第24頁（共24頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之空間向量基本定理一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?蛟河市校級期末）若{aA．{b→+c→C．{a→-b2．（2023秋?洪洞縣校級月考）已知{i→，j→，k→}A．12 B．-13 C．733．（2025春?來賓期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1交點，若AB→=a→，AD→A．-12a→+12b→+c→4．（2025春?湖北期中）點B在線段AC上（異于A，C兩點），O為直線AC外一點，若OB→=αA．5 B．6 C．9 D．125．（2025?五華區(qū)校級開學(xué)）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yA．12 B．1 C．32 D二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?開福區(qū)校級月考）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB→|=|AD→|=|AA1→|=1，且∠A1AD=∠A．AC1→=aC．|AC1→（多選）7．（2025?芝罘區(qū)校級開學(xué)）下列命題中正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有AB→B．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于130°，則直線l與平面α所成的角等于50° C．已知{a→，bD．已知O為坐標(biāo)原點，向量OA→=-i→+2j→-k→，（多選）8．（2025春?金昌校級期中）若{a→，A．a(chǎn)→，a→+b→，a→-b三．填空題（共5小題）9．（2024秋?寶塔區(qū)校級月考）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1C1，BB1的中點，AB＝2AA1＝2AC，動點G在線段MN上運動，若AG→=xAA1→+yAB→+z10．（2024秋?小店區(qū)校級月考）已知點P在平面ABC上，點O是空間內(nèi)任意一點，且OP→=12OA→+mOB→+3211．（2023秋?榆陽區(qū)校級月考）定義：設(shè){a1→，a2→，a3→}是空間的一個基底，若向量p→=xa1→+ya2→+za3→，則稱有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）為向量12．（2022秋?保定期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中點，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→13．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點M在OA上，且OM四．解答題（共2小題）14．（2024秋?上高縣校級月考）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD的交于點O，PO＝2，M是PC邊上靠近P的三等分點．（1）設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AP→（2）在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量BM→15．（2024秋?平定縣校級月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中點．令A(yù)B→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求ED1的長．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之空間向量基本定理參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案CCACB二．多選題（共3小題）題號678答案ACDACDBC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?蛟河市校級期末）若{aA．{b→+c→C．{a→-b【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)向量的基底和共面向量基本定理逐一判斷即可．【解答】解：對于A：因為由于b→+c→=(a→所以{b→+對于B：由于a→+b→+c→所以{a→+對于C：假設(shè)存在m，n，使得a→則m+n=1-m對于D：因為b→-c→=(a→所以{b→-故選：C．【點評】本題考查的知識要點：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．2．（2023秋?洪洞縣校級月考）已知{i→，j→，k→}A．12 B．-13 C．73【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算可解．【解答】解：因為{i→，j→則|AB→|=又AB→設(shè)AB→與CD→夾角為θ，則cos則sinθ=1-故選：C．【點評】本題考查空間向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?來賓期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1交點，若AB→=a→，AD→A．-12a→+12b→+c→【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】利用向量的加法的三角形法則，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析求解即可．【解答】解：∵平行四邊形A1B1C1D1中，對角線A1C1、B1D1相交于點M，∴向量B1M→∵平行四邊形AA1B1B中，A1B1→=AB→=a∴B1M→又∵BB∴BM→=BB1故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形與平行六面體的性質(zhì)、向量的加法法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?湖北期中）點B在線段AC上（異于A，C兩點），O為直線AC外一點，若OB→=αA．5 B．6 C．9 D．12【考點】空間向量基底表示空間向量；運用基本不等式求最值．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)三點共線的結(jié)論可知α＞0，β＞0，且α+β＝1，利用乘“1”結(jié)合基本不等式運算求解．【解答】解：點B在線段AC上（異于A，C兩點），所以α＞0，β＞0，且α+β＝1，則1α+4β=（α+β）（1α+當(dāng)且僅當(dāng)βα=4則1α+4故選：C．【點評】本題考查空間向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?五華區(qū)校級開學(xué)）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yA．12 B．1 C．32 D【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算直接計算即可．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，則AF=AD又AF→則x＝1、y=12、z=12，則x﹣故選：B．【點評】本題考查空間向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?開福區(qū)校級月考）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB→|=|AD→|=|AA1→|=1，且∠A1AD=∠A．AC1→=aC．|AC1→【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ACD【分析】由題意及空間向量基本定理，逐一判斷所給命題的真假．【解答】解：A中，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AC1→B中，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點，所以M為B1D1的中點，可得BM→=BB1→+C中，因為|AB→|=|可得AB→?AD→=AB→?AA1→=由A選項可得AC1→2=a→2+b→2+c→2+2a→?b→+2a→?c可得|AC1→|=D中，因為AB→?AC1→=b→?（a→+b→+所以cos＜AB→，AC故選：ACD．【點評】本題考查空間向量的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2025?芝罘區(qū)校級開學(xué)）下列命題中正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有AB→B．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于130°，則直線l與平面α所成的角等于50° C．已知{a→，bD．已知O為坐標(biāo)原點，向量OA→=-i→+2j→-k→，【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底；平面的法向量．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量加法的運算法則，線面角的定義，結(jié)合空間向量基底的性質(zhì)、向量共線的意義可逐項判斷即可．【解答】解：對于選項A，由向量加法的三角形法則得AB→+BC對于選項B，注意線面角的范圍是0°～90°，因為直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為130°，所以直線l與平面α所成的角為90°﹣（180°﹣130°）＝40°，故B錯誤；對于選項C，假設(shè){a那么存在實數(shù)x，y使得a→即a→+b→+c→=xa→因為{a所以1=x因此假設(shè)不成立，所以{a→+對于選項D，由題意得OB→=3OA→，故點A，B，C不能構(gòu)成三角形，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025春?金昌校級期中）若{a→，A．a(chǎn)→，a→+b→，a→-b【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】BC【分析】A選項，a→=12(a→+b→)+12【解答】解：若{a對于A選項，由于a→=12(對于B選項，由于不存在實數(shù)x，y使a→=x(b→對于C選項，由于不存在實數(shù)m，n使c→所以a→+b→對于D選項，由于a→+b→+c→故選：BC．【點評】本題考查的知識點：向量的共面，向量的基底，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）9．（2024秋?寶塔區(qū)校級月考）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1C1，BB1的中點，AB＝2AA1＝2AC，動點G在線段MN上運動，若AG→=xAA1→+yAB→+z【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】32【分析】利用空間向量基本定理求解即可．【解答】解：由動點G在線段MN上運動，可設(shè)MG→又M，N分別是AC1，BB1的中點，則AG=A=A=(1-λ則x+故答案為：32【點評】本題考查空間向量基本定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．（2024秋?小店區(qū)校級月考）已知點P在平面ABC上，點O是空間內(nèi)任意一點，且OP→=12OA→+mOB→+32【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】﹣1．【分析】直接利用向量共面的充要條件求出結(jié)果．【解答】解：已知點P在平面ABC上，點O是空間內(nèi)任意一點，且OP→=12OA→+mOB→+故答案為：﹣1．【點評】本題考查的知識點：向量共面的充要條件，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．11．（2023秋?榆陽區(qū)校級月考）定義：設(shè){a1→，a2→，a3→}是空間的一個基底，若向量p→=xa1→+ya2→+za3→，則稱有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）為向量p→在基底{【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（6，﹣1，6）．【分析】根據(jù)題意，由空間向量下基底坐標(biāo)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果．【解答】解：因為向量p→在基底{a→+b→，即p→=1×（a→+b→）+2×（a→+b→）+3×所以向量p→在基底{a→，b→，故答案為：（6，﹣1，6）．【點評】本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022秋?保定期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中點，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】a→【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運算分析求解即可．【解答】解：由平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中點，可知：AE→故答案為：a→【點評】本題主要考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點M在OA上，且OM【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】14【分析】在四面體OABC中，運用向量的多邊形法則，求出MN→，結(jié)合條件由a→，b→，c→表示，并由空間向量基本定理，即可得到x，【解答】解：在四面體OABC中，MN→點M在OA上，且OM＝3MA，N為BC的中點，可得OM→=34OA→=34則MN→=-34a又MN→=xa→+y可得x=-34，y＝z則x+y+z=-3故答案為：14【點評】本題考查空間向量和應(yīng)用，考查多邊形法則，以及空間向量基本定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2024秋?上高縣校級月考）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD的交于點O，PO＝2，M是PC邊上靠近P的三等分點．（1）設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AP→（2）在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量BM→【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量及其線性運算．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）BM→（2）BM→【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運算求出BM→（2）求出點A，B，D，P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量a→，b【解答】解：（1）依題意，BM→=BC→+CM→，BCBM→=1（2）依題意，點A(0a→=AB→=(BM→【點評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題．15．（2024秋?平定縣校級月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中點．令A(yù)B→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求ED1的長．【考點】空間向量基底表示空間向量；點、線、面間的距離計算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）-a→+12【分析】（1）利用空間向量基本定理求出答案；（2）先計算出a→?b→=0，a【解答】解：平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中點．令A(yù)B→=a→，（1）ED（2）因為∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，AB＝AD＝2，AA1＝3，所以a→?b同理b→|E=17【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，向量的夾角運算，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．運用基本不等式求最值【知識點的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設(shè)計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．2．空間向量及其線性運算【知識點的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時，λa→與②當(dāng)λ＜0時，λa→與③當(dāng)λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運算，但不能進(jìn)行加減運算，如λ±3．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識點的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點O為原點，分別以e1→，e2→，e3其中，點O叫做原點，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個向量p→，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點撥】1．基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→+2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時，首先選擇基底．選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．4．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識點的認(rèn)識】空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間