第二章

直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第2課時直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用典例精講·能力初成探究1直線與圓的方程的實際應(yīng)用

(教材P94例4補(bǔ)充)已知臺風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，距臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東方向40km處，求B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間．【解答】1－1有一種大型商品，A，B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品并運回來，A地每千米的運費是B地每千米運費的兩倍．若A，B兩地相距10km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點？1－2【解答】

如圖，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－5，0)，B(5，0)．在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點P(x，y)，設(shè)從A地運貨到P地的運費為2a元/km，則從B地運貨到P地的運費為a元/km．探究2圓上的點到直線的距離圓(x－2)2＋y2＝2上的動點到直線x＋y＋2＝0的距離的最小值為______，最大值為_______．2【解析】變式2

(教材P99第13題改編)已知圓x2＋y2＝4，直線l：y＝x＋b．當(dāng)b＝________時，圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1．【解析】探究3與圓有關(guān)的最值問題已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．3【解答】已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．(2)求y－x的最大值和最小值；3【解答】已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．(3)求x2＋y2的最大值和最小值．3【解答】隨堂內(nèi)化·及時評價1．直線y＝x－1上的點到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的距離的最小值為__________．【解析】【解析】3．(2023·全國乙卷)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是 (

)【解析】【答案】C

4．圓拱橋的水面跨度為24m，拱高8m，此拱橋所在圓的半徑為______m；現(xiàn)有一船，寬10m，載貨后寬度與船的寬度相同，若這條船能從橋下通過，則此船水面以上最高不能超過_____m．【解析】

如圖，圓拱橋AMB所在圓的圓心為C，水面跨度為|AB|＝24m，拱高為|OM|＝8m．以AB的中點O為原心，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(－12，0)，B(12，0)，M(0，8)，易求得圓C的方程為x2＋(y＋5)2＝169，圓的半徑R＝13m，船寬|EF|＝10m．若這條船能從橋下通過，則此船水面以上的最高高度為|NF|．設(shè)N(5，yN)，yN＞0，將點N的坐標(biāo)代入圓的方程可得yN＝7，即|NF|＝7m．137配套新練案一、

單項選擇題1．已知半徑為2的圓經(jīng)過點(1，0)，那么該圓的圓心到直線3x－4y＋12＝0的距離的最小值為 (

)A．0 B．1 C．2 D．3【解析】B【解析】B【解析】C4．若x，y滿足x＋y＋1＝0，則x2＋y2－2x－2y＋2的最小值為 (

)C．3 D．4【解析】B二、

多項選擇題5．已知圓x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一點到直線3x＋4y－10＝0的距離為1，那么實數(shù)m的取值可以是 (

)A．0 B．1 C．3 D．5【解析】BC【解析】【答案】AC

三、

填空題7．圓x2＋(y＋4)2＝4上的點到直線l：x＋y＝1的距離的最大值為_________，最小值為__________．【解析】【解析】四、

解答題9．已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．【解答】圖(1)9．已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(2)求x＋y的最大值和最小值．

【解答】圖(2)10．在某海礁A處有一風(fēng)暴中心，距離風(fēng)暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船，正以北偏西α(α為銳角)角方向航行，速度為40km/h．已知距離風(fēng)暴中心180km以內(nèi)的水域會受其影響．(1)若輪船不被風(fēng)暴影響，求角α的正切值的最大值；【解答】如圖，圓的方程為x2＋y2＝1802，設(shè)過點B(200，0)的直線的方程為y＝k(x－200)，k＜0，即kx－y－200k＝0．當(dāng)l與圓O相切時，tanα取得最大值，10．在某海礁A處有一風(fēng)暴中心，距離風(fēng)暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船，正以北偏西α(α為銳角)角方向航行，速度為40km/h．已知距離風(fēng)暴中心180km以內(nèi)的水域會受其影響．(2)若輪船航行方向為北偏西45°，求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)的時間．【解答】11．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截x軸所得弦長為1，截y軸所得弦長為2，則(

)A．圓C的面積有最大值，有最小值 B．圓C的面積有最大值，無最小值C．圓C的面積無最大值，有最小值 D．圓C的面積無最大值，無最小值【解析】C【解析】813．(多選)已知圓C：(x－2)2＋y2＝4和直線l：x－y＋2＝0，點P在直線l上運動，直線PA，PB與圓C分別相切于點A，B，則下列說法正確的是 (

)B．四邊形PACB的面積的最小值為4C．當(dāng)|PA|取得最小值時，弦AB所在直線的方程為x－y＝0D．弦長|AB|的最小值為2【解析】對于B，由|PA|＝|PB|，|AC|＝