第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra矩陣線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C下面給出可逆矩陣及其逆矩陣的定義,并討論矩陣可逆的條件以及求逆矩陣的方法.目錄/Contents第三節(jié)

可逆矩陣e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、可逆矩陣的判別定理及求法一、逆矩陣的概念目錄/Contents第三節(jié)可逆矩陣三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組一、逆矩陣的概念定義2.14設是階方陣,是階單位陣，如果存在一個階方陣,使得

則稱方陣可逆,并且稱方陣是方陣的逆矩陣;否則稱方陣A不可逆.

例如

,可以驗證,所以可逆,可逆,互為可逆矩陣.而矩陣

則不存在這樣的矩陣,使得,所以矩陣是不可逆的.一、逆矩陣的概念性質(zhì)1

如果方陣可逆,則的逆陣是唯一的.

證明

設、都是的逆陣,則有

于是.

所以方陣的逆陣是唯一的.

我們常用記號表示方陣的逆陣,所以對可逆矩陣必有

方陣的逆陣還有以下性質(zhì):

性質(zhì)2

若方陣可逆,則也可逆,且

;

一、逆矩陣的概念性質(zhì)4若方陣可逆,則也可逆,且

證明設方陣可逆,則有

上式兩邊取轉(zhuǎn)置得:

由逆陣的定義可知可逆,且

是的逆陣,即

性質(zhì)3

若方陣可逆,數(shù),則也可逆,且

一、逆矩陣的概念性質(zhì)5

若兩個同階方陣均可逆,

則也可逆,且

證明

設是兩個同階可逆陣,則有

于是

由逆陣的定義可知,可逆,且是的逆陣,即根據(jù)性質(zhì)5,如果是個同階可逆陣,則

一、逆矩陣的概念例17設均為階方陣,,證明.證明由和可得.因此可逆.又可得.從而.一、逆矩陣的概念例18設方陣滿足,證明及都可逆,并求及.

證明

由,得,即,故可逆,且

.

由得,即,

故可逆,且

.

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、可逆矩陣的判別定理及求法一、逆矩陣的概念目錄/Contents第三節(jié)可逆矩陣三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組二、可逆矩陣的判別定理及求法前面我們提到,有的矩陣是可逆的,有的矩陣是不可逆的,下面要討論的問題是,在什么條件下矩陣可逆?若矩陣可逆,則如何求出?

定義2.15設階矩陣是中元素的代數(shù)余子式,

稱為矩陣的伴隨矩陣.即

則矩陣二、可逆矩陣的判別定理及求法性質(zhì)任意一個階矩陣與其伴隨矩陣的乘積等于數(shù)量矩陣即

證明

設階矩陣是中元素的代數(shù)余子式,則

同理可證于是得

由逆陣的定義可知,可逆,且

是的逆陣,即

二、可逆矩陣的判別定理及求法定理2.1

階方陣可逆的充分必要條件是的行列式,且當可逆時,

(2.5)證明

必要性

設方陣可逆,則有,使得

對上式兩邊取行列式,得所以.充分性

若,則由

可得由逆陣的定義可知,方陣可逆,且是的逆陣,即

定義2.16設為階矩陣,若

則稱為非奇異矩陣,否則稱為奇異矩陣.

二、可逆矩陣的判別定理及求法例19求二階矩陣的逆矩陣.解

因為

且余子式分別為,則.所以,當

時,.

二、可逆矩陣的判別定理及求法例20

求矩陣的逆矩陣.解

因為

,所以,存在.又因為,同理可得:

因此所以

.

二、可逆矩陣的判別定理及求法推論

設均為階方陣,且或

則均可逆,且證明由

可得

所以

由定理2.1可知,均可逆.在的兩邊左乘,得在的兩邊右乘,得二、可逆矩陣的判別定理及求法例21當矩陣滿足時,試證明是可逆的,并求的逆矩陣.證明

因為

,由,得,所以可逆,且.二、可逆矩陣的判別定理及求法例22設,是的伴隨矩陣,求

解

由于,有,故.現(xiàn)有,所以

.

二、可逆矩陣的判別定理及求法例23設為三階矩陣,且,求.

解

因為,所以.從而

從而

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、可逆矩陣的判別定理及求法一、逆矩陣的概念目錄/Contents第三節(jié)可逆矩陣三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組例24

求解線性方程組解因為

所以可逆.又因為所以.所以從而三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組例25設矩陣

求矩陣,使它滿足

解

若方陣均可逆,則在矩陣方程的兩邊左乘同時右乘,即得

而由上例可知可逆,又因為,也可逆,并且,所以

三、用逆矩陣解矩陣方程和線性方程組例26

設滿足,其中,求矩陣.

解

將等式兩邊同時左乘,右乘,且

,得

,可得.因此.

所以有,從而.

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