初中數(shù)學(xué)全等三角形練習(xí)題全等三角形是平面幾何的入門(mén)基石，也是中考的核心考點(diǎn)之一。扎實(shí)掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，不僅能提升邏輯推理能力，更為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、圓等幾何知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文精選典型習(xí)題，輔以思路點(diǎn)撥與方法總結(jié)，助你系統(tǒng)提升全等三角形的解題技能。一、核心知識(shí)回顧在開(kāi)始練習(xí)之前，讓我們簡(jiǎn)要回顧全等三角形的基本判定方法與性質(zhì)，這是解決所有相關(guān)問(wèn)題的“金鑰匙”。*全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。*全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（注：對(duì)應(yīng)邊上的中線、高線、對(duì)應(yīng)角的角平分線也分別相等，但這些可由基本性質(zhì)推導(dǎo)得出）*全等三角形的判定定理：1.SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（注意：必須是“夾角”）3.ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）在幾何證明中，準(zhǔn)確識(shí)別圖形中的對(duì)應(yīng)元素，靈活選擇判定方法，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。二、解題思路與技巧點(diǎn)撥面對(duì)一道全等三角形的證明或計(jì)算題，不必急于下筆，先仔細(xì)觀察圖形，分析已知條件，往往能找到事半功倍的路徑。1.“已知”入手，聯(lián)想“判定”：拿到題目，先將已知的邊、角相等條件在圖形中標(biāo)注出來(lái)，看看這些條件分散在哪些三角形中，初步判斷可能適用的判定定理。例如，已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，是找它們的夾角還是第三邊？已知兩角對(duì)應(yīng)相等，是找?jiàn)A邊還是其中一角的對(duì)邊？2.挖掘“隱含”條件，完善已知：圖形中常常蘊(yùn)含著一些未直接給出的相等關(guān)系，如：*公共邊：兩個(gè)三角形共有的邊。*公共角：兩個(gè)三角形共有的角。*對(duì)頂角：兩條直線相交形成的對(duì)頂角。*角平分線：角的平分線分得的兩個(gè)角相等。*垂直：垂直關(guān)系意味著直角相等。*中點(diǎn)：中點(diǎn)將線段分成兩條相等的線段。這些都是證明全等的“天然”條件，要善于發(fā)現(xiàn)。3.“輔助線”助力，構(gòu)造全等：當(dāng)直接證明有困難時(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是常用手段。例如，遇中線倍長(zhǎng)，構(gòu)造“SAS”全等；遇角平分線，向兩邊作垂線構(gòu)造“AAS”或“ASA”全等；或通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方式構(gòu)造全等三角形。輔助線的添加沒(méi)有固定模式，需要多練習(xí)、多總結(jié)。4.“執(zhí)果索因”，逆向思維：有時(shí)從要證明的結(jié)論出發(fā)，反向思考需要什么條件，逐步向已知條件靠攏，這種“分析法”在復(fù)雜題目中尤為有效。5.規(guī)范書(shū)寫(xiě)，邏輯清晰：證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)要條理分明，每一步推理都要有依據(jù)（定義、公理、定理）。通常格式為：在△XXX和△XXX中，列出三個(gè)條件，然后根據(jù)某判定定理得出△XXX≌△XXX，最后由全等性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等。三、經(jīng)典例題精析例題1：基礎(chǔ)鞏固型已知：如圖，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，AD=CB，DF=BE，AE=CF。求證：△ADF≌△CBE。分析：要證△ADF≌△CBE，我們先看已知條件。題目給出了AD=CB，DF=BE，這是兩組對(duì)應(yīng)邊相等。第三組邊呢？AF和CE是否相等？已知AE=CF，而AF=AE+EF，CE=CF+FE，因?yàn)镋F是公共部分，所以AF=CE。這樣，三組邊對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)SSS即可判定全等。證明：∵AE=CF（已知）∴AE+EF=CF+EF（等式的性質(zhì)）即AF=CE在△ADF和△CBE中，AD=CB（已知）DF=BE（已知）AF=CE（已證）∴△ADF≌△CBE(SSS)點(diǎn)撥：本題直接考察SSS判定定理，關(guān)鍵在于通過(guò)AE=CF推導(dǎo)出第三邊AF=CE，這是利用了等式的性質(zhì)，也是處理線段和差關(guān)系的常用方法。例題2：利用隱含條件型已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OA=OB，∠A=∠B。求證：△AOC≌△BOD。分析：要證△AOC≌△BOD。已知OA=OB，∠A=∠B。觀察圖形，AB與CD相交于O，那么∠AOC和∠BOD是一對(duì)對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，它們相等。這樣，我們就有了∠A=∠B，OA=OB，∠AOC=∠BOD，符合ASA的條件。證明：∵AB與CD相交于點(diǎn)O（已知）∴∠AOC=∠BOD（對(duì)頂角相等）在△AOC和△BOD中，∠A=∠B（已知）OA=OB（已知）∠AOC=∠BOD（已證）∴△AOC≌△BOD(ASA)點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)對(duì)頂角這一隱含的相等角條件。在圖形中，公共角、公共邊、對(duì)頂角等都是非常重要的隱含條件，解題時(shí)要特別留意。例題3：含輔助線型（構(gòu)造全等）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD=CD。求證：AB=AC。分析：要證AB=AC，已知AD是角平分線（∠BAD=∠CAD），且AD是△ABC的中線（BD=CD）。僅有這些條件，直接證明△ABD≌△ACD是不夠的（SSA不成立）。考慮到AD是角平分線，我們可以過(guò)點(diǎn)D分別向AB、AC作垂線，構(gòu)造直角三角形。證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F。∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC（已知兼輔助線作法）∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）∠DEB=∠DFC=90°（垂直的定義）在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CD（已知）DE=DF（已證）∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD（已知）∠B=∠C（已證）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）點(diǎn)撥：本題通過(guò)添加輔助線，利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造了全等的直角三角形，進(jìn)而得出∠B=∠C，為證明△ABD≌△ACD創(chuàng)造了條件。這體現(xiàn)了輔助線在構(gòu)造全等中的重要作用。四、分層練習(xí)題【基礎(chǔ)鞏固】1.已知：如圖，AB=CD，AD=BC。求證：∠A=∠C。（提示：可連接BD，構(gòu)造兩個(gè)三角形）2.已知：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD。求證：AB∥CD。（提示：先證三角形全等，再利用內(nèi)錯(cuò)角相等證明平行）3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AB=AD。（提示：觀察公共部分AC）【能力提升】4.已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：∠A=∠D。（提示：先證△ABC≌△DEF）5.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線。求證：AD⊥BC。（提示：證明△ABD≌△ACD，得出對(duì)應(yīng)角相等，再利用平角定義）6.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，AB=AC+CD。求證：∠C=2∠B。（提示：在AB上截取AE=AC，連接DE，構(gòu)造全等三角形）【參考答案與提示】*1.提示：連接BD，利用SSS證明△ABD≌△CDB，可得∠A=∠C。*2.提示：利用SAS證明△AOB≌△COD，得∠OAB=∠OCD，從而AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。*3.提示：利用AAS或ASA證明△ABC≌△ADC，可得AB=AD。*4.提示：由BE=CF得BC=EF，再用SSS證△ABC≌△DEF，得∠A=∠D。*5.提示：用SSS證△ABD≌△ACD，得∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，故∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。*6.提示：在AB上截取AE=AC，連接DE。由SAS證△AED≌△ACD，得ED=CD，∠AED=∠C。由AB=AC+CD=AE+EB，得EB=ED，故∠B=∠EDB?！螦ED=∠B+∠EDB=2∠B，所以∠C=2∠B。