一面靠墻（墻足夠長），設垂直于墻的一邊長為米，當為何值時，圍成的生物園的面積最大？最大面積是多少？23．【定理】三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．【應用】如圖①，在中，點P、Q分別是邊、的中點，連結，若，則線段的長為________．【探究】如圖②，在應用的條件下，點為平面上的一點（與不平行），點M為線段的中點，連結、，當時，求的長．【拓展】如圖②，在探究的條件下，若，當的面積最大時，直接寫出的度數．24．如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，沿以每秒4個單位長度的速度向終點運動．過點作交邊或邊于點，且點不與點、重合，點不與點重合，設線段的中點為，將截得到的小三角形繞點旋轉，得到．設點的運動時間為秒．(1)的長為___________；(2)用含的代數式表示線段的長；(3)當點落在的一邊上時，求的長；(4)在點運動過程中，直接寫出射線平分面積時的長．

參考答案題號12345678答案BACDDCDD1．B【詳解】解：由題意得：，∴，故選：B．2．A【詳解】解：把代入方程可得，解得，故選：A．3．C【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴．故選：C．4．D【詳解】解：，移項得，配方得，即，故選：D．5．D【詳解】在中，，，，，故選：D．6．C【詳解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合題意，即A、B都不符合題意；∵是公共角，再加上，即可判定，則選項D不符合題意；選項C中的對兩邊成比例，但不是相應的夾角相等，不能，符合題意．故選C．7．D【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，OB：OE＝2：3，∴S△ABC:S△DEF=(2:3)2=4:9，∵△ABC的面積為4，∴S△DEF=9故選D．8．D【詳解】解：設點，，則，∴點B的縱坐標為，∵B在上∴點B的橫坐標為，，∵在矩形中，，∴，又∵,∴,∴，，，，．故選：D．9．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．10．，【詳解】解：，，，，故答案為：，．11．k＞1【詳解】解：由題意得：，解得k＞1．故答案為：k＞1．12．【詳解】解：由條件可知：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．13．/0.5【詳解】解：如圖，連接，由圖可知，，，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．14．①②④【詳解】解：四邊形是菱形，，，∴是等邊三角形，，；由折疊性質可知，，，，又∵，，故①正確；，，故②正確；如圖，過點M作交的延長線于點，在中，，由菱形的性質可得，，∴，是的中點，，，∴，故③錯誤；設，則由折疊的性質可得，；，，，解得或（舍去）；∴，故④正確；故正確的有：①②④．故答案為：①②④．15．(1)2(2)【詳解】（1）解：；（2）解：．16．(1)，(2)，【詳解】（1）解：或，解得或，∴原方程的解為：，；（2）解：，，，∴，∴或，∴原方程的解為：，．17．(1)見解析(2)的值為1，方程的另一個根為【詳解】（1）證明：∵，∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．（2）解：將代入方程可得：，∴，∴該方程為，∴，∴，∴的值為1，方程的另一個根為．18．(1)(2)圖見詳解(3)圖見詳解【詳解】（1）解：由圖可知：，，∴；故答案為；（2）解：所作圖形如下：（3）解：所作圖形如下：19．該市這兩個月投入圖書購置經費的平均增長率為【詳解】解：設該市這兩個月投入圖書購置經費的平均增長率為，根據題意得：，解得：，（不合題意，舍去）答：該市這兩個月投入圖書購置經費的平均增長率為．20．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，為邊上的中線，∴，∵，∴，∵，∵，∴；（2）解：∵為邊上的中線，，∵，∵，，∴，即，∴．21．(1)平行(2)米【詳解】（1）解：∵太陽光線是平行光線，∴，故答案為：平行；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，過點作交于，，同理得：，∴，∴（米），∴旗桿的高為米．22．（1）9；（2）當時，代數式有最小值，最小值為；（3）當時，圍成的生物園面積最大，最大面積為50平方米【詳解】解：（1）根據題意得：，故答案為：9；（2），當時，代數式有最小值，最小值為；（3）設生物園的面積為，則，當，即時，S取得最大值，最大值為50平方米．23．6；6；或【詳解】解：應用：∵，點、分別是邊、的中點，∴是中位線，∴，線段的長為6，故答案為：6；探究：，，點為線段的中點，點為線段的中點，∴是中位線，，，，，的長是6；拓展：如圖②，作交的延長線于點，，且，當時，，當的面積最大時，，分以下兩種情況討論：如圖③，點在直線的下方，設交于點，、、分別為、、的中點，∴，，，，；如圖④，點在直線的上方，延長交于點，、、分別為、、的中點，∴，，，，，綜上所述，的度數為或．24．(1)(2)或(3)或(4)或【詳解】（1）解：∵在中，，，∴；（2）解：當點與點重合，即時，∵，∴∴，，∴此時；當點在上（不包括端點），即時，，，∴，∴∴∴，∴；當點在上（不包括端點），即時，同理可得，∴∴綜上，線段的長為或．（3）解：當點落在上時，如圖，同理可證明∴，又∵，∴，∴，∴，由旋轉可知，∴，∴，∴，即，∴，∴；