第24頁（共24頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期中必刷常考題之一元二次函數(shù)與一元二次不等式一．選擇題（共6小題）1．已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向上，與x軸有一正一負(fù)兩個(gè)交點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣11），則a，b，c中符號為正的是（）A．僅a B．僅b C．僅c D．a(chǎn)，b2．（2024秋?泰州期末）若函數(shù)f（x）＝x2﹣mx+3在區(qū)間（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）3．（2024秋?和田縣期末）不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集為（）A．(13，2) C．(-12，-13)4．（2025?烏蘭察布校級三模）已知f（x）＝ax2+bx是定義在[2a﹣3，4a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-15．（2025?曲靖一模）已知集合A＝{x|（x﹣6）（x﹣10）＜0}，B＝{6，7，8，9，10}，則A∩B＝（）A．{6，7，8，9，10} B．{7，8，9} C．（6，10） D．（7，9）6．（2024秋?吉林期末）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞3}，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＜0 C．a(chǎn)+b+c＜0 D．cx2﹣bx+a＜0的解集為{二．多選題（共3小題）（多選）7．（2025春?個(gè)舊市校級月考）若關(guān)于x的不等式ax2﹣4x+2＜0有實(shí)數(shù)解，則a的值可能為（）A．0 B．3 C．1 D．﹣2（多選）8．（2025秋?丹江口市校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．則下列說法正確的有（）A．a(chǎn)bc＞0 B．a(chǎn)+2c＜﹣b C．c﹣3a＝0 D．若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，若x1＜x2，則y1＜y2（多選）9．（2025?陜西學(xué)業(yè)考試）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣6} D．關(guān)于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集為{x|三．填空題（共3小題）10．（2025?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知不等式x2﹣6x+a（6﹣a）＜0的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．11．（2025秋?南京月考）（1）若不等式mx2+mx+1≥0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）若1≤x≤2，不等式x2+mx+m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為．12．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）若不等式x2﹣ax+4≤0對任意x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?澄江市校級期末）已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為1，2，且函數(shù)g(x)=f(x)（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2（λ﹣6）x+4+6λ，λ∈R．14．（2024秋?六盤水校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，若f（f（x））＝4x﹣2，求實(shí)數(shù)b的值；（2）若f（2）＝4，求f（x）＜﹣2x+8的解集．15．（2024秋?沈河區(qū)校級月考）已知一元二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b∈R）有兩個(gè)相等實(shí)根，若關(guān)于x的不等式x2+ax+b＜m的解集為(c（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若x＞1，y＞0，x+y＝m，求1x

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之一元二次函數(shù)與一元二次不等式參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案ADBDBD二．多選題（共3小題）題號789答案ACDABABD一．選擇題（共6小題）1．已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向上，與x軸有一正一負(fù)兩個(gè)交點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣11），則a，b，c中符號為正的是（）A．僅a B．僅b C．僅c D．a(chǎn)，b【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由開口、兩根之積、頂點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造不等式即可判斷．【解答】解：由拋物線y＝ax2+bx+c開口向上，可得a＞0，由題意可得兩根之積小于0，所以ca＜0，即c又頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣11），可得-b2a=4，所以故選：A．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?泰州期末）若函數(shù)f（x）＝x2﹣mx+3在區(qū)間（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程及開口方向，由題意可解得m的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2﹣mx+3開口向上，對稱軸方程為x=m所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，m2]要使在區(qū)間（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，則m2≥2，解得m即m的范圍為[4，+∞）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?和田縣期末）不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集為（）A．(13，2) C．(-12，-13)【考點(diǎn)】解一元二次不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的因式分解和不等式的性質(zhì)求解一元二次不等式的解即可．【解答】解：由﹣3x2+7x﹣2＜0可得3x2﹣7x+2＞0．所以x＞2或x＜所以不等式的解集為(-∞，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?烏蘭察布校級三模）已知f（x）＝ax2+bx是定義在[2a﹣3，4a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-1【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象及其對稱性．【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)區(qū)間的對稱性，可求出a，再根據(jù)偶函數(shù)f（x）＝f（﹣x），求出b，從而求出a+b．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝ax2+bx是定義在[2a﹣3，4a]上的偶函數(shù)，所以區(qū)間[2a﹣3，4a]關(guān)于原點(diǎn)對稱，則2a﹣3+4a＝0，解得a=1又f（1）＝f（﹣1），即a+b＝a﹣b，所以b＝0，故a+b=1故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?曲靖一模）已知集合A＝{x|（x﹣6）（x﹣10）＜0}，B＝{6，7，8，9，10}，則A∩B＝（）A．{6，7，8，9，10} B．{7，8，9} C．（6，10） D．（7，9）【考點(diǎn)】解一元二次不等式；求集合的交集．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出集合A，然后結(jié)合集合交集運(yùn)算即可求解．【解答】解：A＝{x|（x﹣6）（x﹣10）＜0}＝（6，10），B＝{6，7，8，9，10}，則A∩B＝{7，8，9}．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?吉林期末）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞3}，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．c＜0 C．a(chǎn)+b+c＜0 D．cx2﹣bx+a＜0的解集為{【考點(diǎn)】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)不等式ax2+bx+c＜0的解集得出對應(yīng)方程的解，以及a＜0，由此判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【解答】解：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞3}，所以﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的解，且a＜0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；所以-1+3=-ba-1×3=ca，解得b＝﹣2a，c＝﹣所以a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a＞0，選項(xiàng)C正確；不等式cx2﹣bx+a＜0可化為﹣3ax2+2ax+a＜0，即3x2﹣2x﹣1＜0，解得-13＜x＜1，所以不等式的解集為{x|-13＜故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．（2025春?個(gè)舊市校級月考）若關(guān)于x的不等式ax2﹣4x+2＜0有實(shí)數(shù)解，則a的值可能為（）A．0 B．3 C．1 D．﹣2【考點(diǎn)】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】分類討論，利用判別式法列式求解即可．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式﹣4x+2＜0有解，符合題意，當(dāng)a＜0時(shí)，得Δ＝16﹣8a＞0，則不等式ax2﹣4x+2＜0有解，當(dāng)a＞0時(shí)，由Δ＝16﹣8a＞0，解得0＜a＜2，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，2），對照選項(xiàng)，選項(xiàng)ACD中a的值符合題意．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025秋?丹江口市校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．則下列說法正確的有（）A．a(chǎn)bc＞0 B．a(chǎn)+2c＜﹣b C．c﹣3a＝0 D．若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，若x1＜x2，則y1＜y2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對稱軸x＝2，函數(shù)的圖像過（5，0），則f（﹣1）＝a﹣b+c＝0，由圖象可以看出，a＞0，c＜0，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸為x＝2，所以-b2a=2，即b＝﹣4A中，可得abc＞0，所以A正確；C中，將b＝﹣4a代入a﹣b+c＝0中，得c＝﹣5a，所以C錯(cuò)誤；B中，因?yàn)閍+2c+b＝2b+c，b＜0，c＜0，所以2b+c＜0．所以a+2c+b＜0，即a+2c＜﹣b，所以B正確；D中，當(dāng)M，N均在對稱軸左側(cè)，由于在對稱軸左側(cè)拋物線是單調(diào)遞減的，所以如果x1＜x2，則y1＞y2，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查由二次函數(shù)的圖像可得它的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．（2025?陜西學(xué)業(yè)考試）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣6} D．關(guān)于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集為{x|【考點(diǎn)】解一元二次不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式ax2+bx+c＞0的解集，判斷a＜0，且得出對應(yīng)方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得出b、c與a的關(guān)系，由此求解即可．【解答】解：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，所以a＜0，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?∈{x|﹣3＜x＜2}，所以a+b+c＞0，選項(xiàng)B正確；由題意知，﹣3和2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則-3+2=-ba-3×2=ca，解得b＝所以不等式bx+c＞0可化為ax﹣6a＞0，由a＜0，得x﹣6＜0，解得x＜6，得解集為{x|x＜6}，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不等式cx2+bx+a＞0可化為﹣6ax2+ax+a＞0，即6x2﹣x﹣1＞0，解得x＜-13或x＞12，所以解集為{x|x＜-1故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）10．（2025?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知不等式x2﹣6x+a（6﹣a）＜0的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，2）∪（4，5]．【考點(diǎn)】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專題】分類討論；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】[1，2）∪（4，5]．【分析】求出不等式的解集，根據(jù)解集中恰有三個(gè)整數(shù)，利用分類討論法，求解即可．【解答】解：不等式x2﹣6x+a（6﹣a）＜0可化為（x﹣a）（x﹣6+a）＜0，當(dāng)a＝6﹣a，即a＝3時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞6﹣a，即a＞3時(shí)，解不等式得6﹣a＜x＜a，不等式的解集中一定有3，若3個(gè)整數(shù)分別為1，2，3，則0≤6-a若3個(gè)整數(shù)分別是2，3，4，則1≤6-a＜24＜a若3個(gè)整數(shù)分別是3，4，5，則2≤6-a當(dāng)a＜6﹣a，即a＜3時(shí)，解不等式得a＜x＜6﹣a，因?yàn)?﹣a＞3，所以不等式的解集中一定有3，若3個(gè)整數(shù)分別為1，2，3，則0≤a若3個(gè)整數(shù)分別是2，3，4，則1≤a＜24＜6-若3個(gè)整數(shù)分別是3，4，5，則2≤a綜上，a的取值范圍是[1，2）∪（4，5]．故答案為：[1，2）∪（4，5]．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用，是中檔題．11．（2025秋?南京月考）（1）若不等式mx2+mx+1≥0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，4]．（2）若1≤x≤2，不等式x2+mx+m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為-12【考點(diǎn)】一元二次不等式恒成立問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）[0，4]；（2）-1【分析】（1）二次項(xiàng)含參數(shù)m，需對m是否為0進(jìn)行討論；（2）分離參數(shù)即可求解．【解答】解：（1）若m＝0，則不等式為1≥0，顯然恒成立；若m≠0，mx2+mx+1≥0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則m＞0，Δ=m綜上所述，m的范圍為[0，4]；（2）因?yàn)?≤x≤2，所以x+1＞0，則x2+mx+m≥0，即m≥-令h(x)=-x2則m大于或等于h（x）的最大值即可，可得12則m≥-12，故實(shí)數(shù)m故答案為：（1）[0，4]；（2）-1【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）若不等式x2﹣ax+4≤0對任意x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）．【考點(diǎn)】一元二次不等式恒成立問題．【專題】整體思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】[5，+∞）．【分析】一元二次不等式的恒成立問題可采用參變分離來求解，本題解得f(x)=x+【解答】解：因?yàn)閤2﹣ax+4≤0對任意x∈[1，3]恒成立，則a≥x+4x對任意x根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可知，f(x)=x+4x在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增，且f則f(x)=x+4x在[1，3]則a≥故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）．故答案為：[5，+∞）【點(diǎn)評】本題主要考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?澄江市校級期末）已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為1，2，且函數(shù)g(x)=f(x)（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2（λ﹣6）x+4+6λ，λ∈R．【考點(diǎn)】由二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù)；解一元二次不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）f（x）＝2x2﹣6x+4；（2）當(dāng)λ＝﹣3時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)λ＜﹣3時(shí)，不等式的解集為（λ，﹣3）；當(dāng)λ＞﹣3時(shí)，不等式的解集為（﹣3，λ）．【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)列出方程組，再結(jié)合g（x）的最小值即可求解；（2）將（1）求出的函數(shù)的解析式代入不等式，分類討論即可求出不等式的解．【解答】解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為1，2，所以a+b+c=04a+2b+c=0，所以b＝﹣3a，c＝2a，f又函數(shù)g(x)=f(x)而g(x)=f(x)x=a(x由基本不等式可得x+2則g(x)≥2則a＝2，f（x）＝2x2﹣6x+4．（2）由（1）可得關(guān)于x的不等式x2﹣（λ﹣3）x﹣3λ＜0，所以（x+3）（x﹣λ）＜0，當(dāng)λ＝﹣3時(shí)，x不存在；當(dāng)λ＜﹣3時(shí)，解得λ＜x＜﹣3，當(dāng)λ＞﹣3時(shí)，解得﹣3＜x＜λ，綜上，當(dāng)λ＝﹣3時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)λ＜﹣3時(shí)，不等式的解集為（λ，﹣3）；當(dāng)λ＞﹣3時(shí)，不等式的解集為（﹣3，λ）．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，還考查了二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024秋?六盤水校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，若f（f（x））＝4x﹣2，求實(shí)數(shù)b的值；（2）若f（2）＝4，求f（x）＜﹣2x+8的解集．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）b＝﹣2；（2）a＝0時(shí)，不等式的解集{x|x＜2}；a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-3aa=-32時(shí)，不等式的解集為{x|-32＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|xa＜-32時(shí)，不等式的解集為{x|x＜【分析】（1）a＝0，可得f（x）的解析式，由f（f（x））的解析式，由題對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，即求出b的值；（2）由f（2）＝4，可得a，b的關(guān)系，分類討論，可得不等式的解集．【解答】解：（1）a＝0，f（x）＝bx+2，f（f（x））＝b（bx+2）+2＝b2x+2b+2＝4x﹣2，則b2解得b＝﹣2；（2）f（2）＝4a+2b+2＝4，則b＝1﹣2a，不等式f（x）＜﹣2x+8為ax2+（1﹣2a）x+2＜﹣2x+8，即ax2+（3﹣2a）x﹣6＜0，即（x﹣2）（ax+3）＜0，若a＝0，不等式化為x﹣2＜0，解為x＜2，若a＞0，不等式化為(x-2)(若a＜0，不等式化為(xa=-32時(shí)，不等式為（x﹣2）2＞0，解為-32＜a＜0時(shí)，-3a＜-32時(shí)，-3a＜綜上：a＝0時(shí)，不等式的解集{x|x＜2}；a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-3aa=-32時(shí)，不等式的解集為{x|-32＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|xa＜-32時(shí)，不等式的解集為{x|x＜【點(diǎn)評】本題考查分類討論求一元二次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?沈河區(qū)校級月考）已知一元二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b∈R）有兩個(gè)相等實(shí)根，若關(guān)于x的不等式x2+ax+b＜m的解集為(c（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若x＞1，y＞0，x+y＝m，求1x【考點(diǎn)】解一元二次不等式；運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)已知可得a，b的關(guān)系，由關(guān)于x的不等式的解集可得x2+ax（2）根據(jù)“1”的代換，利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)閥＝x2+ax+b（a，b∈R）有兩個(gè)相等實(shí)根，可得Δ＝a2﹣4b＝0，可得b=因?yàn)椴坏仁絝（x）＜m的解集為(c可得x2+ax+a24所以x2+ax+a又x=±可得2m所以m＝3；（2）由題意x＞1，y＞0，x+y＝3，可得x﹣1+y＝2，可得1=1=1≥1=92，當(dāng)且僅當(dāng)yx-1可得1x+1+【點(diǎn)評】本題主要考查了二次不等式的解集端點(diǎn)與二次方程的根的關(guān)系，還考查了利用乘1法配湊基本不等式的應(yīng)用條件，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個(gè)集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因?yàn)锳＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．運(yùn)用基本不等式求最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．3．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2=-ba，x1?x2③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，p2），準(zhǔn)線方程為y=-p2④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．4．二次函數(shù)的圖象及其對稱性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與②平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣確定對稱軸x=-﹣確定頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b﹣根據(jù)a的正負(fù)確定開口方向．﹣繪制拋物線，標(biāo)注對稱軸與頂點(diǎn)．【命題方向】考查二次函數(shù)圖象的繪制及其對稱性的判斷與應(yīng)用題．如圖為二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，則下列說法正確的是（）A．方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集為{B．不等式bx2﹣cx﹣1≤0的解集為[-C．不等式﹣x2+bx+c≥0解集為[1，4]D．函數(shù)y＝cx2﹣x+b的最大值為81解：由圖可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解為x1＝1，x2＝4，則b＝5，﹣c＝4，即b＝5，c＝﹣4，對于A，方程bx2﹣cx﹣1＝0即為5x2+4x﹣1＝0，解得x＝﹣1或15所以方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集為{-1，對于B，不等式bx2﹣cx﹣1≤0即為5x2+4x﹣1≤0，由A選項(xiàng)知，不等式的解集為[-1，15對于C，不等式﹣x2+bx+c≥0即為﹣x2+5x﹣4≥0，解得1≤x≤4，所以不等式﹣x2+bx+c≥0解集為[1，4]，故C正確；對于D，y＝cx2﹣x+b＝﹣4x2﹣x+5，當(dāng)x=-18時(shí)，函數(shù)取得最大值81故選：ACD．5．由二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2=-ba，x1?x2③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，p2），準(zhǔn)線方程為y=-p2④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣根據(jù)題目提供的信息設(shè)定二次函數(shù)的一般形式f（x）＝ax2+bx+c．﹣代入已知條件（頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等），建立方程組．﹣解方程組，求出a，b，c參數(shù)．【命題方向】涉及二次函數(shù)解析式或參數(shù)的求解，常見題型包括已知頂點(diǎn)與某點(diǎn)，求解析式或參數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求f（x）在[﹣3，1]上的值域；（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＞ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，為二次函數(shù)，其對稱軸為x＝a﹣1．若f（x）為偶函數(shù)，則a﹣1＝0，解可得a＝1，則f（x）＝x2+4，又由﹣3≤x≤1，則有4≤f（x）≤13，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4，13]．（2）由題意知x∈[1，2]時(shí)，f（x）＞ax恒成立，即x2﹣（3a﹣2）x+4＞0；方法一：所以3a-因?yàn)閤∈[1，2]，所以x2+4x=x+4所以3a﹣2＜4，解得a＜2，所以a的取值范圍是（﹣∞，2）．方法二：令g（x）＝x2﹣（3a﹣2）x+4，所以只需g（x）min＞0，對稱軸為x=當(dāng)3a-22≤1，即a≤43時(shí)，g（x）min＝g（1解得a＜故a≤當(dāng)1＜3a-2解得-2故43當(dāng)3a-22≥2，即a≥2，g（x）min＝g（2）＝12﹣解得a＜2，舍去．絳上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2）．6．解一元二次不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根據(jù)根的位置，將數(shù)軸分為多個(gè)區(qū)間．﹣在各區(qū)間內(nèi)選擇測試點(diǎn)，確定不等式在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的取值情況．﹣綜合各區(qū)間的解，寫出最終解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，