注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其

應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合M={x|x2<1},N={x|1—3x<0},則MUN=

AB.(一∞,1)C.(一1,1)D.(一1,十∞)

2.下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是

A.Vx∈Q,3x2∈QB.3x∈(0,1),x2=√5-1

封

C.菱形的對角線互相垂直平分D.在40到50之間至少有兩個質(zhì)數(shù)

3.若sinα=2cosa,tanβ=5,則tan(a一β)=

ABCD

4.若函數(shù)(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則a的取值范圍是

ABCD

線

5.若|x|+lyl=1(xy≠0),則的最小值為

A.8B.6+2√5C.10D.5+2√6

6.為了測量某古塔(點A為塔頂，點B為A在地平面上的射影)的高度，小張

遙控?zé)o人機從地平面垂直向上飛行10米后，無人機懸停在古塔外面的C處

進行拍攝，拍到觀測塔頂A的仰角為60°,然后小張遙控?zé)o人機朝著水平方

向(即垂直于直線AB的方向)沿直線飛行6米到達D處，且D距離A比C

距離A更遠(A,B,C,D四點共面),最后小張遙控?zé)o人機沿著直線朝著塔

頂A飛了14米恰好到達塔頂A.若將無人機視為質(zhì)點，則該古塔的高度約為

A.16.6米B.17.3米C.18.7米D.19.2米

僅供發(fā)貨使用【高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】

7.已知函數(shù)f(x)=x?—ax3+x,則“是“f(x)有4個極值點”的

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

8.已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，2.722=7.3984,2.723=20.123648.若

,則

A.b>c>aB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)f(x)=x2e2,則

A.y=xe?2=f(x)為奇函數(shù)

C.當(dāng)x>0時

D.曲線y=f(一x)f(x)在點(一1,1)處的切線方程為y=4x+5

10.以下關(guān)系式能構(gòu)成y關(guān)于x的函數(shù)的是

A.x+lyl=1

B.In(x+y)=lnx+1ny(x>1)

C.|x|+y3=1

11.若定義在R上的函數(shù)的圖象存在對稱中心，且該函數(shù)的最大值與最小值的差不大于1,則稱

該函數(shù)是“狹窄中心對稱函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是

A.y=sin?x+cos?x是“狹窄中心對稱函數(shù)”

B.若f(x)是“狹窄中心對稱函數(shù)”,則f(sinx)可能也是“狹窄中心對稱函數(shù)”

是“狹窄中心對稱函數(shù)”

D.若g(x)=a(sin2x-sin6x)(a≠0)是“狹窄中心對稱函數(shù)”,則

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若定義在(0,十∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則f(1)=▲

13.若函數(shù)f(x)=coswx(w>0)在(2π,3π)上單調(diào)遞增，則w的取值范圍是_▲

14.若不等式x—xlnx2—m≥0對x∈(0,十∞)恒成立，則m的最大值為▲

【高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

將函數(shù)f(x)的圖象向下平移1個單位長度，再將所得圖象每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀?/p>

(縱坐標不變),得到函數(shù)g(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,—π<φ<π)的圖象，且g(x)

的部分圖象如圖所示.

(1)求A,w,φ;

(2)求f(x)的解析式與值域；

(3)求曲線y=f(x)—2√3cos(4x+φ)的對稱軸方程.

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=log?x,g(x)=√x3+x-a.

(1)若直線x=t(t>0)與直線y=2x交于點P,與f(x)的圖象交于點Q,求|PQ|的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)y=√f(x)-1的定義域為A,g(x)的定義域為B,且A∩B=A,求a的取值集合.

17.(15分)

已知函數(shù)f(x)=x2—2|x2—x|-m.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論f(x)零點的個數(shù)；

(3)若f(x)有4個零點x?,x?,X?,x4,判斷x?+x?+x?十x?是否為定值，并說明你的

理由.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】

18.(17分)

在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，c=1,且(3b—2)sinB=3asinA-3sinC.

(1)求cosA.

(2)設(shè)M是線段AC的中點，N在線段BC上，且MNLAC.

①求△CMN面積的最小值；

②求線段CN的長度的最小值.

19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=x3—x2.

(1)求函數(shù)h(x)=[f(x)]2的極值點，并判斷f(x)與h(x)是否有相等的極小值點或相等

的極大值點，說明你的理由.

(2)設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點P,Q滿足以PQ為直徑的圓過原點0,

且該圓的圓心在y軸上。

(i)證明：P,Q兩點在直線x=1的兩側(cè)。

(Ⅱ)求a的取值范圍.

【高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】

高三數(shù)學(xué)試卷參考答案

題序l234567891011121314

答案DDDCBCACACBCDABD02-21n2

【評分細則】

【1】第1～8題，凡與答案不符的均不得分.

【2】第9題，全部選對的得6分，有選錯的不得分，每選對一個得3分.

【3】第10,11題，全部選對的得6分，有選錯的不得分，每選對一個得2分.

【4】第12題，其他結(jié)果均不得分.

【5】第13題的答案還可以寫

【6】第14題的答案還可以寫為2—1n4.

1.D【解析】本題考查集合的并集與不等式，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由M=(一1,1),,得MUN=(一1,+∞).

2.D【解析】本題考查存在量詞命題及命題真假的判斷，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

“Vx∈Q,3x2∈Q”“菱形的對角線互相垂直平分”這兩個命題都是全稱量詞命題，不是存在

量詞命題.若x∈(0,1),則x2∈(0,1),而√5-1>1,則“3x∈(0,1),x2=√5-1”是假命題.

在40到50之間的質(zhì)數(shù)有41,43,47,所以“在40到50之間至少有兩個質(zhì)數(shù)”既是真命題又是

存在量詞命題.

3.D【解析】本題考查正切的和差公式，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由sinα=2cosa,得tana=2,則

4.C【解析】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

依題意可解

5.B【解析】本題考查基本不等式，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

,當(dāng)且僅當(dāng)|x|=√5|yl=

時，等號成立，所以的最小值為6+2√5.

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共10頁)】-

6.C【解析】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心A

素養(yǎng).

如圖，依題意可知，∠ACD=180°—60°=120°,CD=6米，AD=14米，

由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos120°,代人數(shù)據(jù)解得AC=

10米，所以AB=10+10sin60°=10+5√3≈18.7米.

7.A【解析】本題考查函數(shù)的極值點，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

f'(x)=5x?—3ax2+1,易知f'(x)為偶函數(shù)，f'(0)=1>0,若f(x)有4個極值點，則關(guān)于t

的方程5t2—3at+1=0有兩個不相等的正實根l?,t?,則

解得,貝”是“f(x)有4個極值點”的充要條件.

8.C【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為23<32,所以觀,又3?<28,則log?3?<log?2?,則

所以,則15<10log?3<16,所以

因為e2<2.722=7.3984.59375,則

所以,則a>b.因為e3<2.723<20.25,,即

所以,即c>a.故c>a>b.

9.AC【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及指數(shù)的運算，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為xe-2rf(x)=x3,所以y=xe?2?f(x)為奇函數(shù)，A正確

因為f'(x)=(2x2+2x)e2?,所以,B錯誤.

當(dāng)x>0時，,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，C正確.

設(shè)g(x)=f(一x)f(x)=x?,則g'(x)=4.x3,所以g'(一1)=-4,

所以曲線y=f(一x)f(x)在點(一1,1)處的切線方程為y=—4.x-3,D錯誤.

10.BCD【解析】本題考查函數(shù)的概念，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)及分類討論的數(shù)學(xué)

思想.

對于選項A,當(dāng)時，,則x+Iyl=1不能構(gòu)成y關(guān)于x的函數(shù)，A錯誤.

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共10頁)】-.

對于選項B,x>1,y>0,x+y=xy,可得,則ln(x+y)=lnx+lny(x>1)能

構(gòu)成y關(guān)于x的函數(shù)，B正確.

對于選項C,y3=1-|x|,因為f(t)=l3為R上的增函數(shù)，且值域為R,所以對于y3=1一

lx|,每個x都有唯一的y與之對應(yīng)，C正確.

對于選項D,y>0,y>r,x≠0,即y2—xy—2x2=0,即(y+x)(y-2x)=

0,即y=-x或y=2x,當(dāng)y=-x時，則x<0,當(dāng)y=2x時，則x>0,所以y=

則能構(gòu)成y關(guān)于x的函數(shù)，D正確.

11.ABD【解析】本題考查新定義、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)抽象、邏

輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

y=sin?x+cos?x=(sin2x+cos2x)3—3sin?xcos2x-3sin2xcos?x=1-3sin2xcos2x(sin2x

所以y=sin?x+cos?x的最大值與最小值的差為-,而且該函數(shù)的圖象的對稱中心

為(k∈Z),A正確.

若,則易證f(x)是“狹窄中心對稱函數(shù)”,則

因為sinx∈[-1,1],所以f(sinx)(

f(sinx)的圖象關(guān)于點(π,0)中心對稱，則f(sinx)也是“狹窄中心對稱函數(shù)”,B正確.

令x+1=t,則因

所以的最大值與最小值的差大于1,C錯誤.

易知g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)的圖象存在對稱中心，

g(x)=a(sin2x—sin6x)=a[sin(4x—2x)—sin(4x+2x)]=-2acos4xsin2x,

設(shè)u=sin2x∈[-1,1],則cos4.xsin2x=u(1—2u2),設(shè)h(u)=u(1-2u2),則h'(u)=1

—6u2,則h(u)在上單調(diào)遞減，在(上單調(diào)遞增，

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共10頁)】

則h(u)的值域為[一1,1],g(x)的最大值與最小值的差為4a|l≤1,又a≠0,

所以,D正確.

12.0【解析】本題考查抽象函數(shù)的求值，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),則f(1)=0.

13.【解析】本題考查余弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

依題意可得,因為w>0,所以0<w≤1.由x∈(2π,3π),得wx∈(2wπ,

3wπ),2wπ∈[0,2π],3wπ∈[0,3π],則π≤2wπ<3wπ≤2π,解得

14.2—2ln2【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式的綜合，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心

素養(yǎng).

由x>0,得x=eln,則erhx—2xlnx—m≥0對x∈(0,十∞)恒成立，即m≤erlnx—2xlnx

對x∈(0,十∞)恒成立.易證.構(gòu)造函數(shù)f(x)=e?-2x

則f'(x)=e-2,當(dāng)2時，f'(x)<0,當(dāng)x>ln2時，f'(x)>0,

所以f(x)min=f(ln2)=2—2ln2,則m≤2-2ln2,故m的最大值為2-2ln2.

15.【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)與三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核

心素養(yǎng).

解：(1)由圖可知A=2,………1分

,…………2分

則,因為w>0,所以w=2,……3分

,………4分

又一π<φ<π,所以……………5分

……………7分

因為,所以f(x)的值域為[一1,3].…………9分

3

,…………………11分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共10頁)】

令………12分

得(k∈Z),此即為曲線y=f(x)-2√3cos(4x+φ)的對稱軸方程.……13分

【評分細則】

【1】第(1)問中，求w還可以這樣解答：,解得w=2.

【2】第(1)問中，若只將點的坐標代入g(x)=2sin(2x+φ),得

kπ(k∈Z),再結(jié)合一π<φ<π,則得出的φ的值有兩個，所以只寫

Z)”,扣2分，但寫為,不扣分，寫

Z)”,再結(jié)合一π<φ<π,得出的φ的值僅有一個，不扣分.

【3】第(2)問中，得到,未寫,但得到

f(x)的值域為[一1,3],不扣分.

16.【解析】本題考查函數(shù)的定義域、集合的交集及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理及直觀

想象的核心素養(yǎng).

解：(1)依題意可得|PQl=|2t—log?t|.…………………1分

設(shè)h(t)=2t—log?t,則,…………2分

當(dāng)時，h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減，……………3分

當(dāng)時，h′(t)>0,h(t)單調(diào)遞增，……4分

所以(2ln2)………………5分

,…………6分

所以|PQl的最小值為………7分

(2)由f(x)—1=log?x-1≥0,得x≥2,所以A=[2,+∞]9分

因為A∩B=A,所以ACB,……10分

所以x3+x-a≥0對x∈[2,十∞]恒成立，…………………11分

即a≤r3+x對x∈[2,十∞]恒成立，…………………12分

因為y=x3+x為增函數(shù)，……………………13分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第5頁(共10頁)】

所以a≤23+2=10,……………14分

故a的取值集合為{a|a≤10}.………15分

【評分細則】

【1】第(1)問中，|PQ|的最小值寫(21n2),不扣分，但未說明(2ln2)

>0,扣1分.

【2】第(2)問中，a的取值集合也可以寫為(一∞,10).

17.【解析】本題考查二次函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的零點，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算的

核心素養(yǎng)及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

解：(1

…………………2分

因為y=-x2+2x-m,y=3x2—2x-m的圖象的對稱軸分別為直線x=1,

………3分

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,(1,十∞).

……………………5分

(2)設(shè)令f(x)=0,得g(x)=m,

g(1)=1,當(dāng)x∈(0,1)時

若m>1,則f(x)零點的個數(shù)為0;…………7分

若m=1,則f(x)零點的個數(shù)為1;…………8分

若或0<m<1,則f(x)零點的個數(shù)為2;………………9分

若或m=0,則f(x)零點的個數(shù)為3;………………10分

則f(x)零點的個數(shù)為4.…11分

(3)x?+x?+x?+x?為定值.……12分

理由如下：由(2)知，若f(x)有4個零點，則

不妨設(shè)x?<x?<x?<x?,則點(x?,f(x?))與點(x?,f(x?))關(guān)

于直線x=1對稱，………………13分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第6頁(共10頁)】

點(x?,f(x?))與點(x?,f(x?))關(guān)于直線對稱，…………14分

,故x?+x?+x?+x?為

定值.………………………15分

【評分細則】

【1】第(1)問中，寫單調(diào)區(qū)間時，,1旁邊的符號選擇中括號或小括號均可，不扣分，但在

寫單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間時，不能用“U”連接兩個區(qū)間，例如：單調(diào)遞增區(qū)間寫為

,扣1分，單調(diào)遞減區(qū)間寫為,扣1分.

【2】第(2)問中，只寫“g(1)=1”,未寫“當(dāng)x∈(0,1)時,扣1分.

18.【解析】本題考查解三角形、三角恒等變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推

理、直觀想象的核心素養(yǎng).

解：(1)由c=1,得(3b—2c)sinB=3asinA—3csinC,…………1分

由正弦定理得(3b—2c)b=3a2—3c2,………………2分

整理得,所以.……4分

(2)①因為MN⊥AC,所以△CMN的面積

…………………5分

因為c=1,所以.……6分

因為,A∈(0,π),所以

……8分

因為MN⊥AC,所以C是銳角，sinC>0,cosC>0,所以,當(dāng)且僅當(dāng)tanC

=2√2時，等號成立，所以△CMN面積的最小值.…………10分

②連接AN(圖略),因為MN是AC的中垂線，所以AN=CN,∠ANB=2C.……11分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第7頁(共10頁)】

令,則

設(shè),則

當(dāng)x∈(0,xo)時，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

…………………16分

所以f(x)的最小值為

故線段CN的長度的最小值………………17分

【評分細則】

【1】第(1)問還可以這樣解答：

由正弦定理及(3b-2)sinB=3asinA-3sinC,得(3b—2)b=3a2—3c.…1分

因為c=1,所以(3b-2c)b=3a2-3c2,即………3分

所以………………4分

【2】第(2)①問中，,未寫取等條件，扣1分.

【3】第(2)②問中，得到即可給1分.

【4】第(2)①問還可以這樣解答：

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第8頁(共10頁)】

解得

則△CMN的面積，………8分

設(shè)t=3b—1>0,則,則

………9分

當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即時，等號成立，所以△CMN的面積的最小值……10分

19.【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與圓的綜合，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及

函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

(1)解：h'(x)=2(x3—x2)(3x2—2x)=2x3(3x-2)(x-1),……1分

令h'(x)>0,得U(1,十∞),

令h'(x)<0,得,……………2分

所以h(x)在(一∞,0),上單調(diào)遞減，在(),(1,十∞)上單調(diào)遞增，

則h(x)的極小值點為0和1,極大值點為.………………4分

同理可得f(x)在(一∞,0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

則f(x)的極大值點為0,極小值點為·…………5分

故h(x)與f(x)沒有相等的極值小點，也沒有相等的極大值點.………………6分

(2)(i)證明：設(shè)P(x?,g(x?)),Q(x?,g(x?)),

因為以PQ為直徑的圓過原點O,所以O(shè)P·Q=0,即x?x?+g(x?)g(x?)=0,……7分

又以PQ為直徑的圓的圓心在y軸上，所以x?+x?=0.……………8分

顯然P,Q兩點不能同在直線x=1的右側(cè)，且x?,x?均不能為1,

假設(shè)P,Q兩點同在直線x=1的左側(cè)，即x?<1,r?<1,………9分

不妨設(shè)x?<x?,易知x?∈(一1,0),x?∈(0,1),

x?x?+g(x?)g(x?)=-x2+g(x?)g(一x?)=-x2+x(1—