《勾股定理解題的十種常見題型》素養(yǎng)練名師點(diǎn)金勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問題，說明含有平方關(guān)系的幾何問題，解決實(shí)際應(yīng)用問題及最短路徑問題、折疊問題等.在解決過程中往往利用勾股定理列方程，有時(shí)需要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，化斜為直來解決問題.題型1利用勾股定理求線段長(zhǎng)1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF的長(zhǎng).題型2利用勾股定理說明線段相等2.如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC=90°，CD⊥AD，.試說明：AB=BC.題型3利用勾股定理說明線段之間的平方關(guān)系3.如圖，∠C=，AM=CM，MP⊥AB于點(diǎn)P.試說明：.題型4利用勾股定理求四邊形中線段長(zhǎng)（構(gòu)造法）4.【2021·合肥壽春中學(xué)月考】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=，∠D=，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32，求BC和CD的長(zhǎng)度.題型5利用勾股定理求折疊中線段長(zhǎng)（方程思想）5.如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C'處.若AB=6，BC=9，求BF的長(zhǎng).題型6利用勾股定理求動(dòng)點(diǎn)中線段長(zhǎng)6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=，AB=5cm，AC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.（1）求BC邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，借助圖①求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，借助圖②求t的值.題型7利用勾股定理求實(shí)際中的距離7.如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）到公路（直線l）的距離為300m，到公交站（D點(diǎn)）的距離為500m.現(xiàn)要在公路邊上建一個(gè)商店（C點(diǎn)），使之到學(xué)校A及公交站D的距離相等，求商店C與公交站D之間的距離.題型8利用勾股定理解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化問題8.【2020·黃岡】【教材P15習(xí)題T5改編】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有池方丈，葭（ji?。┥渲醒耄鏊怀?引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何？”（注：丈，尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是_______尺.題型9利用勾股定理求最短距離9.如圖，圓柱形玻璃容器高10cm，底面周長(zhǎng)為30cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有一只螞蟻，與螞蟻相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有食物，求螞蟻要吃到食物所走最短路線的長(zhǎng)度.題型10利用勾股定理求解分類中的最短距離（分類討論思想）10.【教材P19復(fù)習(xí)題T12改編】如圖，桌子上放著一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃.求小蟲爬行的最短路程.

參考答案1.答案：見解析解析：如圖，連接BD.因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，∠ABC=，所以BD⊥AC，BD平分∠ABC.所以∠ABD=∠CBD=.又易知∠C=，所以∠ABD=∠CBD=∠C.易知BD=CD.因?yàn)镈E⊥DF，BD⊥AC，所以∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF.所以∠FDC=∠EDB.在△EDB和△FDC中，所以△EDB≌△FDC（ASA）.所以BE=FC=3.所以AB=7，則BC=7.所以BF=4.在Rt△EBF中，，所以EF=5.2.答案：見解析解析：因?yàn)镃D⊥AD，所以∠ADC=，即△ADC是直角三角形.由勾股定理，得.又因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椤螦BC=，所以△ABC是直角三角形.由勾股定理，得，所以.所以，即AB=BC.點(diǎn)撥：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇用勾股定理說明，應(yīng)用勾股定理說明兩條線段相等的一一般步驟：①找出圖中說明結(jié)論所要用到的直角三角形；②根據(jù)勾股定理寫出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；③聯(lián)系已知，等量代換，求之即可.3.答案：見解析解析：如圖，連接BM.因?yàn)镻M⊥AB，所以△BMP和△AMP均為直角三角形.所以.同理可得.所以.又因?yàn)镃M=AM，所以.所以.所以.4.答案：見解析解析：如圖，連接BD，作BE⊥AD于點(diǎn)E.因?yàn)锳B=AD，∠A=，所以.易得△BAE≌△BDE，所以BD=AB=8.又∠1+∠2=，則∠2=.設(shè)BC=x，則CD=32-8-8-x=16-x，由勾股定理得.解得x=10.所以BC=10，CD=6.點(diǎn)撥：當(dāng)已知條件比較分散且無法直接使用時(shí)，往往通過作輔助線構(gòu)造特殊三角形進(jìn)行計(jì)算.5.答案：見解析解析：因?yàn)檎郫B前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，所以CF=.設(shè)BF=x，因?yàn)锽C=9，所以CF=9-x.所以=9-x.由題意得=3.在Rt△中，根據(jù)勾股定理可得，即，解得x=4.所以BF的長(zhǎng)是4.點(diǎn)撥：根據(jù)折疊前后，重合的圖形全等，得到相等的線段、相等的角.在新增的Rt△C'BF中，利用折疊的性質(zhì)，表示出各邊長(zhǎng)，列方程求解.6.答案：見解析解析：（1）在Rt△ABC中，，所以BC=4cm.（2）由題意知BP=tcm，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，有兩種情況：I.如圖①，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm，即t=4.Ⅱ.如圖②，當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，在Rt△ACP中，；在Rt△BAP中，,即,解得t=.故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t=4或t=.（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，有三種情況：I.如圖①，當(dāng)BP=AB時(shí)，t=5；Ⅱ.如圖②，當(dāng)AB=AP時(shí)，BP=2BC=8cm，t=8.Ⅲ.如圖③，當(dāng)BP=AP時(shí)，AP=BP=tcm，，AC=3cm，在Rt△ACP中，，所以，解得.綜上所述，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t=5或t=8或.7.答案：見解析解析：設(shè)CD=x（x>0）m，則AC=xm，作AB⊥l于點(diǎn)B，則AB=300m.在Rt△ABD中，，AB=300m，AD=500m，所以BD=400m.所以BC=（400-x）m.在Rt△ABC中，，所以，解得x=312.5.答：商店C與公交站D之間的距離為312.5m.8.答案：12解析：設(shè)水池里水的深度是x尺.由題意得，解得x=12.9.答案：見解析解析：如圖，將圓柱形玻璃容器側(cè)面展開，連接SF，過點(diǎn)S作SP⊥MN于點(diǎn)P.由題意可知FP=10-2=8（cm），SP=15cm.在Rt△SPF中，，所以SF=17cm.答：螞蟻要吃到食物所走最短路線的長(zhǎng)度為17cm.10.答案：見解