第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)能力提升精練

4.[2020北京大興區(qū)期末]如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,若∠EAC=2∠CAD,則∠BAE的度數(shù)為

.

【解析】

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠EAC=2∠CAD,∴∠EAD=3∠ODA.在Rt△ADE中,∠EAD+∠ODA=90°,∴∠ODA=22.5°,∴∠BAE=90°-∠EAD=90°-3∠ODA=22.5°.5.[2019浙江寧波中考]如圖,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上,頂點(diǎn)F,H在菱形ABCD的對(duì)角線BD上.(1)求證:BG=DE.(2)若E為AD的中點(diǎn),FH=2,求菱形ABCD的周長.【解析】

(1)在矩形EFGH中,EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH,∴BG=DE.(2)如圖,連接EG.在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∵E為AD的中點(diǎn),∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG,∴四邊形ABGE為平行四邊形,∴AB=EG.在矩形EFGH中,EG=FH=2,∴AB=2,∴菱形ABCD的周長為2×4=8.6.如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊,使點(diǎn)B落到點(diǎn)B'的位置,AB'與CD交于點(diǎn)E.(1)試找出一個(gè)與△AED全等的三角形,并加以證明;(2)若AB=8,DE=3,P為線段AC上的任意一點(diǎn),PG⊥AB'于點(diǎn)G,PH⊥DC于點(diǎn)H,試求PG+PH的值.

7.[2021河南鄭州龍門實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考]數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對(duì)角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線,則所容兩長方形面積相等(如圖1所示)”這一推論,他從這一推論出發(fā),利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.(以上材料來源于《古證復(fù)原的原則》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》)(1)請(qǐng)根據(jù)圖1完成以上推論的證明過程.證明:∵S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(

+

),

易知S△ADC=S△ABC,

=

,

=

,

∴S矩形NFGD=S矩形EBMF.(2)如圖2,點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),過點(diǎn)