第9課時通項公式4的求法

學(xué)習(xí)自生化??標(biāo)明*化

、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握疊加法、累乘法求通項公式.

2.掌握等比差數(shù)列等幾類特殊數(shù)列的解法.

3.初步掌握求通項公式為的方法.

知識記憶與理解

第一層級預(yù)學(xué)區(qū)?不才不講/

如識從統(tǒng)化?系統(tǒng)形象化

知識體系梳理

;;復(fù)習(xí)號大

在推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式的時候我們用了累差法,在推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式的時候

我們用了累積法,今天,我們一起來看看數(shù)列的通項公式有哪些求法？

。重點知識

問題1:已知2的值，且(〃22),可以用累加法，即

&-&T=.,CIR-{一加2~,…，曲-42~,cfe-cZ|=..

所有等式左右兩邊分別相加得a它____________________.

問題2:已知a#0且a?-i=f{n)(/;^2),可以用累乘法：即

4an.l?3?2

%—,a-2-，…,a2-,al-,所有等式左右兩邊分

別相乘,得

anan-la3a2

an-1-an-2....a2?al=,即a?=.

問題3:由a與S的關(guān)系求見

由S,求a時,要分〃口和〃22兩種情況討論,然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表

示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為日尸.

問題4:兒種遞推數(shù)列的轉(zhuǎn)化方法

(1)&“二ca+d(cWO,1),可以通過待定系數(shù)法設(shè)&，產(chǎn)4-c()，求出1后，化

為等比數(shù)列求通項;還可以用下列方法求解:(Da“=pag+q,②

①-②f導(dǎo)：Qn?\-an=p[an-ani),數(shù)列{a-晶＞}是以為首項,為公比的等

比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求出a「az=,再用累加法求出劣.

M1

(2)&川)十°/9為常數(shù)且6#0),可化為，+1=,利用等差數(shù)列的通項公

1

式求出時,進而求出&.

如識何題化?問題展次化

、基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流

1.已知數(shù)列｛&｝的前n項和為S,a=2,品”=$+1,N,,則徐等于().

A.32B.48C.64D.96

2.已知數(shù)列｛a｝滿足句，&那么數(shù)列｛a｝的通項公式是().

CB.a〃=("l)?2"&生=(〃-1)?2°D.^?=3/J-1

11

3.數(shù)列｛a｝滿足國=1,1+與+1」+,力，則.

4.已知數(shù)列｛4｝滿足ai=l,an=an-\+3〃-2(〃22).

⑴求＜32,&;

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

思維探究與創(chuàng)新

第二層圾_____導(dǎo)學(xué)區(qū),不議不固)

技能系燃化?系統(tǒng)個代化

重點難點探究

待定系數(shù)法求通項公式

在數(shù)列?｝中，句=1,當(dāng)心2時,有&考求數(shù)列｛&｝的通項公式.

Q??-

累加法求通項公式

在數(shù)列｛4｝中，已知a=1,當(dāng)〃22時，有a戶a”i*2〃T(〃22),求數(shù)列的通項公式.

o卷究三

構(gòu)造法求通項公式

已知定義在R上的函數(shù)7.(>)利數(shù)列｛品｝滿足下歹J條

件:ai=a,&=/*(即)(〃23,4,…)，a法a,/*(4)件(加)=k(an-an-i)(n=2,3,4,…)，其中a為常

數(shù)，女為非零常數(shù).

⑴構(gòu)造證明數(shù)列出｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛&｝的通項公式.

方法能力化?能力具體化

。思維拓展應(yīng)用

Q應(yīng)用-

2%

已知數(shù)列｛a｝的第1項是1,以后的各項由公式品“=4+2給此求出這個數(shù)列的通項公

Qsfflz

在數(shù)列｛&｝中,已知a=l,有〃&一產(chǎn)(〃+1)&(心2),求數(shù)列｛a｝的通項公式.

G(應(yīng)用三

在數(shù)列｛&｝中，句之，@力，且真“加&-2a/H(〃22).

⑴求證：數(shù)列｛4H-a｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛&｝的通項公式.

■-<一技能應(yīng)用與拓展、

第二層報邦￡國學(xué)區(qū)?不練不耕）

檢刷智能化?智能ft字化

X基礎(chǔ)智能檢測

1.已知數(shù)列｛aj的前〃項和5與”-1,則其通項公式包等于（）.

A.3?2”TB.2?31C.3"TD.3"

1

2.在數(shù)歹I」｛d｝中，a=2,a“”=ajln（"〃），則品等于（）.

A.24nnB.2+（〃T）lnnC.2#〃lnnD.l+"lnn

1

3.若數(shù)歹ij｛品｝中，句旦且對任意的正整數(shù)p、q都有加二加備,則a.=

4.在數(shù)列｛品｝中，a3,品“夕%-〃+1,〃仁N,.

（1）求證:數(shù)列仿”-〃｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%）的通項公式辦.

材料^典化?視角殄尤仁

全新視角拓展

（2013年?安徽卷）如圖,互不相同的點4,4,…,4,…和人&…,反…分別在角。的兩

條邊上，所有4"相互平行，且所有梯形4"褊兒”的面積均相等.設(shè)OA?=a,,.若&可，@=2.則數(shù)

列｛&｝的通項公式是.

考題變式（我來改編）:

總結(jié)評價與反JS

第四層級

_____思學(xué)區(qū)?不思不復(fù)）

屆雄用布化彩立現(xiàn)化

思維導(dǎo)圖構(gòu)建

反差法

常用方法

-I累乘法

-

通

項T等差數(shù)列的通項公式

公

式

j已知工與q.的關(guān)系求4

的

求

困

ji于4+g型

可化為等差或等

比數(shù)列的通項3懸緞

學(xué)習(xí)系他化?成果共享化

學(xué)習(xí)體驗分享

第9課時通項公式區(qū)的求法

知識體系梳理

問題1:f(n)f(n-l)A3)f(2)a"(2)+/(3).??"T)+久玲

問題2：7?(〃)A/7-1)A3)/'(2)A2)?/'(3).....A/7-1)?/'(〃)

囪?f(2),f(3)....?f(n)

(n=1).

i(nN2)

問題3

11

問題4:(1)4az~a\p(改-a)/f'⑵

基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流

===

1.B當(dāng)〃22時，品“=S+l,3nSn-l^1,兩式4相減，得3n*\~3r1Sn~Sn-icl/lf即之&,則

32=3\改二改?21-=3

2.B由&“之義丹""得2"+、2'=1,.：數(shù)列｛2〃｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，即

3

2”之*(〃-1),：a=(〃刊)?2",故選B.

171[1

3.-19依題意知，數(shù)列J+a：叫是以1+4=2為首項，1為公差的等差數(shù)

112n-13-2n17

列，.：1+%=2+(〃T)XI=2,.:a=2〃-1,.:8產(chǎn)適

4.解：(1)由題意可得a>=a司=5,&=氏枳A2.

(2)由已知：&=a”-i+3〃-2(〃22)得&,-&一1=3/廠2,

由遞推關(guān)系，得…，a-&2=7,

疊加得：a-8刃/7-3〃-2

(n-1)(4+3n-2)3n2-n-23n2-n

222(〃22).

3x1-1

當(dāng)n=\時，1二旬二2二1,適合上式,

?：數(shù)列儲,｝的通項公式&=2.

重點難點探究

探究一：【解析】設(shè)耳氣=3（如旬，則a=3品-1+22,

.：E=l,于是&+1=3（包一1H）.

?:｛品修｝是以a+1?為首項,3為公比的等比數(shù)列.

.:a=2?3”、.

【小結(jié)】遞推公式a*pa/q5豐1,gW（））求通項的常用方法主要有兩種：

1.化成等比數(shù)列｛/々｝,然后利用通項公式即可求出；

2.由anA=pan+q,①?導(dǎo)aFpaz+q,②

①-②得：由等比數(shù)列的通項公式求&-d-產(chǎn)（色-向）夕2再用累加法求

出an.

探究一：【解析】：.a-&-1W〃-1（〃32）,

Q1=3,

。2=5,

?,=7,

上述/7-1個等式相加可得:an-a\=if~\,

?_2

??&—〃,

【小結(jié)】一般情況下:累加法里只有〃-1個等式相加.

探究三:【解析】（1）由b尸色-疝羊0,可得:反程（由-￡（句）-A（cb-cii）W0.由題設(shè)條件,

bn冊/（冊）??7）

當(dāng)〃22時,呢.1=冊-%-1=，-冊.1二冊-%…=無故數(shù)列（AJ是公比為A的等比數(shù)列.

f,1

（2）由（1）知bn=k（a「a）（〃￡N，）,

b\+b>?，+bn\=1a松。1-k(〃22),

而b\十戾十一心-\二a一囪9一續(xù)六,?+an-an-｛-an-a\（/7>2）,

an~a\=(ci2-ch)1-k(〃22),

故an=aAf[a)-a]1-〃(〃￡N.).

［問題］上述解法正確嗎？

［結(jié)論］不正確.（2）中要分AW1和k=\進行討論，以及對〃要分〃力和〃22進行討論.

于是，正確的解答為：

（1）同錯解部分.

（2）由（1）知,（0-劭）（〃￡N.）,

1-3

當(dāng)AW1時，力+灰六??坳-i=（續(xù)一句）1-k（〃22）;

當(dāng)k=\時，及也」??坊,T=（AT）（色-&）（〃22）.

而th+也為，?+b”（a「a）父&-金）=8-合（"22）,

.:當(dāng)k#T時，&-8=(r-a)1-k(〃22),

上式對〃=1也成立，?:數(shù)列｛&｝的通項公式為

為二aH/Xa）-a\1-k（〃￡N）;

當(dāng)k=\時，&7?I=（〃T）（含一句）（〃22）,

上式對n=\也成立,所以數(shù)列｛a,｝的通項公式為a尸a+（n+l）"（a）-a］（〃三N）.

【小結(jié)】利用等比數(shù)列前〃項和公式時務(wù)必要考慮q=l和。工1兩種情況.

思維拓展應(yīng)用

應(yīng)用一：由弱產(chǎn)品+2得:4+1=4以

,：數(shù)列｛4｝是以％刁為首項,2為公差的等差數(shù)歹ij,

1n+1

.：°n=l立(〃-1)=2

.\an=n+1.

應(yīng)用二:為二4i-i?

n-1n-2

=n+1?n?n?l?一??4?3?i=n+1.

2

又:,&也滿足上式，?:+1（〃GN,）.

應(yīng)用三：（1）:?冬川力品-2an-\,

??一&q（&一&-1）（〃22）,

則數(shù)列｛4是以&「秘2為首項,2為公比的等比數(shù)歹U.

（2）由（1）得&川一&之X2”T心

2(1-2””)

上述〃T個等式相加可得-1-24”-2,

基礎(chǔ)智能檢測

LB當(dāng)〃22時，&=S-Sz=(3T)-(3O1-1)=2?又a=S0-12滿足a產(chǎn)2?3",故選B.

2.A(法一)取〃=2,則比w+ln2=24n2,排除C、D;

13

取〃書，貝ij曲Fz/ln(卜2)《+in2+ln2-2+ln3,排除B,選A.

11

(法二)丁&，產(chǎn)&+ln(l+/),Zcfe-ai-lnd^-1)-In

13141n

2,徐一/二］n("2)=ln2,國-&=ln(l+3)=］n3,…,-2=ln"-L

3n

相加得：&-ai=ln2+ln2-In"-l=lnn,

?*ci\之，?:a”」+1nn.

11