函數(shù)的奇偶性一、設(shè)計(jì)意圖課標(biāo)依據(jù)本節(jié)課依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求設(shè)計(jì)。課標(biāo)在“函數(shù)”主題中明確指出，學(xué)生要“結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何特征”，并“能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”。同時(shí)，課標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（“四能”）。奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)形態(tài)、簡(jiǎn)化函數(shù)分析的重要工具，本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷函數(shù)奇偶性概念的生成過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)。教材分析“函數(shù)的奇偶性”位于人教A版必修一第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的第三節(jié)。它在學(xué)習(xí)了函數(shù)定義、定義域、值域及單調(diào)性之后，是函數(shù)性質(zhì)研究的深入和延續(xù)?！こ猩蠁⑾拢汉瘮?shù)的單調(diào)性是從“y隨x的增大如何變化”的角度刻畫(huà)函數(shù)的局部性質(zhì)，而奇偶性則是從“圖象的對(duì)稱性”和“函數(shù)值的對(duì)稱關(guān)系”角度刻畫(huà)函數(shù)的整體性質(zhì)。兩者共同構(gòu)成了研究函數(shù)性質(zhì)的基本維度。·知識(shí)脈絡(luò)：本節(jié)內(nèi)容是后續(xù)研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)性質(zhì)的重要工具。例如，研究三角函數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)時(shí)，其奇偶性是一個(gè)基礎(chǔ)且關(guān)鍵的屬性?！に枷敕椒ǎ航滩膹木唧w函數(shù)圖象的對(duì)稱性直觀引入，再到代數(shù)符號(hào)定義，最后回到幾何應(yīng)用，注重引導(dǎo)學(xué)生從圖像和代數(shù)表達(dá)式兩方面理解奇偶性本質(zhì)，本節(jié)課蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合（由形到數(shù)，由數(shù)到形）、從特殊到一般、從具體到抽象、符號(hào)表示等，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的優(yōu)質(zhì)載體。學(xué)情分析知識(shí)上，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念、定義域、值域以及函數(shù)的三種表示方法，并學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)有了一定的經(jīng)驗(yàn)和方法，對(duì)如何用代數(shù)符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)有初步的體驗(yàn)。能力上，高一學(xué)生具備一定的觀察、歸納和抽象能力，但用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)數(shù)學(xué)概念的能力仍較薄弱。他們習(xí)慣于直觀感知，但在“用數(shù)釋形，用形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化上可能存在困難?？赡苡龅降睦щy，例如EQ\o\ac(○,1)概念理解：容易將“偶函數(shù)”與“關(guān)于y軸對(duì)稱”、“奇函數(shù)”與“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”當(dāng)作兩個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，而非等價(jià)的不同表征。EQ\o\ac(○,2)符號(hào)語(yǔ)言：對(duì)關(guān)系式f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)的理解可能停留在機(jī)械記憶層面，難以理解其幾何意義及其所揭示的“對(duì)稱性”本質(zhì)。EQ\o\ac(○,3)判斷步驟：在判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，容易忽略先求函數(shù)定義域并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一關(guān)鍵前提。思維上，學(xué)生易于接受直觀的圖形特征，但將圖形特征轉(zhuǎn)化為精確的代數(shù)定義，并理解其本質(zhì)（對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立）存在一定困難。教學(xué)中需通過(guò)大量正反實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，突破認(rèn)知障礙。針對(duì)以上學(xué)情，本節(jié)課將采用問(wèn)題導(dǎo)向、合作探究的教學(xué)方式，設(shè)計(jì)豐富的直觀圖象和具體函數(shù)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自主建構(gòu)概念，并通過(guò)正反例辨析，深化對(duì)概念本質(zhì)的理解。二、教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及其幾何意義；掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟；能運(yùn)用函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的繪制和分析，能根據(jù)定義判斷函數(shù)奇偶性。2、過(guò)程與方法：通過(guò)觀察圖像、歸納總結(jié)、抽象概括的過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力和邏輯推理能力；通過(guò)小組討論、自主探究，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。教學(xué)重點(diǎn)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及判斷方法。教學(xué)難點(diǎn)理解奇偶性定義中“對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）”的含義，以及定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的必要性。教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課首先展示一組圖片：剪紙、蝴蝶、風(fēng)車(chē)等，其次展示函數(shù)f(x)=x2和f(x)=x3的圖像，引導(dǎo)學(xué)生“對(duì)稱是大自然和人類文明中的一種普遍現(xiàn)象，給人以和諧、平衡之美。在數(shù)學(xué)函數(shù)的世界里，同樣存在著這樣的對(duì)稱美。今天，我們就一起來(lái)探尋函數(shù)中的對(duì)稱性——函數(shù)的奇偶性?！毙蕾p圖片，感受對(duì)稱美。提出問(wèn)題：“這些函數(shù)圖像有什么共同特征？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這種對(duì)稱性？”2、精講留白，形成概念?觀察實(shí)例：分析f(x)=x2、f(x)=|x|的圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；分析f(x)=x3、f(x)=1/x的圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。?代數(shù)探究：填寫(xiě)表格，計(jì)算f(1)與f(-1)，f(2)與f(-2)等的值，發(fā)現(xiàn)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等；圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)值互為相反數(shù)。?抽象定義：偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)叫做偶函數(shù)。圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x)叫做奇函數(shù)。圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。?深化理解：奇、偶函數(shù)是定義域內(nèi)性質(zhì)，是“整體性質(zhì)”；奇函數(shù)、偶函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則不具備奇偶性；不具有奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)、即奇又偶函數(shù)有且僅有一個(gè)，即f(x)=0；若奇函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則一定有f(0)=0。3、應(yīng)用新知，例題講解?例1、判斷函數(shù)f(x)=x2-1的奇偶性。（步驟：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)的關(guān)系，最后得結(jié)論）解：已知函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=（-x）2-1=x2-1=f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)。?例2：判斷函數(shù)f(x)=x+1的奇偶性。（步驟：強(qiáng)調(diào)定義域?qū)ΨQ是前提，此函數(shù)定義域?qū)ΨQ但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，為非奇非偶函數(shù)）解：已知函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=-x-1≠f(x)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。?例3：判斷函數(shù)f(x)=3x3的奇偶性。（步驟：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)的關(guān)系，最后得結(jié)論）解：已知函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=3（-x）3=-3x3=-f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)。?例4：判斷函數(shù)f(x)=|x|+1（x>0）的奇偶性。（步驟：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)）解：已知函數(shù)定義域?yàn)閤>0，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。4、課堂練習(xí)，獨(dú)立內(nèi)化學(xué)生根據(jù)要求在10分鐘內(nèi)完成導(dǎo)學(xué)案上的練習(xí)題，教師進(jìn)行巡視指導(dǎo)，針對(duì)典型錯(cuò)誤進(jìn)行講解，對(duì)精講部分有疑惑的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充講解。?練習(xí)1、若函數(shù)f(x)=a·3x為偶函數(shù)，則a=（）（步驟：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用已知函數(shù)為偶函數(shù)的條件帶入特殊值，來(lái)計(jì)算參數(shù)值）解：（方法一）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)即3a+1/3=a/3+3故而a=1得出結(jié)論。（方法二）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)故而a=1得出結(jié)論。?練習(xí)2、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=2·x2-x，則f(1)=()（步驟：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用已知函數(shù)為奇函數(shù)的條件帶入特殊值，來(lái)計(jì)算參數(shù)值）解：（方法一）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)為奇函數(shù)，則f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3得出結(jié)論。（方法二）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),故而f(1)=-3得出結(jié)論。5、小組討論，深化理解以小組為單位，進(jìn)行討論交流，抒發(fā)自己的講解，表達(dá)出個(gè)人對(duì)本堂課的理解和感悟，與組內(nèi)同學(xué)進(jìn)行分享交流，并選出代表發(fā)言講解。6、課堂小結(jié)：師生共同總結(jié)奇偶性定義、判斷步驟和圖像特征，強(qiáng)調(diào)定義域?qū)ΨQ的重要性。提問(wèn)：“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？”引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想層面進(jìn)行總結(jié)：知識(shí)：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（數(shù)與形兩個(gè)方面）。方法：判斷函數(shù)奇偶性的步驟。思想：數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般?；仡櫡此?，踴躍發(fā)言，分享所學(xué)、所感、所思。幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)認(rèn)知，感悟數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的升華。作業(yè)布置分層作業(yè)：必做題：課本P85習(xí)題3.2第1,2題。選做題：1、探究：一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，它可能是什么樣子？試舉例。2、思考：奇函數(shù)和偶函數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算后，所得函數(shù)的奇偶性有何規(guī)律？記錄作業(yè)。必做題鞏固基礎(chǔ)，選做題滿足學(xué)有余力學(xué)生的需求，激發(fā)探究精神，將學(xué)習(xí)延伸到課外。板書(shū)設(shè)計(jì)§3.2.1函數(shù)的奇偶性1、概念偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)叫做偶函數(shù)。圖像關(guān)于y軸對(duì)稱2、奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x)叫做奇函數(shù)。圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。二、判斷步驟a.求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱b.求f(-x)C.下結(jié)論(f(-x)vsf(x))三、例題例1、例2、例3、例4三、教學(xué)反思本節(jié)課基本完成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，課堂氣氛活躍，學(xué)生參與度較高。成功之處在于：1.情境導(dǎo)入有效：通過(guò)美麗的對(duì)稱圖案，迅速吸引了學(xué)生的注意力，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。2.概念生成自然：采用“觀察圖象—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—數(shù)值驗(yàn)證—抽象定義”的探究路徑，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生真正成為了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者和建構(gòu)者，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)。3.重難點(diǎn)突出：始終強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則，并通過(guò)反例進(jìn)行辨析，使學(xué)生留下了深刻印象。例題設(shè)計(jì)有層次，既有正面鞏固，也有反面辨析。不足之處在于：1.時(shí)間分配可優(yōu)化：在“合作探究”環(huán)節(jié)，為了讓學(xué)生充分討論，時(shí)間比預(yù)想的要長(zhǎng)，導(dǎo)致后面的“課堂練習(xí)”時(shí)間稍顯倉(cāng)促，未能讓更多學(xué)生展示他們的練習(xí)成果。2.個(gè)別關(guān)注待加強(qiáng)：在小組討論中，傾向于關(guān)注討論熱烈的小組，對(duì)一些沉默或存在困難的學(xué)生個(gè)體關(guān)注和引導(dǎo)不夠。3.技術(shù)應(yīng)用可深化：幾何畫(huà)板的使用仍以教師演示為主，未來(lái)可以嘗試讓學(xué)生動(dòng)手操作，更深入地體驗(yàn)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)過(guò)程。改進(jìn)設(shè)想：在后續(xù)平行班的教學(xué)中，可將“探究發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)的問(wèn)題設(shè)計(jì)得更具引導(dǎo)性和階梯性，以控制好時(shí)間。同時(shí)，設(shè)計(jì)更細(xì)致的課堂觀察表，確保對(duì)每一位學(xué)生的思維狀態(tài)都有所把握。四、專家點(diǎn)評(píng)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)完整，脈絡(luò)清晰，充分體現(xiàn)了新課程理念，是一節(jié)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)概念課例。優(yōu)點(diǎn)突出表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：第一，注重學(xué)生主體地位，強(qiáng)調(diào)概念生成過(guò)程。教師沒(méi)有直接將奇偶性的定義灌輸給學(xué)生，而是巧妙地設(shè)計(jì)了從直觀圖象到數(shù)量關(guān)系的探究鏈條。通過(guò)精心設(shè)置的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，自己發(fā)現(xiàn)f(-x)與f(x)的特定關(guān)系，從而自然抽象出數(shù)學(xué)定義。這個(gè)過(guò)程有效地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)。第二，深刻把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，突破教學(xué)難點(diǎn)。教師準(zhǔn)確抓住了“數(shù)形結(jié)合”和“定義域?qū)ΨQ性”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)始終圍繞“形”的對(duì)稱與“數(shù)”的對(duì)稱之間的等價(jià)關(guān)系展開(kāi)，使學(xué)生理解奇偶性是函數(shù)的一種“對(duì)稱關(guān)系”，而非孤立的結(jié)論。同時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)并驗(yàn)證定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提，通過(guò)反例強(qiáng)化認(rèn)知，夯實(shí)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維基礎(chǔ)。第三，教學(xué)環(huán)節(jié)流暢，活動(dòng)設(shè)計(jì)豐富有效。從情境導(dǎo)入、直觀感知，到合作探究、例題精講，再到練習(xí)小結(jié)，環(huán)環(huán)相扣，過(guò)渡自然。采用了觀察、猜想、驗(yàn)證、概括、應(yīng)用等多種學(xué)習(xí)方式，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，課堂張力十足。一點(diǎn)建議：在應(yīng)用新知環(huán)節(jié)，例（4）f(x)=√(x2)的處理非常精彩，若能在此處順勢(shì)引出f(x)=|x|，并將其圖象與f(x)=x2的圖象一同展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察雖然解析式不同，但對(duì)稱性（偶函數(shù)）相同，或許能更進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)“函數(shù)性質(zhì)由對(duì)應(yīng)法則決定，而非解