第27頁(yè)（共27頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷?？碱}之雙曲線一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?泉州月考）已知雙曲線C：x2-y2m=1的一條漸近線的方程為2A．4 B．2 C．12 D．2．（2025秋?邯鄲月考）已知直線l：y＝kx為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(b＞a＞0)的一條漸近線，l與圓M：（x+2）2+y2＝4A．233 B．3 C．2 D3．（2025?安徽開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2=1(A．2 B．32 C．32 D4．（2024秋?句容市期末）雙曲線x24A．1 B．3 C．2 D．25．（2024秋?南寧期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．55 B．355 C．33二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?宣漢縣校級(jí)模擬）雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)A．雙曲線C的漸近線方程為y=±B．雙曲線C的離心率為3 C．設(shè)直線AP的傾斜角為α，直線BP的傾斜角為β，則tanα?tanβ為定值 D．若直線PF與雙曲線的兩條漸近線分別交于M、N兩點(diǎn)，且FM→=2FN→，則S△MOF＝（多選）7．（2024秋?個(gè)舊市校級(jí)期末）設(shè)雙曲線C：x2﹣2y2＝3，則（）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．C的焦距為32C．C的離心率為3 D．C的漸近線方程為x（多選）8．（2024秋?安順校級(jí)期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，Q是圓F2A．E的離心率為2 B．E的漸近線方程為y=±C．F2到E的漸近線的距離為3 D．△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為±2三．填空題（共4小題）9．（2025?臨清市校級(jí)開學(xué)）已知雙曲線C：x212-y24=1的右焦點(diǎn)為F，M，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若G（0，2），且F為△MNG的重心，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線10．（2025?沙市區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l1交C的右支于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方），|AF2|＝2|BF2|，過點(diǎn)F1作直線l2∥l1，交C于點(diǎn)E（點(diǎn)E在第二象限），若直線BE與直線AF111．（2024秋?杭州校級(jí)期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C右支上一點(diǎn)，線段PF1與C的左支交于點(diǎn)M．若12．（2024秋?保山校級(jí)期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，如果MF1→⊥四．解答題（共3小題）13．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(6，1)在以F1，F(xiàn)2為左，右焦點(diǎn)的雙曲線C：x2a（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過F1的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B；（i）設(shè)l的斜率為k（k≠0），若k為直線AF1，BF1斜率的等差中項(xiàng)，求F2到l的距離d的取值范圍；（ii）如圖，點(diǎn)P在雙曲線C的左支上，點(diǎn)A在第一象限，l與∠F1PF2的平分線m垂直，垂足為D，點(diǎn)O為線段AP的中點(diǎn)，求|AD14．（2024秋?合作市校級(jí)期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線E的右頂點(diǎn)為B，P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB交雙曲線于M，N兩點(diǎn)（異于A，B），記直線MN與x軸的交點(diǎn)為Q．①求證：Q為定點(diǎn)；②直線MN交直線x＝﹣1于點(diǎn)D，記QD→=λQM→15．（2025?湖南模擬）已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1（1）求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G是圓(x-2)2+(y-3)2=1（3）已知兩平行直線l1和l2，直線l1過點(diǎn)（2，0）交雙曲線Γ的右支于A，B兩點(diǎn)，直線l2過點(diǎn)（8，0）交雙曲線Γ的右支于C，D兩點(diǎn)，記AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過點(diǎn)Q作雙曲線Γ的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N．求四邊形PMQN面積的取值范圍．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之雙曲線參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號(hào)12345答案ACDBB二．多選題（共3小題）題號(hào)678答案ACDBDABD一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?泉州月考）已知雙曲線C：x2-y2m=1的一條漸近線的方程為2A．4 B．2 C．12 D．【考點(diǎn)】由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線的斜率列方程即可得解．【解答】解：因?yàn)殡p曲線C：x2又其中一條漸近線方程為y＝2x，所以m1=2，解得m＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025秋?邯鄲月考）已知直線l：y＝kx為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(b＞a＞0)的一條漸近線，l與圓M：（x+2）2+y2＝4A．233 B．3 C．2 D【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)△POM的面積以及圓的方程可得，點(diǎn)M到圓心的距離，再由點(diǎn)到直線距離公式可得k2，即b2【解答】解：由已知，△POM的面積為12×2×2×sin∠PMO=3，所以sin∠若∠PMO＝60°，則△POM為正三角形，點(diǎn)M（﹣2，0）到直線l的距離為3，即|-2k|1+k2=3，解得k2＝3，即若∠PMO＝120°，則△POM為頂角為120°的等腰三角形，點(diǎn)M（﹣2，0）到直線l的距離為1，即|-2k|1+k2=1，解得k2=1綜上，離心率為2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求雙曲線離心率，屬于中檔題．3．（2025?安徽開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2=1(A．2 B．32 C．32 D【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由點(diǎn)在雙曲線上求得a=2，再確定雙曲線參數(shù)【解答】解：由雙曲線C：x2a2-y2=1（a＞0得4a2-1=1，解得a所以雙曲線離心率為ca故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題．4．（2024秋?句容市期末）雙曲線x24A．1 B．3 C．2 D．2【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】B【分析】直接利用雙曲線方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解漸近線方程，然后求解即可．【解答】解：雙曲線x24-y23=1雙曲線x24-y故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5．（2024秋?南寧期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．55 B．355 C．33【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】記|F2A→|=2m(m＞0)，分別用m表示出|F1A→|，|F1B→|，|【解答】解：因?yàn)镕2A→=-23F2B又F1A→⊥F記|F2A由雙曲線定義和對(duì)稱性可得|F則有（2a+2m）2+（3m）2＝（5m）2，即a2+2ma﹣3m2＝0，解得a＝m或a＝﹣3m（舍去）．記∠F1AF2＝θ，則cosθ=在△AF1F2中，由余弦定理得4c整理得5c2＝9a2，得e=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?宣漢縣校級(jí)模擬）雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)A．雙曲線C的漸近線方程為y=±B．雙曲線C的離心率為3 C．設(shè)直線AP的傾斜角為α，直線BP的傾斜角為β，則tanα?tanβ為定值 D．若直線PF與雙曲線的兩條漸近線分別交于M、N兩點(diǎn)，且FM→=2FN→，則S△MOF＝【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，可得漸近線方程，可判斷A；由離心率公式可判斷B；由直線的斜率公式和點(diǎn)在雙曲線上，可判斷C；由N是FM的中點(diǎn)，可得三角形的面積的關(guān)系，可判斷D．【解答】解：右焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線bx±ay＝0的距離為bca2+b2=則漸近線方程為y=±3x由b=3a，可得e=c由A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n），可得m2a2-則tanα?tanβ=nm+a?n因?yàn)镕M→=2FN→，所以N是FM的中點(diǎn)，可得S△MOF＝2S△故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及向量共線定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?個(gè)舊市校級(jí)期末）設(shè)雙曲線C：x2﹣2y2＝3，則（）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．C的焦距為32C．C的離心率為3 D．C的漸近線方程為x【考點(diǎn)】雙曲線的焦點(diǎn)和焦距；雙曲線的漸近線；求雙曲線的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：雙曲線C：x2﹣2y2＝3，即x2則a=3，b=C的實(shí)軸長(zhǎng)2a=23，故AC的焦距為2c＝32，故B正確；C的離心率為ca=3C的漸近線方程為y=±bax=±故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?安順校級(jí)期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，Q是圓F2A．E的離心率為2 B．E的漸近線方程為y=±C．F2到E的漸近線的距離為3 D．△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為±2【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率；雙曲線的其他性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】由題意可求a，b，c，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可判斷A，B，C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：由題意，可知F2（4，0），所以c＝4．又由題意，知|PF1|＝|PQ|，所以2a＝||PF1|﹣|PF2||＝||PQ|﹣|PF2||＝|QF2|＝4＜8＝2c，所以b2＝c2﹣a2＝12，故E的方程為x24-y212漸近線方程為y=±bax=±焦點(diǎn)F2到漸近線的距離為d=43設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)A（x0，0），則由雙曲線定義得2a＝||PF1|﹣|PF2||＝||AF1|﹣|AF2||＝|（x0+c）﹣（c﹣x0）|＝2|x0|，所以x0＝±a＝±2，即△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為±2，所以D正確，故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題以雙曲線為背景，考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，是中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?臨清市校級(jí)開學(xué)）已知雙曲線C：x212-y24=1的右焦點(diǎn)為F，M，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若G（0，2），且F為△MNG的重心，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣1），直線MN的方程為2x+y【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】（6，﹣1）；2x+y﹣11＝0．【分析】設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由F為△MNG的重心，得x1+x2＝12，y1+y2＝﹣2，可求MN的中點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)差法求出直線MN的斜率，得直線方程．【解答】解：由題知，F(xiàn)（4，0），設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2），因?yàn)镕為△MNG的重心，所以x1+x2即x1+x2＝12，y1+y2＝﹣2，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣1），因?yàn)镸，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，所以x1兩式相減并化簡(jiǎn)得y1所以直線MM的方程為y+1＝﹣2×（x﹣6），即2x+y﹣11＝0．故答案為：（6，﹣1）；2x+y﹣11＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2025?沙市區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l1交C的右支于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方），|AF2|＝2|BF2|，過點(diǎn)F1作直線l2∥l1，交C于點(diǎn)E（點(diǎn)E在第二象限），若直線BE與直線AF1【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】213【分析】利用給定條件分別求出邊長(zhǎng)，利用余弦定理表示同角的三角函數(shù)，建立齊次方程求解離心率即可．【解答】解：如圖，記直線BE與直線AF1的交點(diǎn)為P，且連接BF1，則xP由對(duì)稱性有BE過坐標(biāo)原點(diǎn)O且|EF1|＝|BF2|．由l1∥l2，有△EF1P∽△BAP，∴|E又∵|EO|＝|BO|，∴|EP|＝|OP|，得xE∴|EF1|＝a，|AF2|＝2a，|AF1|＝4a，即|BF1|＝3a，|BF2|＝a，在△ABF1中，cos∠在△AF1F2中，cos∠F1故答案為：213【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率的求法，解題關(guān)鍵是利用給定條件求出各個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，然后利用余弦定理表示同一個(gè)角，得到所要求的離心率即可，是中檔題．11．（2024秋?杭州校級(jí)期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C右支上一點(diǎn)，線段PF1與C的左支交于點(diǎn)M．若【考點(diǎn)】雙曲線的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)題意得到|PF2||PM|=34，設(shè)|PF2|＝3x，則|PM|＝4x，由勾股定理得|MF2|＝5x，由雙曲線定義|PF1|﹣|PF2|＝2a得到方程，求出x=23a，故|PF1|＝4a，|PF【解答】解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P∵tan∠F1M又∠F1PF2＝90°，∴|P設(shè)|PF2|＝3x，則|PM|＝4x，由勾股定理得|M由雙曲線定義得|MF2|﹣|MF1|＝2a，故|MF1|＝5x﹣2a，故|PF1|＝|MF1|+|PM|＝5x﹣2a+4x＝9x﹣2a，由雙曲線定義得|PF1|﹣|PF2|＝9x﹣2a﹣3x＝2a，故6x＝4a，解得x=故|PF1在△PF1F2中，由勾股定理得|P即16a2+4a2＝4c2，解得c=故離心率ca故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．12．（2024秋?保山校級(jí)期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，如果MF1→⊥【考點(diǎn)】雙曲線的焦點(diǎn)三角形．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】16．【分析】根據(jù)題意求出a，b，c，由MF1→⊥MF2→及雙曲線的定義求出【解答】解：已知雙曲線E：則a＝3，b＝4，所以c=不妨設(shè)|MF1|＞|MF2|，根據(jù)雙曲線定義可得|MF1|﹣|MF2|＝2a＝6①，又MF所以|MF聯(lián)立①②解得|MF1|?|MF2|＝32，所以△MF1F2的面積S=故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(6，1)在以F1，F(xiàn)2為左，右焦點(diǎn)的雙曲線C：x2a（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過F1的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B；（i）設(shè)l的斜率為k（k≠0），若k為直線AF1，BF1斜率的等差中項(xiàng)，求F2到l的距離d的取值范圍；（ii）如圖，點(diǎn)P在雙曲線C的左支上，點(diǎn)A在第一象限，l與∠F1PF2的平分線m垂直，垂足為D，點(diǎn)O為線段AP的中點(diǎn)，求|AD【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）（i）[0，+∞]；（ii）14【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，分析出漸近線與x軸夾角得斜率，列方程求參數(shù)值，即可得方程；（2）（i）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立雙曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理，及等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求得（m﹣2k）（x1+x2+4）＝0，結(jié)合判別式得m2+1＞3k2、m=2k-23k，進(jìn)而求0＜k2＜13或k2＞43，最后應(yīng)用點(diǎn)線距離公式用k表示出d，即可得范圍；（ii）設(shè)P（﹣x1，﹣y1），直線m斜率為k，記其方向向量a→=(1，k)，根據(jù)題設(shè)可得PF1→?a→|PF1→|=PF2→?a【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)(6，1)在C上，所以又雙曲線C的漸近線和y軸將xOy平面六等分，所以漸近線與x軸的交角為π6，則ba由①②解得a2＝3，b2＝1，故雙曲線C的方程為x2（2）（i）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=kx+mx23-y2=1得（1﹣3k2）x2﹣?lái)f達(dá)定理得x1+x2=6km1-3k2，x1x2=-3(m2+1)1-3k2，由Δ＝36k2m因k為直線AF1，BF1的斜率的等差中項(xiàng)，則y1x1+2+y2x2+2=2k，代入y1＝kx得（kx1+m）（x2+2）+（kx2+m）（x1+2）＝2k（x1+2）（x2+2），整理得（m﹣2k）（x1+x2+4）＝0，當(dāng)m﹣2k＝0時(shí)，直線l為y＝k（x+2），此時(shí)直線過焦點(diǎn)，不合題意，因此x1+x2＝﹣4，即6km因此m=2k-23k，代入m2+1＞3k2化簡(jiǎn)可得9k4﹣15解得0＜k2又d=令1+1k2因此d=|143t-2所以y∈(-∞，1)∪(7，4)，故（ii）由題意，點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有P（﹣x1，﹣y1），可知直線m斜率存在，設(shè)直線m斜率為k，記其方向向量a→又m為∠F1PF2的平分線，則PF因?yàn)閤123因此|P同理|PF2→|=代入PF1→?a→|PF1又x1＞0，y1＞0，所以k＞0，將x1＝3ky1代入x123-y12因此A(3k3k設(shè)直線m的方程為y＝kx+n，將P(-3k因此直線m的方程為y=kx+3k因?yàn)橹本€AB的斜率為-1k，設(shè)直線AB的方程為x＝﹣ky+t，將A(因此直線AB的方程為x=-將其與x23-則y1+y2=8k2(k2-|AB由基本不等式，|AB||AD|=因此|AD||BD|故|AD||【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的綜合，屬于難題．14．（2024秋?合作市校級(jí)期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線E的右頂點(diǎn)為B，P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB交雙曲線于M，N兩點(diǎn)（異于A，B），記直線MN與x軸的交點(diǎn)為Q．①求證：Q為定點(diǎn)；②直線MN交直線x＝﹣1于點(diǎn)D，記QD→=λQM→【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）①證明過程見解析；②證明過程見解析．【分析】（1）由題意，根據(jù)左頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程得到a和b的值，進(jìn)而可得雙曲線E的方程；求出雙曲線方程；（2）①設(shè)P（﹣1，m），其中m≠0，結(jié)合雙曲線漸近線方程得到m≠±332且m≠±32，設(shè)出直線PA的方程，將直線PA的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到xM，yM，同理得xN，yN，可得直線MN的方程，令y＝0②結(jié)合①中所得信息可得xD﹣xQ＝λ（xM﹣xQ），xD﹣xQ＝μ（xN﹣xQ），求出λ=9-12m【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)A（﹣2，0），所以a＝2，又橢圓C的一條漸近線方程為y=可得ba即b=則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）①證明：由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），不妨設(shè)P（﹣1，m），因?yàn)檫B接PA，PB交雙曲線于M，N兩點(diǎn)（異于A，B），所以m≠0，因?yàn)殡p曲線漸近線為y=±所以m-解得m≠±33此時(shí)直線PA：即y＝m（x+2），聯(lián)立y=m(x+2)x24-y23=1，消去y并整理得（3﹣4m2）x2﹣由韋達(dá)定理得-2?所以xM此時(shí)yM同理得直線PB：即y=-聯(lián)立y=-m3(x-2)x24-y23=1，消去y并整理得（27﹣4m2）由韋達(dá)定理得2x所以xN此時(shí)yN此時(shí)直線MN的方程為y-令y＝0，此時(shí)13-4解得x=則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），為定值；②證明：由①知xQ因?yàn)镼D→所以xD﹣xQ＝λ（xM﹣xQ），xD﹣xQ＝μ（xN﹣xQ），即-1+4=λ(解得λ=9-12m故λ+【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．15．（2025?湖南模擬）已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1（1）求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G是圓(x-2)2+(y-3)2=1（3）已知兩平行直線l1和l2，直線l1過點(diǎn)（2，0）交雙曲線Γ的右支于A，B兩點(diǎn)，直線l2過點(diǎn)（8，0）交雙曲線Γ的右支于C，D兩點(diǎn)，記AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過點(diǎn)Q作雙曲線Γ的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N．求四邊形PMQN面積的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）5+3（3）[24，+∞）．【分析】（1）由k1?k2=13（2）結(jié)合雙曲線定義、圓的性質(zhì)以及三角形兩邊之和大于第三邊即可求解；（3）求得面積表達(dá)式SPMQN=24|m2-【解答】解：（1）由雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1則直線A1E的斜率k1=13+a，直線∴k1?k2=1∵點(diǎn)E(3，1)在雙曲線Γ上，∴(3)故雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)點(diǎn)G所在圓的圓心為H，則H（2，3），由雙曲線的定義可得|KF2∴|KF2|+|KG|=|KF1|+|KG∴當(dāng)K，G，F(xiàn)1三點(diǎn)共線且K位于點(diǎn)G和F1之間時(shí)，|KF1|+|KG|取得最小值|F1G|，又∵|F1G|的最小值為|HF1|-r=5-22，∴|（3）由題意可知直線l1和直線l2斜率若存在，則斜率大于1或小于﹣1，且雙曲線Γ的漸近線方程為x±y＝0，故可分別設(shè)直線l1和直線l2的方程為x＝my+2和x＝my+8，且0≤m2＜1，聯(lián)立x=my+2x22-y22=1，消去x整理得（m2﹣1）y2+4my+2＝0，則Δ＝（4m）2﹣4（m2﹣設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y故x1∵P是AB的中點(diǎn)，∴P(-同理可得Q(-∴P到雙曲線Γ的兩漸近線的距離分別為d1d2Q到雙曲線Γ的兩漸近線的距離分別為|QM|QN由上知雙曲線Γ的兩漸近線垂直，故四邊形OMQN是矩形，連接OP，則四邊形PMQN面積為S=|QM=4∵0≤m2＜1，∴|m2﹣1|∈（0，1]，∴S四邊形∴四邊形PMQN面積的取值范圍為[24，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．雙曲線的焦點(diǎn)和焦距【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2-x2b2=1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b22．雙曲線的漸近線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2-x2b2=1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上漸近線x2即y＝±bay2即y＝±ab3．由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知雙曲線的漸近線方程可以確定a和b，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算a和b：由漸近線方程的斜率計(jì)算．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定漸近線方程，求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)．﹣利用漸近線方程計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程．4．雙曲線的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y5．雙曲線的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y6．求雙曲線的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：利用公式e=2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．﹣根據(jù)離心率計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．7．雙曲線的其他性質(zhì)【知識(shí)