基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練：角平分線1．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．點(diǎn)P是∠BAC的角平分線AD上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，已知PE=9，則點(diǎn)P到AB的距離是（

）A．18 B．12 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)P到AB的距離=PE，即可求解．【詳解】解：AD平分∠BAC，PE⊥AC，∴P到AB的距離=PE=9，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．2．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．DE=DC B．AE=AC C．AD=BD D．∠BDE=∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，AD是∠BAC的角平分線，AB⊥DE，依據(jù)這兩個(gè)條件即可逐項(xiàng)判斷【詳解】∵根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，AD是∠BAC的角平分線，AB⊥DE，∴DE=DC，AE=AC，∴∠BDE=90°-∠B，∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵3．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，則∠ADE=（

）A．50° B．55° C．60° D．62.5°【答案】A【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分線的性質(zhì)得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠B=55°，∴∠BAC=180°-55°-35°=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∠ADC∴∠ADE=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)．4．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，直線l1、lA．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn)．把三條公路所圍成部分三角形，那么這個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿足要求．由此即可求解．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，BC=8,DE=3，則△BCE的面積等于（

）A．24 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到EF=DE=3，再根據(jù)三角形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)E，∵CD是AB邊上的高線，∴DE⊥BD，∵BE平分∠ABC，∴EF=DE=3，∴S△BCE故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是10、15、20．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4【答案】C【分析】過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D【詳解】解：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，∵△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，∴OD=OE=OF，∵AB=10，∴S△ABO:S△BCO:S△CAO==10:15:20=2:3:4故選擇：C【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，利用角平分線的性質(zhì)求得OD=OE=OF是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)M是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在射線OA、射線OB上，滿足OP=2OQ，若△OQM的面積是2，則△OMP的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OP,MF⊥OB，先利用角平分線的性質(zhì)說(shuō)明EM與MF的關(guān)系，再利用三角形的面積公式求出OP與EM的積，最后再利用三角形的面積公式得結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OP,MF⊥OB，垂足分別為E、F．∵M(jìn)是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，∴ME=MF，∵S△OQM∴OQ×MF=4，∵OP=2OQ，∴OP×MF=OP×ME=8．∴S△OPM故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”、三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到OA，OB的距離相等，則P點(diǎn)是（）A．線段CD的中點(diǎn) B．OA與OB的垂直平分線的交點(diǎn)C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn) D．OA與CD的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴P點(diǎn)是CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理．9．（2022秋·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，對(duì)于結(jié)論：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；④AD上任一點(diǎn)到B、C的距離相等．其中正確的是（

A．僅①② B．僅③④ C．僅①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”和等腰三角形的三線合一“等腰三角形底邊上的中線、頂角的角平分線和底邊上的高這三條線在一條直線上”來(lái)求得結(jié)果．【詳解】解：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，∴DE=DF，且AD上任一點(diǎn)到AB、AC的距離相等，故①③正確；又∵AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD垂直平分BC，∴BD=CD，故②正確；AD上任一點(diǎn)到B、C的距離相等，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的幾何定理并能熟練運(yùn)用．10．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC∥OA交OB于點(diǎn)C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=8，則【答案】4【分析】作PE⊥OB，則PD=PE，由等腰三角形的性質(zhì)可得，OC=PC=8，在Rt△PCE中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作PE⊥OB，如下圖：∵OP平分∠AOB，PE⊥OB，PD⊥OA，∴PD=PE，∠AOP=∠BOP=1∵PC∥∴∠DOP=∠OPC=30°=∠POC，∴OC=PC=8，∠PCE=∠POC+∠OPC=60°，在Rt△PCE中，PC=8，∠PCE=60°，∴∠CPE=30°∴CE=1由勾股定理得，PE=P∴PD=PE=43故答案為：43【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，二次根式的化簡(jiǎn)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．11．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∠BOC=130°，則∠A的度數(shù)為【答案】80【分析】由題意，BO、CO分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用∠A=180°-∠ABC+∠ACB逐步計(jì)算即可求得∠A【詳解】解：∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠A=180°-=180°-2=180°-2=180°-2×=80°．故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定定理的應(yīng)用，三角形角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)廣東省江門市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，PD∥OA，交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，則PE的長(zhǎng)為______cm【答案】2【分析】過(guò)P作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=∠BOC=15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPO=∠AOP=15°，從而可得PD=OD，再根據(jù)30度所對(duì)的邊是斜邊的一半可求得PF的長(zhǎng)，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得PE的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=1∵OC為角平分線，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若AB=10，CD=3，則△ABD【答案】15【分析】過(guò)D作DE⊥AB垂足為E，根據(jù)角平分線定理可得DE=CD=4，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：過(guò)D作DE⊥AB垂足為E，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∴△ABD的面積為：12故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線、構(gòu)造角平分線定理所需條件是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、BC于點(diǎn)D、②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F③作射線BF交AC于點(diǎn)G．如果ABBC=23【答案】2【分析】由作圖步驟可知BG為∠ABC的角平分線，過(guò)G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，可得GM=GN【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．由作圖可知，BG平分∠ABC∵GM⊥BA，∴GM=GN，∴SΔABGS故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定理和三角形面積公式的應(yīng)用，通過(guò)作法發(fā)現(xiàn)角平分線并靈活應(yīng)用角平分線定理是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再證明Rt△ADE≌Rt【詳解】證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和∴DE=DF．∵DE⊥AB，∴∠AED=∠AFD=90°，在Rt△ADE和RtAD=ADDE=DF∴Rt△ADE∴AE=AF．∴AD是線段EF的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，證明Rt△ADE≌Rt16．（2022秋·北京東城·七年級(jí)景山學(xué)校?？计谀┤鐖D在Rt△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法在線段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AB的距離等于CD【答案】見解析【分析】根據(jù)題意可得，點(diǎn)D在∠A的角平分線上，作出∠A的角平分線即可．【詳解】解：如圖，①以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC,AB于兩點(diǎn)；②分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間的距離為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)；③連接點(diǎn)A和兩弧交點(diǎn)，并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖——角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作角平分線的方法，以及角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等．17．（北京市順義區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)(1)求證：BE=DE；(2)若DE=2，DF=3，求BD【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）利用角平分線平分角，得到∠CBD=∠FBD，利用平行線的性質(zhì)，得到∠EDB=∠FBD，從而得到：∠EDB=∠CBD，即可得到：BE=DE；（2）利用角平分線的性質(zhì)，得到DC=DF=3，利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)BE=DE，BC=CE+BE，求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出BD【詳解】（1）證明：∵BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠CBD=∠FBD，∵DE∥∴∠EDB=∠FBD，∴∠EDB=∠CBD，∴BE=DE；（2）解：∵∠C=90°，BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DF⊥AB，∴DC⊥BC，∴DC=DF=3在Rt△DCE中，