專題04立體幾何動點(diǎn)、軌跡與截面培優(yōu)歸類題型1動點(diǎn)軌跡：空間球基礎(chǔ)在此處鍵入公式。空間球：到定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡用一個平面去截球，若平面經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。且滿足勾股數(shù)組1．（2025·遼寧本溪·模擬預(yù)測）將邊長為的正方形沿著對角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，得到三棱錐，點(diǎn)平面，且若則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出幾何圖形，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定性質(zhì)，借助勾股定理確定點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出軌跡長.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接，則，又平面，則平面，由平面，得平面平面，在中，，由余弦定理得，為鈍角，且，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，而平面平面，于是平面，連接，又平面，則，在中，，在中，，，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C.2．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知四面體滿足動點(diǎn)在四面體的外接球的球面上，且則點(diǎn)的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將該四面體放置在一個長方體中，通過題意可得到點(diǎn)的軌跡為一個圓，設(shè)其半徑為利用勾股定理求解半徑，即可求解．【詳解】解：如圖，將該四面體放置在一個長方體中，由題可知長方體的長、寬、高分別為體對角線長為其外接球半徑因?yàn)樗渣c(diǎn)的軌跡為一個圓，設(shè)其半徑為則即解得或即此時無解，故所求長度為．故選：C．3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知邊長為的正方體，點(diǎn)為內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，則點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與平面的交線；結(jié)合點(diǎn)到平面的距離判斷球面與平面的相交的小圓的半徑與內(nèi)切圓半徑的大小，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，則，又易知為等邊三角形，且邊長為，所以，得到，所以以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與平面相交的圓半徑為；設(shè)等邊的內(nèi)切圓半徑為，則有，得到，設(shè)的中心為軌跡與分別交于兩點(diǎn)，如圖，弧長的三倍即為所求，在中，，所以，可得，故，所以交線長為，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成求以的中心為圓心，為半徑的圓被所截的弧長，空間問題平面化.4．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知正三棱錐，滿足，點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，且，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正三棱錐的圖形特征，計算得出點(diǎn)的軌跡計算即可.【詳解】由題意可知，正三棱錐，設(shè)正的中心為，得，又，點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部（含邊界）的弧，作于，則點(diǎn)的軌跡長度為.故選：A.題型2動點(diǎn)軌跡：空間阿球阿波羅尼斯球：空間一動點(diǎn)到空間內(nèi)兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡為球，稱之為阿波羅尼斯球。1．（22-23高三下·重慶·階段練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)P的軌跡是圓”，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．將“阿氏圓”以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周即可得“阿氏球”．即空間一動點(diǎn)到空間內(nèi)兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡為球，稱之為阿波羅尼斯球．設(shè)M，N是球C（C為球心）球面上兩定點(diǎn)，球半徑為3且．（1）空間中一動點(diǎn)P滿足，可知點(diǎn)P的軌跡為阿氏球，則該球的表面積為；（2）若球C表面上一動點(diǎn)Q滿足，則點(diǎn)Q的軌跡長度為．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中，再結(jié)合球的表面積公式即可得到結(jié)果；由條件可得兩球的交線為圓，然后得到圓的半徑即可得到結(jié)果.【詳解】

（1）以MCN所在的平面建立直角坐標(biāo)系，MN為x軸，MN的垂直平分線為y軸，由球半徑為3且，可得，則，，設(shè)，，則可得，故點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)P繞MN為軸旋轉(zhuǎn)一周時，|PM|，|PN|不變，故空間中P的軌跡為以T為球心，半徑為的球，所以其表面積為；（2）由（1）可知點(diǎn)Q的軌跡即為球C與（1）問中阿氏球的交線，兩球的交線為圓，又該阿氏球球心為T，利用C，T在（1）中的坐標(biāo)，，則球心距為，三角形QTC為直角三角形，對應(yīng)圓半徑，周長即為軌跡長．故答案為:;2．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）動點(diǎn)在棱長為3的正方體側(cè)面上，滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，計算出，由點(diǎn)平面，得出點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長公式計算即得.【詳解】

如圖，易得平面,因平面，則，不妨設(shè)，則,，解得，又點(diǎn)平面，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧,故其長度為.故選：D.3．（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)軌跡的長度求出棱長，利用四棱柱的表面積公式可求答案.【詳解】設(shè)棱長為，延長，過點(diǎn)作垂直于的延長線于，由，可得；由直四棱柱的性質(zhì)可得，平面，所以；因?yàn)?，所?在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內(nèi)的部分，即圖中圓弧.因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡長度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.

4．（2023·安徽銅陵·三模）已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，當(dāng)P在面時,如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長度時先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時可直接求圓周長，當(dāng)截面只是圓的一部分時先求圓心角的大小再計算弧長.題型3動點(diǎn)定角軌跡：異面直線角度軌跡型空間角度定值，可轉(zhuǎn)化為圓錐曲線母線與軸的關(guān)系。角度定值，即圓錐曲線側(cè)面（母線集合）與平面交點(diǎn)1．（23-24高三浙江階段練習(xí)）在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.2．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）在正方體中，點(diǎn)M、N分別是直線CD、AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)的動點(diǎn)（不包括邊界），記直線與MN所成角為，若的最小值為，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．拋物線的一部分 D．雙曲線的一部分【答案】B【分析】直線與所成角的最小值是直線與面所成角，即原問題轉(zhuǎn)化為：直線與面所成角為，求點(diǎn)的軌跡．延長交面于點(diǎn)，則在面內(nèi)的軌跡為圓的一部分，則將點(diǎn)的軌跡轉(zhuǎn)化為平面截圓柱所得曲線．【詳解】直線與所成角的最小值是直線與面所成角，即原問題轉(zhuǎn)化為：直線與面所成角為，求點(diǎn)的軌跡．延長交面于點(diǎn)，因?yàn)樗?，，的軌跡是以為軸的圓錐曲面的一部分，點(diǎn)是△內(nèi)的動點(diǎn)（不包括邊界），其在面內(nèi)的軌跡，等價于平面截圓錐所得的曲線，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體的棱長為1，，，平面截圓錐所得的曲線為橢圓的一部分.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線面角及空間軌跡問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意判斷截面與圓錐的軸所成角與圓錐母線與軸所成角的大小關(guān)系.3．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知正方體，P是平面上的動點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，滿足PM與所成的角為，則動點(diǎn)P的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】采用數(shù)形結(jié)合的方法，并建立空間直角坐標(biāo)系，計算，根據(jù)空間向量夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】在正方體中，連接相交于點(diǎn)所以，又平面，所以又，所以平面以為原點(diǎn)，分別為軸和軸，然后過點(diǎn)作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，所以由PM與所成的角為所以化簡可得，即所以點(diǎn)的軌跡為橢圓故選：B【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)的軌跡，采用數(shù)形結(jié)合的方法以及向量的使用，將幾何問題代數(shù)化，使問題更加簡潔明了，屬中檔題.4．（21-22高三上·云南玉溪·階段練習(xí)）正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是邊上的一個點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一動點(diǎn)，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點(diǎn)所在軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)分析可知：點(diǎn)軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于反向?qū)ΨQ的錐體與平面的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷所在軌跡的形狀.【詳解】由題設(shè)，點(diǎn)軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于反向?qū)ΨQ的錐體與平面的交線，如下圖示：當(dāng)是邊上移動過程中，只與下方錐體有相交，點(diǎn)軌跡為拋物線；當(dāng)是邊上移動過程中，與上方錐體也有相交，點(diǎn)軌跡為雙曲線；故選：D題型4動點(diǎn)定角軌跡：線面角型線面角：線面角定角定值，則可以轉(zhuǎn)化為線與面的垂線（法向量）成定角定值，可轉(zhuǎn)化為圓錐曲線母線與軸的關(guān)系。角度定值，即圓錐曲線側(cè)面（母線集合）與平面交點(diǎn)1．（24-25高二上·天津·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面正方形內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動點(diǎn)P的軌跡圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取正方形的中心，利用線面垂直及線面角可求得，進(jìn)而確定軌跡并求出面積.【詳解】在棱長為2的正方體中，取正方形的中心，連接，由Q是正方形的中心，得平面，則是PQ與平面所成的角，則，而，于是，，因此動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A

2．（22-23高二上·湖北·期中）在四棱錐中，平面ABCD，PA＝3，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且，，直線PM與平面ABCD所成的角為，記點(diǎn)M的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合線面角以及圓的知識求得正確答案.【詳解】由于平面，所以平面，所以，則，即是直線與平面所成角，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的部分，設(shè)圓與分別交于兩點(diǎn)，，所以，所以點(diǎn)的軌跡長為.故選：A3．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)是邊長為1的正方體表面上的動點(diǎn)，若直線與平面所成的角大小為，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，分析可得點(diǎn)的軌跡，分別計算各段軌跡的長度即可.【詳解】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，過點(diǎn)P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，得，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為1的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段和，因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個正方形內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡如圖所示：故點(diǎn)P的軌跡長度為.故選：D4．（2025·甘肅·二模）如圖，在三棱錐中，平面，且，若在內(nèi)（包括邊界）有一動點(diǎn)，使得與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)的軌跡長為（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】過作平面，為等邊的中心，由等體積發(fā)可得，則與平面所成角為，所以，的軌跡為以為圓心，以為半徑的落在內(nèi)的圓?。驹斀狻窟^作平面，因?yàn)?，所以是邊長為2的等邊三角形，易知為的中心，由，則，則，與平面所成角為，因?yàn)榕c平面所成角的正切值為，所以，解得，所以的軌跡為以為圓心，以為半徑的落在內(nèi)的圓?。鶕?jù)，可知四邊形是菱形，且，根據(jù)對稱性可知：所形成的軌跡是三段等長的圓弧，故的軌跡長為．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)線面角的定義找到與平面所成角，從而得的軌跡是解題關(guān)鍵.題型5動點(diǎn)定角軌跡：二面角型1．（21-22高三·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題作出圖形，易得外接圓圓心在中點(diǎn)，結(jié)合正弦定理可求外接圓半徑，結(jié)合圖形知，，再結(jié)合二面角大小求出，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點(diǎn)，設(shè)為，設(shè)的外心為，中點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以必在連線上，則，即，因?yàn)閮善矫娼痪€為，為平面所在圓面中心，所以，，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知三棱錐為中點(diǎn)，為直二面角，且為二面角的平面角，三棱錐的外接球表面積為，則平面被球截得的截面面積及直線與平面所成角的正切值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用球的截面的性質(zhì)，找出球心球心，再根據(jù)條件求出球的半徑，在中，利用勾股定理，求出外接圓的半徑，即可求出截面面積，再求出的長，即可求出直線與平面所成角的正切值，從而求出結(jié)果.【詳解】依題知平面，又面，所以，又為中點(diǎn)，所以，取中點(diǎn)為，連接交于，則是外心，又，所以，連接，在上取為外心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，，連接，設(shè)外接圓半徑，設(shè)球半徑為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，得到，所以在中，，所以平面截球的截面面積，在中，，所以，又為直線與平面所成角，所以，故選：D.3．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找截面圓的圓心，過圓心作截面的垂線，球心在垂線上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.【詳解】設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過這兩點(diǎn)分別作平面、平面的垂線，交于點(diǎn)O，則O就是外接球的球心；取中點(diǎn)E，連接，因?yàn)?，，所以，因?yàn)楹褪钦切?，所以，由得，所以由，即球半徑為，所以球體積為．故選：C.4．（2025·山西臨汾·二模）在三棱錐中，，且二面角的大小為，則當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時，（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二面角的幾何法可得，即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理可得球半徑即可求解.【詳解】由于且二面角的大小為，故為二面角的平面角，故，由于平面，故平面，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，則的外接圓直徑，故外接球的半徑當(dāng)時，球的半徑取得最小值,此時三棱錐的外接球體積最小，故.故選：A題型6動點(diǎn)定角軌跡：兩角相等型兩角相等型：兩角相等，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正余弦或者正切型，利用三角函數(shù)值對應(yīng)的線段比，轉(zhuǎn)懷偉線段比相等或者比值為定值，則復(fù)合阿波羅尼斯圓。1．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）點(diǎn)在正方體的底面所在平面上，是的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．直線 C．橢圓 D．圓的一部分【答案】A【詳解】試題分析：在中，在中，，，即又，也就是說動點(diǎn)P到定點(diǎn)D的距離是它到A距離的2倍，以A為原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，，，則，整理得，又因?yàn)镻正方體的底面ABCD所在的平面上，所以P點(diǎn)的軌跡為圓，故選A．考點(diǎn)：空間線面垂直關(guān)系，直角三角形中正切函數(shù)的定義，直接法求軌跡方程．【方法點(diǎn)晴】本題是一道立體幾何與平面解析幾何相結(jié)合的綜合題，要研究P的軌跡，應(yīng)設(shè)法把幾何體中兩角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的距離問題，在這個轉(zhuǎn)化過程中，正方體中的側(cè)棱與底面垂直和棱長相等是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，在轉(zhuǎn)化基礎(chǔ)上，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，把距離關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，整理方程即可判斷軌跡形狀．2．（24-25高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖,所在的平面和四邊形所在的平面垂直,且,,,,,,則點(diǎn)P在平面內(nèi)的軌跡是A．圓的一部分 B．一條直線 C．一條線段 D．兩條直線【答案】A【分析】以AB所在的直線x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(-3,0),B(3,0),可得，可得P的軌跡方程，可得答案.【詳解】解：以AB所在的直線x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(-3,0),B(3,0),由,,,,,可得,可得,整理可得，故點(diǎn)P的軌跡是圓的一部分，故選A.【點(diǎn)睛】本題以立體幾何為載體考查軌跡問題，綜合性強(qiáng)，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析問題解決問題的能力和知識方法的遷移能力，同時考查了運(yùn)算能力，是一道不錯的綜合題，屬于難題.3．（2020高三·上?！ｎ}練習(xí)）四棱錐，平面，平面，底面為梯形，，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)的軌跡是（

）．A．圓 B．不完整的圓 C．拋物線 D．拋物線的一部分【答案】B【分析】根據(jù)題意判斷出，進(jìn)而利用軌跡方程的求法，判斷出點(diǎn)的軌跡是不完整的圓.【詳解】畫出圖象如下圖所示，依題意平面，平面，所以.由于，所以，即，即.由于，下證明滿足的點(diǎn)的軌跡是不完整的圓.以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示.則，設(shè)，由于，則，兩邊平方并化簡得，即.由于是錐體，所以不能在直線上，所以點(diǎn)的軌跡是不完整的圓.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中點(diǎn)的軌跡，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4．（20-21高三上·安徽六安·階段練習(xí)）在長方體中，，，為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)在面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)的軌跡與長方體的面交線長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)題意可得，再建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，在平面內(nèi)得點(diǎn)的軌跡為圓，再根據(jù)實(shí)際情況求弧長即可得答案.【詳解】由題意知：，，由可得，即，所以，可得，在平面中，以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，由可得：則，即，該圓的圓心為，該圓與，分別交于點(diǎn)，，連接，易知，所以所求交線即弧長的長度為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是，再建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的軌跡，再求出與面的交線.題型7動點(diǎn)軌跡：恒平行型動點(diǎn)所形成直線與平面恒平行，則可以轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)所在的平面與平面平行”1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面邊長為4，側(cè)棱長為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為上底面內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把該正四棱柱截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，由題意易得平面平面，從而可得，進(jìn)而可得體積較小的部分為三棱錐，進(jìn)而可求得其外接球的體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接由題意可得，又，所以，所以平面即為平面，又，平面，平面，所以平面，易得，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又為上底面?nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，所以，由圖易知的軌跡把該正四棱柱截成兩部分中體積較小的部分為三棱錐，又，所以三棱錐的外接球的半徑，較小部分的外接球的體積為.故選：D.2．（23-24高一下·重慶·期末）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到平面平面，確定當(dāng)在線段上運(yùn)動時，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，求出外接球半徑，得到外接球體積.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，故，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，故?dāng)在線段上運(yùn)動時，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，其中兩兩垂直，且，故其外接球半徑為，故較小部分的外接球的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.3．（24-25高二上·山西太原·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合條件直線則，由此確定點(diǎn)的軌跡，再求軌跡長度.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，則.設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以為平面的一個法向量.由題意可知，平面，則，令，可得，令，可得，所以點(diǎn)的軌跡為線段，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：B.4．（24-25高二上·上海寶山·階段練習(xí)）如圖，在棱長為5的正方體中，是側(cè)面上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上，且則以下命題正確的是（

）（動點(diǎn)的軌跡：指動點(diǎn)運(yùn)動所形成的圖形）

A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是B．保持與垂直時，點(diǎn)的軌跡長度為C．若保持，則的軌跡長度為D．平面被正方體截得截面為直角梯形【答案】B【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的軌跡是圓弧，即可判斷C；作出正方體被平面所截的截面即可判斷D．【詳解】對于A，將正方體的下底面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接，則，故A錯誤；對于B，如圖：

平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，平面，所以平面．所以過點(diǎn)作交于，過作交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，則平面平面．設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，連接，則，所以，又，所以，所以，故B正確；對于C，如圖：

若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作平面，則，此時．所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓弧上，此時圓心角為．點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度，故C錯誤；對于D，如圖：

延長交于點(diǎn)，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為．，所以，，所以，所以，所以且，所以截面為梯形，，所以截面為等腰梯形，故D不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個點(diǎn)在幾何體的同一平面上.題型8動點(diǎn)軌跡：恒垂直型動點(diǎn)所形成直線與平面恒垂直，則可以轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)所在的平面與平面垂直”。1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在高為16的圓柱型筒中，放置兩個半徑均為3的小球，兩個小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面與兩個小球也相切，平面被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出的長，由勾股定理求得的長，再由三角形全等，求得長半軸長，由圓柱得到短半軸長，從而求得半焦距長，然后由離心率公式求得離心率的值.【詳解】設(shè)平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，如圖，作出圓柱過橢圓的長軸的截面圖，設(shè)長軸A，B與兩圓的切點(diǎn)是．連接，記橢圓長軸與交于點(diǎn)C，過C作，且CD交圓柱的母線于點(diǎn)D，連接，則，．因?yàn)閳A柱的高為16，球的半徑是3，所以圓柱的底面半徑為3，．根據(jù)對稱性可知C是，AB的中點(diǎn)，故，則．易得，故，則橢圓的長半軸長．由題意得橢圓的短半軸長，所以半焦距長，則橢圓的離心率為，故選：D．2．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個橢圓面，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到橢圓的半短軸長，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)求出半長軸長，在根據(jù)，解出，由此即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，橢圓方程為，由題意，截面橢圓的半短軸長等于圓柱的底面半徑，即，因?yàn)?，，所以，在中，，，所以，所以橢圓的半長軸長等于，即，所以，因此橢圓的離心率.故選：D.3．（24-25高二上·北京·期中）光導(dǎo)纖維作為光的傳輸工具，在現(xiàn)代通訊中有著及其重要的作用，光纖由內(nèi)部纖芯和外部包層組成（如圖1），在一定的條件下，光在纖芯中傳輸，傳輸原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如圖2），在圖3中近似的展示了一束光線在一段較長的圓柱形光纖中的傳輸路徑，其中圓面是與光纖軸垂直的纖芯截面，若與圓所在平面成角的大小為，則光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過作圓于，連接，設(shè)，圓的半徑為，，由已知可得，利用余弦定理可求得，從而可得結(jié)論.【詳解】過作圓于，連接，所以為直線與圓所在平面所成的角，與圓所在平面成角的大小為，則，又圓，所以，，所以，設(shè)，因?yàn)闉辄c(diǎn)處的法線，則由反射定律可知，由，所以，所以，解得，設(shè)，圓的半徑為，所以，，，在中，由余弦定理可得，解得，所以為等邊三角形，所以，所以光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能故選：D.4．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）如圖，在圓柱中過作與軸截面垂直的一個平面，所得截面圖形為橢圓，將圓柱側(cè)面沿母線展開，該橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)一個周期的圖象，則該截面橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合圖形，利用勾股定理，可求出，，即可求解.【詳解】由題知橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)的一個周期，可得，且，設(shè)底面半徑為，則，得到設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，則有，得到，又，得到，所以橢圓的離心率為，故選：B.題型9截面基礎(chǔ)思維在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。。一般地，立體幾何中的截面問題，有兩種處理方法：1.是利用平行關(guān)系找交線，2.是利用共面直線延長相交得交點(diǎn).1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在高為16的圓柱型筒中，放置兩個半徑均為3的小球，兩個小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面與兩個小球也相切，平面被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出的長，由勾股定理求得的長，再由三角形全等，求得長半軸長，由圓柱得到短半軸長，從而求得半焦距長，然后由離心率公式求得離心率的值.【詳解】設(shè)平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，如圖，作出圓柱過橢圓的長軸的截面圖，設(shè)長軸A，B與兩圓的切點(diǎn)是．連接，記橢圓長軸與交于點(diǎn)C，過C作，且CD交圓柱的母線于點(diǎn)D，連接，則，．因?yàn)閳A柱的高為16，球的半徑是3，所以圓柱的底面半徑為3，．根據(jù)對稱性可知C是，AB的中點(diǎn)，故，則．易得，故，則橢圓的長半軸長．由題意得橢圓的短半軸長，所以半焦距長，則橢圓的離心率為，故選：D．2．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【答案】D【分析】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【詳解】當(dāng)截面如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；當(dāng)截面如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀；故選：D3．（21-22高一下·云南保山·期中）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，這個幾何體可能是（

）A．圓錐圓柱 B．圓柱球體 C．圓錐球體 D．圓柱圓錐球體【答案】D【分析】由圓錐，圓柱，球體的幾何特征判斷即可.【詳解】解：用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，則這個幾何體可能是圓錐，也可能是圓柱，也可能是球體，故選：D.4．（22-23高一·全國·階段練習(xí)）一個三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項(xiàng)B正確．【詳解】如圖所示：因?yàn)槿忮F的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個面的中心，即可知過一條側(cè)棱和對邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．題型10截面周長計算截面周長：截面周長求解，可以借助側(cè)邊展開，展開到一個平面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)（線）的對應(yīng)距離。1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在單位正方體中，任作平面與對角線垂直，使平面與正方體六條棱都有公共點(diǎn)，記截面的面積為，截面周長為，則（

）A．為定值，為定值 B．為定值，不為定值C．不為定值，不為定值 D．不為定值，為定值【答案】D【分析】根據(jù)題意易知截面面積是變動的，可證得周長為定值.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知最小時為正面積，面積為，最大時為中截面，面積為，為定值是正的周長（如圖29），理由如下，作平行于，則易得四邊形為平行四邊形，所以，，則，同理可得，，所以.故選：D.2．（2025·全國·模擬預(yù)測）正方體的棱長為4，點(diǎn)M在棱上，平面ACM把正方體分成兩個幾何體，其中一個幾何體的體積為14，則平面ACM截正方體所得的截面周長為（

）A． B． C． D．15【答案】A【分析】設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，則，設(shè)，由棱臺的體積求得，進(jìn)而可求得截面周長.【詳解】設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，則，幾何體是三棱臺，由題意知該三棱臺體積為14．設(shè)，則，解得，平面截正方體所得的截面為等腰梯形，，，，所以截面的周長為.故選：A．3．（23-24高一下·四川廣安·期中）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面多邊形記為，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，得到五邊形即為截面，根據(jù)三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面周長.【詳解】延長，與直線相交于，連接與分別交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為截面，正方體的棱長為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，由得，，，所以分別為靠近的三等分點(diǎn)，故，所以由勾股定理得，，所以的周長為.故選：D.4．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（

）A．6 B．10 C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接,則,取的中點(diǎn)，連接，延長交于，連接交于點(diǎn)，連接，作出截面圖形，然后再分別求出各邊長，從而得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接,則,取的中點(diǎn)，連接，則所以,則直線平面延長交于，連接交于點(diǎn)，連接,則為的中點(diǎn).則平面截該正方體所得的截面圖形為由條件可得,則,則,取的中點(diǎn)，連接，則，所以所以,則則所以截面圖形周長為故選：D題型11截面面積計算截面面積計算，可以拆分為三角形或者四邊形等容易計算的圖形進(jìn)行計算。關(guān)鍵是要通過平行和垂直找到對應(yīng)圖形的底和高。1．（24-25高一下·重慶南岸·期中）在三棱錐中，三條棱、、兩兩垂直，且，分別經(jīng)過三條棱、、，作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為、、，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)的對稱性分析相應(yīng)的截面，結(jié)合垂直關(guān)系求出截面面積，利用不等式的基本性質(zhì)求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，可知點(diǎn)、到平面的距離相等，所以平面平分三棱錐的體積，因?yàn)?，，，、平面，所以平面，且平面，則，設(shè)，，，，則，因?yàn)闉橹苯侨切?，則，所以，同理可得：，，因?yàn)椋?，，則，所以．故選：A.10．（22-23高三下·湖北武漢·期中）在正四棱臺中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作,該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，．取,的中點(diǎn)，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.3．（21-22高三上·全國·階段練習(xí)）已知棱長為的正四面體，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則正四面體的外接球被三角形所在的平面截得的截面面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得外接球球心位置、外接球半徑、以及外接球球心到平面的距離，即可求得截面圓半徑以及截面面積.【詳解】過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，交平面于點(diǎn)，設(shè)該四面體外接球球心為，連接，作圖如下所示：因?yàn)樗拿骟w為正四面體，且面，故點(diǎn)為△的外心，則該四面體的球心一定在上，不妨設(shè)外接球球心為；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又為中點(diǎn)，故也為中點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w的所有棱長為，故，則，；設(shè)該四面體的外接球半徑為，即，則，在△中，，即，解得，故.即外接球球心到平面的距離為，又外接球半徑為，設(shè)平面截外接球所得圓的半徑為，則，解得，故截面圓的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球半徑的求解，處理本題的關(guān)鍵在于找到球心的外置，求得球半徑以及球心到截面的距離，屬綜合中檔題.4．（21-22高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點(diǎn)在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點(diǎn)，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及截面圓面積，即可求解.【詳解】如圖，H為A在面BCD上的投影，O為外接球球心，是中截面MNP的中心，設(shè)外接球半徑為R，平面截球截面圓的半徑為r，不妨設(shè)棱錐的棱長為2，則，,，得，，故選：B題型12截面最值型求截面最值思維可以設(shè)變量，建立函數(shù)模型求最值問題：1.設(shè)元2.建立二次函數(shù)模型3.計算求解最值?？梢越Y(jié)合圖形的特殊性，利用極限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值問題：要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；

1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑，當(dāng)截面與OP垂直時，截面面積最?。环謩e求出對應(yīng)的半徑大小即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長為，則外接球的半徑，要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)，連接OE，OF，OP，則，，所以，此時截面圓的半徑．顯然當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；所以．故選：D．2．（23-24高二上·江西撫州·期中）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn).過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理推得三棱錐的高，進(jìn)而得出的長.當(dāng)截面垂直于時，截面面積最小，求出此時半徑，即可得出答案.【詳解】如圖，是A在底面的射影，則點(diǎn)在線段上.由正弦定理得，的外接圓半徑，所以.在中，由勾股定理得棱錐的高.設(shè)球O的半徑為R，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.在中，，.所以在中，有.又因?yàn)楫?dāng)截面垂直于時，截面面積最小，此時截面半徑為，截面面積為.故選：A.3．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）已知正方體的棱長為1，則與平面平行的平面截此正方體所得截面面積的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作，延長交、延長線于M、H，連接MK、交，于，則截面為六邊形，求出當(dāng)截面為正六邊形時，平面截此正方體所得截面面積最大.【詳解】作，延長交、延長線于M、H，連接MK、交，于，則截面為六邊形，因?yàn)椋矫?，平面，顯然平面平面，此時平面即為截面，當(dāng)截面在正方體底面上的投影面積越大，其面積就越大，如下圖，六邊形在正方體底面的投影為六邊形，設(shè)所以，當(dāng)時，取得最大值.

平面為正六邊形，邊長為，故正六邊形面積為S=6×.故選：A.4．（22-23高一下·新疆烏魯木齊·期中）已知四面體ABCD為正四面體，AB=4，E，F(xiàn)分別是AD，BC中點(diǎn).若用一個與EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將正四面體補(bǔ)成正方體，由此可得截面為平行四邊形，且，且，利用基本不等式即可求出結(jié)論．【詳解】補(bǔ)成正方體，如圖，令截面為四邊形，則平面，，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，同理可證，所以，同理，所以截面為平行四邊形.因?yàn)?，所以即同理可得可得，又，且，，可得，?dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D題型13恒平行型截面最值如果是線面恒平行，過線做面，需要找它們和第三個面的交線互相平行，借助好“第三個面的交線平行“這個性質(zhì)，可以解決線面恒平行題型的截面問題1．（23-24高三上·四川成都·期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點(diǎn)，CC1=AC=4，，AB=3，，過點(diǎn)D作平面平面，則平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可先證出平面，然后做出平面與截三棱柱的截面，再求截面面積從而求解.【詳解】由題意知：分別取中點(diǎn)，連接，如圖所示：所以：，因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋浩矫妫辉谄矫嫔?，所以：平面，平面，又因?yàn)椋海矫?，所以：平面平面，即：平面為平面與三棱柱的截面；因?yàn)椋?，，平面平面，又因?yàn)槠矫妫裕?，，又因?yàn)椋?，，平面，所以：平面，因?yàn)椋浩矫?，所以：，又因?yàn)椋簽橹悬c(diǎn)，所以得：為等邊三角形，則：，，，所以，所以得:四邊形為等腰梯形，所以：，，，可求出截面面積為：故A項(xiàng)正確.故選：A.2．（22-23高一下·河南洛陽·期中）在棱長為1的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，過直線的平面//平面，則平面截該正方體所得截面為（

）A．三角形 B．五邊形 C．平行四邊形 D．等腰梯形【答案】D【分析】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，證明在同一平面內(nèi)，且四邊形為等腰梯形，證明平面平面，即可確定答案.【詳解】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，則，所以，且,故在同一平面內(nèi)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，即平面截該正方體所得截面為梯形；又由梯形中，，即平面截該正方體所得截面為等腰梯形,故選：D3．（20-21高三下·安徽·開學(xué)考試）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)在棱上，過點(diǎn)作該正方體的截面，當(dāng)截面平行于平面且面積為時，線段的長為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作，的平行線，分別交棱，于點(diǎn)，，連接，，即可得到為截面，且為等邊三角形，再根據(jù)截面面積求出的長度，即可求出；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，的平行線，分別交棱，于點(diǎn)，，連接，，因?yàn)?，所以，面，面，所以面因?yàn)?，所以，面，面，所以面又，面，所以面面，則為截面，易知是等邊三角形，則，解得，∴.故選：A.4．（20-21高三·云南·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為線段上的一個動點(diǎn)，平面平面，則下列命題中錯誤的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得平面B．三棱錐的體積為定值C．平面截該正方體所得截面面積的最大值為D．平面截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形【答案】C【分析】連接，可得平面，即可判斷A，由平面可判斷B，當(dāng)截面為正六邊形時（其中，，，，，都是中點(diǎn)），計算截面面積，然后可判斷C、D.【詳解】如圖，連接，可得平面，由與異面可知，不存在點(diǎn)，使得平面，故A正確；又平面，所以動點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；如圖，當(dāng)截面為正六邊形時（其中，，，，，都是中點(diǎn)），易得該正六邊形的邊長為，所以其面積為，故C錯誤；截面可能為三角形，也可能為六邊形，故D正確，故選：C.題型14恒垂直型截面最值恒垂直型截面，可以借助投影解決，投影型，需要利用”三垂線定理及其逆定理“這個性質(zhì)轉(zhuǎn)化尋找。三垂線定理指的是平面內(nèi)的一條\t"/item/%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"直線，如果與穿過這個\t"/item/%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"平面的一條\t"/item/%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"斜線在這個平面上的\t"/item/%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。1．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的底面邊長，其外接球的表面積為，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，過BC且與AP垂直的截面與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)外接球的表面積求解球半徑，利用正三棱柱的外接球球心位置結(jié)合勾股定理可得棱柱的高，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的軌跡在以AF為直徑的圓上,即可確定點(diǎn)到底面ABC距離的最大值,最后利用體積公式求解即可.【詳解】外接球的表面積為，可得外接球半徑為.因?yàn)檎庵牡酌孢呴L，所以,所以的外接圓半徑為，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長為h，則有，即側(cè)棱，設(shè)BC的中點(diǎn)為F，作出截面如圖所示，因?yàn)椋?所以，所以點(diǎn)E在以AF為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)E在的中點(diǎn)時，此時點(diǎn)到底面ABC距離的最大，且最大值為，因?yàn)?，所以此時點(diǎn)P在線段上，符合條件，所以三棱錐的體積的最大值為．故選：A．2．（2021·北京朝陽·一模）在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，分、、三種情況討論，確定截面與各棱的交點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.①當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時平面即為平面，截面面積為；②當(dāng)時，同①可知截面面積為；③當(dāng)時，，，，，則，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，不合乎題意.設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點(diǎn)，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為.綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體截面面積最值的求解，解題的關(guān)鍵在于確定截面與各棱交點(diǎn)的位置，這里可以利用空間向量法，將線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零來處理，確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而將截面面積的最值利用函數(shù)的最值來求解.3．（21-22高一下·湖北武漢·期末）已知正方體，的棱長為2，點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，平面，下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，當(dāng)最小時，B．當(dāng)點(diǎn)與重合時，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其截面周長就越大C．直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為D．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)，則平面截正方體所得截面圖形的面積為【答案】D【分析】利用展開圖判定、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而利用相似三角形判定選項(xiàng)A；通過兩個截面的面積不相等且周長相等判定B；直線與平面所成角的正弦值，即為直線與平面的垂線所成角的余弦值，即，,可通過的取值范圍可以求得，進(jìn)而判定C；利用空間垂直的轉(zhuǎn)化可以得到平面與正方體的截面為，其中為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，判斷其為等腰梯形，進(jìn)而計算其面積，從而判定D.【詳解】解：對于A：將矩形與正方形展開到一個平面內(nèi)（如圖所示），若最小，則、、三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以，所以，即，故A錯誤；對于B：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，連接、、、、，（如圖所示），在正方體中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，又平面，所以，同理可證，因?yàn)?，所以平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為；設(shè)、、、、、分別是、、、、、的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，即B錯誤；對于C：直線與平面所成角的正弦值，即為直線與平面的垂線所成角的余弦值，即，如圖所示：連接在正方體中，，，所以在中，，點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，故，即所以，所以直線與平面所成角的正弦的取值范圍為，故C錯誤；對于D，取中點(diǎn)為，連接,,則,設(shè)平面與側(cè)面的交線為,為平面與的交點(diǎn)，由于平面，∴，∴,又∵平面，平面，∴,又∵,∴平面,∴,又∵在正方形中為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)；設(shè)平面與側(cè)面的交線為,為平面與的交點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，連接,于是截面為，計算得,,,所以截面為為等腰梯形，底邊上的高為,截面為的面積為，故D正確；故選：D.4．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知正方體的外接球表面積為，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，且平面，點(diǎn)平面，則平面截正方體所得的截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得正方體的邊長，畫出截面，利用向量法證得平面，根據(jù)梯形面積公式計算出截面的面積.【詳解】設(shè)該正方體外接球的半徑為R，依題意，，解得，故，，故.分別取棱，的中點(diǎn)F，G，連接，，，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：四邊形為等腰梯形，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以，由于，所以平面，即截面為等腰梯形.由題可知，，所以等腰梯形的高為，故截面圖形的面積為故選：D題型15動點(diǎn)折線型最值動點(diǎn)折線型距離最值：1.動點(diǎn)折線，需要選擇合適的“展開”面，把動點(diǎn)折線距離轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)的距離最值。2.特殊圖形位置關(guān)系，可以利用對稱，或者點(diǎn)到面的距離來轉(zhuǎn)化求解。1．（2023·四川成都·一模）如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，以下四個命題：①三棱錐的體積為定值；②；③若，則三棱錐的外接球半徑為；④的最小值為.其中