千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奮博學(xué)篤志感恩第3講（文科）空間幾何綜合運(yùn)用（一）一、知識梳理：1.證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理。2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理。線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行.3.面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行。4.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理。5.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理。6.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理。7、解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個結(jié)果出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．二、課前自測：1、（浙江卷文）已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（ ）A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【答案】C【解析】試題分析：由題意知 l,l， n,nl．故選C．考點(diǎn)：線面位置關(guān)系.2.（浙江卷理）已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m∥,n⊥ 則（ ）1千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奮博學(xué)篤志感恩A．m∥l B．m∥n C．n⊥lD．m⊥n【答案】C【解析】試題分析：由題意知 l,l， n,nl．故選C．3（廣東卷（文））設(shè)l為直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若l//,l//,則//B．若l,l,則//C．若l,l//,則//D．若,l//,則l【答案】B4、（高考山東卷文理））已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：“直線a和直線b相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直線a和直線b相交”，所以“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件，故選A．三．典例剖析：題型一多面體與球例1.已知三棱錐PABC中，PAABAC1，PA面ABC，∠BAC＝2，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（3）A．3B．4C．5D.8答：C課堂練習(xí)1.正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)都在同一球面上，且此球體積為4，則正方32千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奮博學(xué)篤志感恩體的體積為（）A．22B．33C．8D．27答：C課堂小結(jié)：求解幾何體體積的必備策略常見類型解題策略球的體積問題直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解問題以三視圖為載體的將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解幾何體體積問題不規(guī)則幾何體的體常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將積問題不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解題型二 ．截面問題例2、如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB2,過直線B1D1的平面平面A1BD,則平面截該正方體所得截面的面積為 ．答：6 提示：利用幾何轉(zhuǎn)化法求解。題型三線面平行與垂直證明及計算例3、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，G，F(xiàn)分別為AD，CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.求證：BC⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．【解析】(1)由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，所以DE⊥平面ABCE，所以DE⊥BC.又BC⊥CE，所以BC⊥平面DCE.(2)如圖，取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)GH，F(xiàn)H，所以GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，所以GH∥平面BCD，F(xiàn)H∥平面BCD，所以平面FHG∥平面BCD，所以GF∥平面BCD.3千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奮博學(xué)篤志感恩(3)分析可知，點(diǎn)R滿足3AR＝RE時，平面BDR⊥平面BDC.證明：取BD的中點(diǎn)Q，連結(jié)DR，BR，CR，CQ，RQ.容易計算CD＝2，BD＝22，CR＝213，DR＝221，CQ＝2.在△BDR中，因為BR＝25，DR＝221，BD＝22，可知RQ＝25，所以在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，所以CQ⊥RQ.又在△CBD中，CD＝CB，Q為BD的中點(diǎn)，所以CQ⊥BD.又因為BD∩RQ＝Q，所以CQ⊥平面BDR，所以平面BDC⊥平面BDR.。課堂練習(xí)2、一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M，N分別是AF，BC的中點(diǎn)）．（1）求證：MN∥平面CDEF；（2）求多面體A﹣CDEF的體積．解：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2，∴∠CBF=．（1）證明：取BF的中點(diǎn)G，連接MG、NG，由M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，∴MN∥平面CDEF．（2）取DE的中點(diǎn)H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE﹣BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．∴多面體A﹣CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=．S矩形CDEF=DE?EF=4，∴棱錐A﹣CDEF的體積為V=?S矩形CDEF?AH=×4×=．或用三棱柱體積減去一個三棱錐的體積。4千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奮博學(xué)篤志感恩例4、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面ABC； (2)求三棱錐EBCD的體積．[解析] (1)證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，因為E是B1C的中點(diǎn)，所以EG∥BB1，且EG＝12BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，所以EG綊AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以ED∥AG，又DE?平面ABC，AG?平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)因為AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC，由(1)知，DE∥平面ABC，所以VEABC＝VDABC＝13AD·12BC·AG＝16×3×6×4＝12.課堂練習(xí)3、如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD, ABAA12.(Ⅰ)證明:A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.【答案】解:(Ⅰ)設(shè)B1D1線段的中點(diǎn)為O1.BD和B1D1是ABCDA1B1C1D1的對應(yīng)棱BD//B1D1.同理，AO和A1O1是棱柱ABCDA1B1C1D1的對應(yīng)線段AO//A1O1且AO//OCA1O1//OC且A1O1OC四邊形A1OCO1為平行四邊形A1O//O1C.且A1OBD