化學(xué)與數(shù)學(xué)（函數(shù)圖像、數(shù)列）整合能力試題一、化學(xué)反應(yīng)速率與函數(shù)圖像綜合題（一）基礎(chǔ)應(yīng)用題反應(yīng)速率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系某可逆反應(yīng)(2\text{SO}_2(\text{g})+\text{O}_2(\text{g})\rightleftharpoons2\text{SO}_3(\text{g}))在恒溫恒容條件下進(jìn)行，測(cè)得(\text{SO}_2)的濃度隨時(shí)間變化數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間(t/\text{min})01020304050(\text{SO}_2)濃度(c/\text{mol·L}^{-1})0.80.40.20.10.050.05（1）寫(xiě)出該反應(yīng)的平均反應(yīng)速率(v(t))與時(shí)間(t)的函數(shù)關(guān)系（用(c(t))表示(\text{SO}_2)濃度）；（2）在坐標(biāo)系中繪制(c(t))的圖像，標(biāo)注橫軸、縱軸及關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)；（3）計(jì)算(t=15\\text{min})時(shí)的瞬時(shí)反應(yīng)速率（提示：用切線(xiàn)斜率近似表示）。溫度對(duì)反應(yīng)速率的指數(shù)函數(shù)模型某反應(yīng)的速率常數(shù)(k)與溫度(T)的關(guān)系符合阿倫尼烏斯方程(k=A\text{e}^{-E_a/(RT)})，其中(A=10^{12}\\text{s}^{-1})，活化能(E_a=50\\text{kJ·mol}^{-1})，氣體常數(shù)(R=8.314\\text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1})。（1）將方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性形式（(\lnk)對(duì)(1/T)作圖），寫(xiě)出線(xiàn)性方程的斜率和截距；（2）計(jì)算(T=300\\text{K})和(T=400\\text{K})時(shí)的(k)值，并分析溫度對(duì)反應(yīng)速率的影響程度。（二）圖像分析題沉淀溶解平衡的函數(shù)圖像已知(\text{AgCl})的溶度積(K_{\text{sp}}=1.8\times10^{-10})，在(\text{AgNO}_3)溶液中滴加(\text{NaCl})溶液，測(cè)得(\text{Ag}^+)濃度隨(\text{Cl}^-)濃度變化曲線(xiàn)如圖1所示。（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)中(a)點(diǎn)（(c(\text{Cl}^-)=10^{-5}\\text{mol·L}^{-1})）對(duì)應(yīng)的(c(\text{Ag}^+))計(jì)算式；（2）判斷(b)點(diǎn)（(c(\text{Ag}^+)=2\times10^{-5}\\text{mol·L}^{-1})，(c(\text{Cl}^-)=1\times10^{-5}\\text{mol·L}^{-1})）是否達(dá)到沉淀溶解平衡狀態(tài)，并說(shuō)明理由；（3）若向平衡體系中加入(\text{KI})（(K_{\text{sp}}(\text{AgI})=8.5\times10^{-17})），曲線(xiàn)將如何移動(dòng)？解釋原因。二、化學(xué)平衡與數(shù)列綜合題（一）等比數(shù)列在平衡計(jì)算中的應(yīng)用平衡轉(zhuǎn)化率的遞推關(guān)系一定溫度下，在密閉容器中進(jìn)行反應(yīng)(\text{N}_2\text{O}_4(\text{g})\rightleftharpoons2\text{NO}_2(\text{g}))，初始時(shí)(\text{N}_2\text{O}_4)濃度為(a\\text{mol·L}^{-1})，轉(zhuǎn)化率為(\alpha_1)；達(dá)到平衡后，再通入等量(\text{N}_2\text{O}_4)，新平衡時(shí)轉(zhuǎn)化率為(\alpha_2)，重復(fù)操作至第(n)次平衡，轉(zhuǎn)化率為(\alpha_n)。已知該反應(yīng)的平衡常數(shù)(K=\frac{4\alpha^2}{1-\alpha^2}\cdota)。（1）證明({\alpha_n})為等比數(shù)列，并求出公比(q)；（2）若(a=1\\text{mol·L}^{-1})，(K=4)，計(jì)算前3次平衡時(shí)的轉(zhuǎn)化率(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)及前5次轉(zhuǎn)化率的和(S_5)。（二）等差數(shù)列與多步反應(yīng)計(jì)算連續(xù)反應(yīng)的產(chǎn)率累加問(wèn)題工業(yè)上通過(guò)三步反應(yīng)制備硝酸：①(4\text{NH}_3+5\text{O}_2\xlongequal{\text{催化劑}}4\text{NO}+6\text{H}_2\text{O})（產(chǎn)率(r_1)）②(2\text{NO}+\text{O}_2=2\text{NO}_2)（產(chǎn)率(r_2)）③(3\text{NO}_2+\text{H}_2\text{O}=2\text{HNO}_3+\text{NO})（產(chǎn)率(r_3)）已知各步產(chǎn)率構(gòu)成等差數(shù)列，且(r_1=0.8)，公差(d=-0.05)。若投入(1\\text{mol}\\text{NH}_3)，求：（1）三步反應(yīng)的產(chǎn)率(r_1,r_2,r_3)；（2）最終生成(\text{HNO}_3)的物質(zhì)的量；（3）若將第③步產(chǎn)生的(\text{NO})循環(huán)利用（假設(shè)循環(huán)次數(shù)無(wú)限），總產(chǎn)率可表示為無(wú)窮等比數(shù)列求和，求此時(shí)(\text{HNO}_3)的理論產(chǎn)量。三、沉淀溶解平衡與數(shù)學(xué)建模綜合題（一）溶度積與函數(shù)圖像的定量分析pH對(duì)氫氧化物沉淀的影響某含(\text{Fe}^{3+})和(\text{Mg}^{2+})的混合溶液，濃度均為(0.01\\text{mol·L}^{-1})。已知：(K_{\text{sp}}[\text{Fe(OH)}3]=4\times10^{-38})，(K{\text{sp}}[\text{Mg(OH)}_2]=1.8\times10^{-11})，水的離子積(K_w=1\times10^{-14})。（1）推導(dǎo)(\text{Fe}^{3+})沉淀完全時(shí)（濃度(\leq10^{-5}\\text{mol·L}^{-1})）的pH范圍，寫(xiě)出(\text{pH})與(\lgc(\text{Fe}^{3+}))的函數(shù)關(guān)系；（2）在同一坐標(biāo)系中繪制(\text{Fe(OH)}_3)和(\text{Mg(OH)}_2)的沉淀溶解平衡曲線(xiàn)（橫軸為(\text{pH})，縱軸為金屬離子濃度的對(duì)數(shù)），標(biāo)注沉淀完全點(diǎn)和分離邊界；（3）若通過(guò)加NaOH溶液調(diào)節(jié)pH，要使(\text{Fe}^{3+})完全沉淀而(\text{Mg}^{2+})不沉淀，求pH的控制范圍。（二）分步沉淀與數(shù)列遞推模型逐滴加試劑的沉淀順序問(wèn)題向含(\text{Cl}^-)、(\text{Br}^-)、(\text{I}^-)的混合溶液（濃度均為(0.1\\text{mol·L}^{-1})）中逐滴加入(\text{AgNO}3)溶液，已知：(K{\text{sp}}(\text{AgCl})=1.8\times10^{-10})，(K_{\text{sp}}(\text{AgBr})=5.0\times10^{-13})，(K_{\text{sp}}(\text{AgI})=8.5\times10^{-17})。（1）計(jì)算三種離子開(kāi)始沉淀時(shí)所需(\text{Ag}^+)的濃度，確定沉淀順序；（2）當(dāng)?shù)诙N離子開(kāi)始沉淀時(shí)，第一種離子的剩余濃度為多少？此時(shí)共消耗(\text{AgNO}_3)溶液的體積(V_1)（假設(shè)溶液總體積為(100\\text{mL})）；（3）若每次加入(10\\text{mL}\0.1\\text{mol·L}^{-1}\\text{AgNO}_3)溶液，記錄沉淀質(zhì)量，形成數(shù)列({m_n})，寫(xiě)出前3項(xiàng)(m_1,m_2,m_3)的計(jì)算式（不要求計(jì)算結(jié)果）。四、綜合探究題（一）函數(shù)圖像與化學(xué)計(jì)算的融合復(fù)雜反應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型某酶催化反應(yīng)的速率方程為(v=\frac{v_{\text{max}}[S]}{K_m+[S]})，其中(v_{\text{max}}=2.0\times10^{-5}\\text{mol·L}^{-1}\text{·s}^{-1})，米氏常數(shù)(K_m=1.0\times10^{-3}\\text{mol·L}^{-1})，([S])為底物濃度。（1）繪制(v)隨([S])變化的曲線(xiàn)，標(biāo)注(v_{\text{max}})和(K_m)對(duì)應(yīng)的特征點(diǎn)；（2）當(dāng)([S]=K_m)時(shí)，求反應(yīng)速率(v)；當(dāng)(v=0.8v_{\text{max}})時(shí)，求([S])；（3）若底物濃度([S])隨時(shí)間(t)的變化滿(mǎn)足([S]=[S]_0\text{e}^{-kt})（([S]_0=1.0\times10^{-2}\\text{mol·L}^{-1})，(k=0.1\\text{s}^{-1})），寫(xiě)出(v(t))的表達(dá)式，并計(jì)算(t=10\\text{s})時(shí)的反應(yīng)速率。（二）數(shù)列與化學(xué)工藝的優(yōu)化循環(huán)反應(yīng)的物料平衡計(jì)算工業(yè)合成氨的反應(yīng)為(\text{N}_2+3\text{H}_2\rightleftharpoons2\text{NH}_3)，原料氣中(\text{N}_2)與(\text{H}_2)的物質(zhì)的量之比為1:3，每次循環(huán)的轉(zhuǎn)化率為(\alpha=0.2)，未反應(yīng)的氣體全部循環(huán)利用。（1）設(shè)初始投入(\text{N}_2\1\\text{mol})，求第(n)次循環(huán)后生成(\text{NH}_3)的總物質(zhì)的量(S_n)（用含(n)的表達(dá)式表示）；（2）計(jì)算經(jīng)過(guò)3次循環(huán)后的總轉(zhuǎn)化率（保留2位小數(shù)）；（3）若要使總轉(zhuǎn)化率達(dá)到0.9，至少需要循環(huán)多少次？（提示：利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式近似計(jì)算）五、拓展應(yīng)用題（一）化學(xué)熱力學(xué)與函數(shù)極值反應(yīng)自發(fā)性的溫度條件某反應(yīng)的吉布斯自由能變(\DeltaG=\DeltaH-T\DeltaS)，其中(\DeltaH=-120\\text{kJ·mol}^{-1})，(\DeltaS=-150\\text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1})。（1）寫(xiě)出(\DeltaG)與(T)的函數(shù)關(guān)系，判斷該反應(yīng)在低溫還是高溫下自發(fā)進(jìn)行；（2）求反應(yīng)的轉(zhuǎn)向溫度(T_0)（(\DeltaG=0)時(shí)的溫度）；（3）繪制(\DeltaG-T)圖像，標(biāo)注斜率、截距及轉(zhuǎn)向點(diǎn)，并計(jì)算(T=300\\text{K})時(shí)的(\DeltaG)值。（二）沉淀轉(zhuǎn)化與等比數(shù)列求和難溶電解質(zhì)的轉(zhuǎn)化平衡向(\text{AgCl})懸濁液中滴加(\text{Na}2\text{S})溶液，發(fā)生轉(zhuǎn)化反應(yīng)：(2\text{AgCl(s)}+\text{S}^{2-}(\text{aq})\rightleftharpoons\text{Ag}2\text{S(s)}+2\text{Cl}^-(\text{aq}))，已知該反應(yīng)的平衡常數(shù)(K=\frac{[\text{Cl}^-]^2}{[\text{S}^{2-}]}=\frac{K{\text{sp}}^2(\text{AgCl})}{K{\text{sp}}(\text{Ag}_2\text{S})})。（1）若初始(\text{Cl}^-)濃度為(0.01\\text{mol·L}^{-1})，計(jì)算平衡時(shí)(\text{S}^{2-})的濃度；（2）若每次加入(1\\text{mL}\0.1\\text{mol·L}