彈塑性力學2008級試題

-b簡述題（60分）

1）彈性與塑性

彈性：物體在引起形變的外力被除去以后能恢復

原形的這一性質(zhì)。

塑性：物體在引起形變的外力被除去以后有部分

變形不能恢復殘留下來的這一性質(zhì)。

2）應力和應力狀態(tài)

應力：受力物體某一截面上一點處的內(nèi)力集度。

應力狀態(tài)：某點處的9個應力分量組成的新的二階

張量。

3）球張量和偏量

球張量：球形應力張量，即，其中

偏量：偏斜應力張量，即，其中

5）轉(zhuǎn)動張量：表示剛體位移部分，即

曳—區(qū)

0強U工■1a

/、(\

14_紅

02艮aj

21一J

/、

12」0

2@aj29&2

\>V'/

6）應變張量：表示純變形部分，即

aj

/、

11dd1(dd}

—__L_j__iL------1---

2dd2d_d

\xy。，[，v>17

\(ddy1f"4,

------1---

dj--1-

7）應變協(xié)調(diào)條件：物體變形后必須仍保持其整體性和

連續(xù)性，因此各應變分量之間，必須要有一定得關(guān)系,

即應變協(xié)調(diào)條件。。

8）圣維南原理：如作用在彈性體表面上某一不大的局

部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜

力等效力所代替，則荷載的這種重新分布，只造離荷

載作用處很近的地方，才使應力的分布發(fā)生顯著變化,

在離荷載較遠處只有極小的影響。

9）屈服函數(shù)：在一般情況下，屈服條件與所考慮的應

力狀態(tài)有關(guān)，或者說，屈服條件是改點6個獨立的應力

分量的函數(shù)，即為，即為屈服函數(shù)。

10）不可壓縮：對金屬材料而言，在塑性狀態(tài)，物體體

積變形為零。

11）穩(wěn)定性假設(shè)：即德魯克公社，包括：1.在加載過程

中，應力增量所做的功恒為正；2,在加載與卸載的整

個循環(huán)中，應力增量所完成的凈功恒為非負。

12）彈塑性力學的基本方程：包括平衡方程、幾何方

程和本構(gòu)方程。

13）邊界條件：邊界條件可能有三種情況：1.在邊界上

給定面力稱為應力邊界條件;2.在邊界上給定位移稱為

位移邊界條件；3.在邊界上部分給定面力，部分給定位

移稱為混合邊界條件。

14）標量場的梯度：其大小等于場在法向上的導數(shù)，其

指向為場值增大的方向并垂直于場的恒值面的一個矢

量。

17）塑性較：斷面所受彎矩達到極限彎矩后，不增加彎

矩，該斷面轉(zhuǎn)角仍不斷增加，稱此斷面形成了塑性較。

塑性較是單向較，只能沿彎矩增大方向發(fā)生有限轉(zhuǎn)動。

‘010、

二求100的主值和主方向（10分）

eO°>

解：

解之得：=0=1=-1,即主應力分別為=1=0=-1

當=1時，

同理可得：主方向2:

主方向3:

四論述（15分）

1）本構(gòu)方程遵從的一般原理

2）彈塑性本構(gòu)關(guān)系

答：1）本構(gòu)方程遵從的一般原理：1.決定性原理，與時

間歷程相關(guān)的；2.局部作用原理；3.坐標無關(guān)性；4.空

間各向同性原理；5.時間平移的無關(guān)性。

2）課本第四章。

一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分,

共10分。）

1.簡述固體材料彈性變形的主要特點。

2、試列出彈塑性力學中的理想彈塑性力學模型（又稱彈性完

全塑性模型）的應力與應變表達式，并繪出應力應變曲線。

二、填空題：（每空2分，共8分）

1.在表征確定一點應力狀態(tài)時，只需該點應力狀態(tài)的——個

獨立的應力分量，它們分別是——o（參照oxyz直角坐標系）。

2、在彈塑性力學應力理論中，聯(lián)系應力分量與體力分量間關(guān)

系的表達式叫-----方程，它的縮寫式為——o

三、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小

題4分，共16分。）

1.試根據(jù)由脆性材料制成的封閉圓柱形薄壁容器，受均勻內(nèi)壓

作用，當壓力過大時，容器出現(xiàn)破裂。裂紋展布的方向是：

A.沿圓柱縱向（軸向）B.沿圓柱橫向（環(huán)向）C.與縱向呈

45°角D.與縱向呈30。角

2.金屬薄板受單軸向拉伸，板中有一穿透形小圓孔。該板危險

點的最大拉應力是無孔板最大拉應力倍。

A.2B.30.4D.5

3.若物體中某一點之位移u、v、w均為零（u、v、w分丸為物

體內(nèi)一點，沿x、y、z直角坐標系三軸線方向上的位移分量。）

則在該點處的應變o

A.一定不為零B.一定為零C.可能為零D.不能確定

4.以下表示一個二階張量。

A.B.C.D.

四、試根據(jù)下標記號法和求和約定展開下列各式：（共8分）

1、；（i,j=1,2,3）；

2.；

五、計算題（共計64分。）

1.試說明下列應變狀態(tài)是否可能存在:

匕（/+cxy0

與=cxycy20

000力七=Zy,z）

上式中c為己知常數(shù)，日

2.已知一受力物體中某點的應力狀態(tài)為:

式中a為已知常數(shù)，且a>0,試將該應力張量分解為球應

力張量與偏應力張量之和。為平均應力。并說明這樣分解的

物理意義。

3.一很長的（沿z軸方向）直角六面體，上表面受均布壓q

作用，放置在絕對剛性和光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。若選取=

ay2做應力函數(shù)。試求該物體的應力解、應變解和位移解。

（提示：◎基礎(chǔ)絕對剛性，則在x=0處,u=0；②由于受力

和變形的對稱性，在y=0處,v=0o）

題五、3圖

4.已知一半徑為R=50mm,厚度為t=3mm的薄壁圓管,

承受軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。設(shè)管內(nèi)各點處的應力狀態(tài)均相

同，且設(shè)在加教過程中始終保持，（采用柱坐標系，「為徑向,

0為環(huán)向，Z為圓管軸向。）材料的屈服極限為=400MPa。試

求此圓管材料屈服時（采用Mises屈服條件）的軸向載荷P和軸

矩Ms。

（提示：Mises屈服條件：；）

填空題

6

4、%、%、%、%、%

平衡微分方程

%?/+月=0

選擇ABBC

解：已知該點為平面應變狀態(tài)，且知：k為已知常量。則將應變分

量函數(shù)代入相容方程得：2k+0=2k成立，故知該應變狀態(tài)可能存在。

2解

球應力張量作用下，單元體產(chǎn)生體變。體變僅為彈性變形。偏應力張

量作用下單元體只產(chǎn)生畸變。塑性變形只有在畸變時才可能出現(xiàn)。關(guān)于

巖土材料，上述觀點不成立。

3.解：，滿足，是應力函數(shù)。相應的應力分量為：

,,;①

應力邊界條件：在x=h處，②

將式①代入②得：，故知：

由本構(gòu)方程和幾何方程得：

④

積分得：⑤⑥

在x=O處u=O,則由式⑤得,fl（y）=0；

在y=o處v=0,則山式⑥得，f2（x）=0；

因此，位移解為：

4.解：據(jù)題意知一點應力狀態(tài)為平面應力狀態(tài)，如圖示，且知，則

,且=Oo

代入Mises屈服條件得：

即：

解得：200MPa；

軸力：P==2X50X10-3X3X10-3X200X106=188.495kN

扭矩：M==2X502X10-6X3X10-3X200X106=9.425kN?m

綜合測試試題二

一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分,

共10分。）

1、試簡述彈塑性力學理論中變形諧調(diào)方程（即：相容方程或變

形連續(xù)方程）的物理意義。

2、簡述Tresea屈服條件的基本觀點和表達式，并畫出其在兀

平面上的屈服軌跡。

二、填空題：（每空2分，共10分）

1.關(guān)于正交各向異性體、橫觀各向同性體和各向同性體，在它

們各自的彈性本構(gòu)方程中，獨立的彈性參數(shù)分別只有——個、

個和----個。

2、判別固體材料在復雜應力狀態(tài)作用下，是否產(chǎn)生屈服的常

用屈服條件（或稱屈服準則）分別是-一和——o

三、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小

題4分，共16分。）

1.受力物體內(nèi)一點處于空間應力狀態(tài)（根據(jù)OXYZ坐標系），一

般確定一點應力狀態(tài)需獨立的應力分量。

A.18個B.9個C.6個D.2個

2.彈塑性力學中的幾何方程一般是指聯(lián)系的關(guān)

系式。

A.應力分量與應變分量B.面力分量與應力分量

C.應變分量與位移分量D.位移分量和體力分量

3.彈性力學中簡化應力邊界條件的一個重要原理是

A.圣文南原理B.剪應力互等定理C.疊加原理D.能量原理

4.一點應力狀態(tài)一般有三個主應力。相應的三個主應力方向

彼此o

A.平行B.斜交C.無關(guān)D.正交

四、試根據(jù)下標記號法和求和約定展開下列各式（式中i、j=x、

y、z）:（共10分）

①、%

②丐;

五、計算題（共計54分。）

1.在平面應力問題中，若給出一組應力解為：

5，，

式中a、b、c、d、e和f均為待定常數(shù)。且已知該組應力解

滿足相容條件。試問：這組應力解應再滿足什么條件就是某一彈

性力學平面應力問題的應力解。（15分）

2.在物體內(nèi)某點，確定其應力狀態(tài)的一組應力分量為：

=0,=0,=0,=0,=3a,=4a,知。

試求：（16分）

①該點應力狀態(tài)的主應力、和；

②主應力的主方向；

③主方向彼此正交；

3.如圖所示，楔形體OA.OB邊界不受力。楔形體夾角為2。，

集中力P與y軸夾角為8。試列出楔形體的應力邊界條件。（14

分）

4.一矩形橫截面柱體，如圖所示，在柱體右側(cè)面上作用著均

布切向面力q,在柱體頂面作用均布壓力p。試選?。?/p>

>?丁（月？+Bx2+以）+加+E*

做應力函數(shù)。式中A.B.C.D.E為待定常數(shù)。試求：（16分）

（1）上述式是否能做應力函數(shù)；

（2）若可作為應力函數(shù)，確定出系數(shù)A.B.C.D.E。

（3）寫出應力分量表達式。（不計柱體的體力）

題五、4圖

5.已知受力物體內(nèi)一點處應力狀態(tài)為:

crn00

=022

022x

L」(Mpa)

且已知該點的一個主應力的值為2MPa。試求：（15分）

①應力分量的大小。

②主應力、和。

952Tresca屈服條件Mises屈

服條CCAD

1.解：應力解應再滿足平衡微分方程即為彈性力學平面應力問題可能的

應力解，代入平衡微分方程得：

注+冬+丹=0

dxdy以+/=0

drdae+d=0

-^+—^+工

dxdy

則知，只要滿足條件a=-f,e=-d,b和c可取任意常數(shù)。若給

出一個具體的彈性力學平面應力問題，則再滿足該問題的應力邊界條件,

該組應力分量函數(shù)即為一個具體的彈性力學平面應力問題的應力解。

2.解：由式(2-19)知，各應力不變量為

代入式(2—18)得：

虎一25。匕=0

也即與⑸一25。')=0⑴

因式分解得：

(2)則求得三個主應力分別為°i=5a，％=°,g=-5"。

設(shè)主應力01與xyz三坐標軸夾角的方向余弦為

11、%、%。

將及已知條件代入式（2-13）得：

-5叫1+4叫3=0

-5a/1?+3ah3-。,

4ain+3aln-5aln=0J⑶

由式（3）前兩式分別得：

AL.￡J

,135J5⑷

將式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2

-15）得：

11^2

>=——=—=

fpfcpW7

則知

；_4/13_2",3/133"

八］------------------%■12

55;510⑸

同理可求得主應力的方向余弦、、和主應力的方向余弦

、,并且考慮到同一個主應力方向可表示成兩種形式，則得：

主方向為：；（6）

主方向為：；（7）

主方向為：：（8）

若取主方向的一組方向余弦為，主方向的一組方向余弦為

,則由空間兩直線垂直的條件知：

/ldl3+/13/33南闈+圖-0

(9)

由此證得主方向與主方向彼此正交。同理可證得任意兩主應力

方向一定彼此正交。

3.解：楔形體左右兩邊界的逐點應力邊界條件：當（）=±a時，

=0,=0;以半徑為r任意截取上半部研究知：

Z月r=0,Jcos+PCOS/?=0

Z%=0,J(y^rsinOdd+Psinj8=0

工必=0,=0

4.解：據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即:

：由此可知應力函數(shù)可取為：

貝凡7）=1口”+工（0心）

將式（a）代入，可得:

J曄+崢.0

加出(b)

故有：

?芯)_n.也⑺_n

心心；(c)

則有：

y；(x)=^+5x2+Cx+Z

/a(x)=Dx32

+EX+JX+K；(D)

略去中的一次項和常數(shù)項后得：

夕=『(/+即+⑴+次+&2⑹

相應的應力分量為：

(Tn=0

%=y(6Ax+28)+6Dx+2E

T=-3J4X，—2Bx—C/、

？(?)

邊界條件:

①處,

,則(g)

②處，

則：①）

③在y=0處,

,即

由此得：

B=-四,

再代入式（h）得：；

由此得：

料+產(chǎn))+0+2E

叫=/

(i)

由于在y=0處，

Z弓?0，￡%去=0

積分得：（j）

積分得：（k）

由方程(j)(k)可求得:

D-5-0,

投知各應力分量為:

cr=0

2p八31

hh

%吒仁一工

hh2）⑴

據(jù)圣文南原理，在距處稍遠處這一結(jié)果是適用的。

5.解：首先將各應力分量點數(shù)代入平衡微分方程，則有:

da-加

+尸=0

aa‘o+o+o=o1

+q+工=Clj

得：…

顯然，桿件左右邊界邊界條件自動滿足，下端邊界的邊界條件為:

即:

或?

J"=0

（仃/大4.。'

J"=°

b

qJjki4=o=oC2xtb=0C2=0

2-6

一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分,

共10分。）

1.簡述彈塑性力學的研究對象、分析問題解決題的根本思路和

基本方法。

2.簡述固體材料塑性變形的主要特點。

二、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小

題4分，共16分。）

1.一點應力狀態(tài)的主應力作用截面上，剪應力的大小必定等于

A.主應力值B.極大值C.極小值D.零

2.橫觀各向同性體獨立的彈性常數(shù)有個。

A.2B.5C.9D.21

3.固體材料的波桑比u（即橫向變形系數(shù)）的取值范圍是:

A.B.0.D.

4.空間軸對稱問題獨立的未知量是應力分量和應變分量，分別

個，再加上個位移分量，一共個。

A.3B.6C.8D.10

三、試據(jù)下標記號法和求和約定，展開用張量符號表示的平衡微

分方程：（10分）

（i,j=x,y,z）

式中用為體力分量。

四、計算題（共計64分。）

1.已知一彈性力學問題的位移解為：（13分）

wx=z---

2a；aa；

式中a為已知常數(shù)。試求應變分量，并指出它們能否滿足變

形協(xié)調(diào)條件（即相容方程）。

2.設(shè)如圖所示三角形懸臂梁，只受自重作用，梁材料的容重

為o若采用純?nèi)味囗検剑?/p>

cp=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dyi

作應力函數(shù)，式中A.B.C.D為待定常數(shù)。試求此懸臂梁的應

力解。（15分）

題四、2圖

.試列出下列各題所示問題的邊界條件。（每題10分，共20分。）

（1）試列出圖示一變截面薄板梁左端面上的應力邊界條

件，如圖所示。

題四、3.（1）圖

題四、3.（2）圖

（2）試列出半空間體在邊界上受法向集中P作用一一

Boussinesq問題的應力邊界條件，如圖所示。

4、一薄壁圓筒，承受軸向拉力及扭矩的作用，筒壁上一點處

的軸向拉應力為，環(huán)向剪應力為，其余應力分量為零。若使用

Mises屈服條件，試求：（16分）

1）材料屈服時的扭轉(zhuǎn)剪應力應為多大？

2）材料屈服時塑性應變增量之比，即：

o已知Mises屈服條件為:

1

［（5-刊）'+（5-4）'+（4-巧）'+6（方+母+已州二5

忑

選擇DBCD

三、

至+吆+強+八=0

dxdydz

加dadr

—+^+F=0

dxdzy

也+也+%+%=0

dxdydz

1?解：將位移分量代入幾何方程得:

［?。翰a(chǎn)?。禾?:：4=%=%=0

由于應變分量是X的線性函數(shù)，固知它們必然滿足變形協(xié)調(diào)條件:

3J_會

dy2dx2dxdy

吼yI或彳_針七

dz2辦2dydz

，方a%/a2%

--------』-+I---------n--=-------?--4-A--

dx2+2dzdx

d_f%%、

%+=2--

dx1力擊dx/dydz

%如蘆_%、二2%

+

dzdxdzdx

d/8%=2也

+一

也dxdz,dx?

2.解：將式代入知滿足，可做應力函數(shù)，相應的應力分量為:

（已知Fx=O,Fy=y）

3中

一&x=2Cx+6Dy

一弓丫=6Ax+2By-yy

%=一痣=一2…

邊界條件：

①上邊界：，，，代入上式得：A=B=0,

②斜邊界：，，，，則：

-sina(2cx+GDxtga)+cosa(-2cxtga)=0

cos。(一yxtga)-sin)(一2cxtga)=0

得：

yctgayctg%

C=--------D=----------

2；3

于是應力解為:

題四、2圖

3.解：（1）左端面的應力邊界條件為：據(jù)圣文南原理

題四、3.(1)圖

EF&=0,J，砂=0

E工=0,/4%。+口=口＞

E嗎=0,C巴?廣砂=0

(2)上邊界：①當時，；

②當時，；

③當時，；在此邊界上已知:

④當設(shè)想時，截取一平面，取上半部研究，則由

平衡條件知:

，已知：，對稱性

4、解：采用柱坐標，則圓筒內(nèi)一點的應力狀態(tài)為:

CT-0.CL■0.O"0.

,■，2

則miss條件知:

:JT

*[9,-3)'+(a#-a)+(a-a)+U+Y+V)]

1

?加塢"爭+位」JW+?°,

解得：；此即為圓筒屈服時，一點橫截面上的剪應力,

已知：

則:

-—-a-a-—t；

S=er-er=2一%=%?1=0,

ccm263're

二三.

tc2，

由增量理論知:

則:

：(-2L)：：0:0:—

632

即:

d￡；:四：阻：dQ:dg:d力=(-1):(-1):2:0:0:6

四

一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分,

共10分。）

1、彈性力學、彈塑性力學、材料力學這幾門課程同屬固體力

學的范疇，它們分析研究問題的基本思路都是相同的。試簡述這

一基本思路。

2、試畫出理想彈塑性材料的應力應變曲線，即。一￡曲線，并

列出相應的應力應變關(guān)系式。

二、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小

題4分，共16分。）

1.極端各向異性體、正交各向異性體、橫觀各向同性體和各向

同性體獨立的彈性常數(shù)分別為：。

A.81.21.15.9；B.21.15.9、6；

C.21,9、5.2；D.36.21.9、2；

2,主應力空間平面上各點的為零。

A.球應力狀態(tài)；B.偏斜應力狀態(tài)；

C.應力狀態(tài)；D.球應力狀態(tài)不一定；

3.若一矩形無限大彈性薄平板，只在左右兩邊受均布拉力q作

用，板中有一穿透型圓孔。圓孔孔邊危險點應力集中，此點最大

的應力（環(huán)向正應力）是無孔板單向拉應力的。

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.固體材料的彈性模E和波桑比（即橫向變形系數(shù)）的取值

區(qū)間分別是：

A.E<0,0<<；B.E>0,-1<<1；

C.E<0,—<<；D.E>0,0<<；

三、試根據(jù)下標記號法和求和約定展開下列各式：（變程取ij=

1、2.3或X、v、z。）（共10分。）

1.

2.

四、計算題（共計64分。）

1.如圖所示一半圓環(huán)，在外壁只受的法向面力作用，內(nèi)壁

不受力作用。A端為固定端,B端自由。試寫出該問題的逐點應力

邊界條件和位移邊界條件。（15分）

y

2,已知一點的應變狀態(tài)為:

試將其分解為球應變狀態(tài)與偏斜應變狀態(tài)。(15分)

3.已知受力物體內(nèi)一點處應力狀態(tài)為：

a0

=022

022f、

L」(Mpa)

且已知該點的一個主應力的值為2MPa。試求：（18分）

①應力分量的大?。?/p>

②主應力、和。

4.一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a,外半徑為b,僅承受均勻內(nèi)壓

q作用（視為平面應變問題）。圓筒材料為理想彈塑性，屈服極

限為。試用Tresca屈服條件，分析計算該圓筒開始進入塑性狀

態(tài)時所能承受的內(nèi)壓力q的值。已知圓筒處于彈性狀態(tài)時的應

力解為：

上式中：aWrWb。（16分）

選擇CACD

i.

2.

計算題1.解：逐點應力邊界條件:

當r=a時，=0,=0；

當r=b時，=qsi0,=0；

當0=幾時，=0,=0；

A端位移邊界條件:

當。=0,時，ur=0,u。=0,且過A點處徑向微線索不轉(zhuǎn)

動，即=0;或環(huán)向微線素不轉(zhuǎn)動，即=0o

2、解：

J4=

+￡+￡1+5+17

￡=X1Q-*=-xl0-4

T33

7

00

3

7

￡5=0-0X10-*

EIf3

0

4

1.03.0

3

Q

1.0-1.0xicr

3

對稱▼J

3.0

3.解（1）:

J1=^+<3/+a-t=cr4-2+2=4+crx

A■-5%+zJ+z/+zJ

--2al-44-2a+0+4+0-X-4cr

%=

■4cr1+0-4cr1-0-0■0

力n_[1(Jn?_[x(Jn-Z,，=0

即：

將：代入上式解得：；

故知：

由:

又解（2）:代入教材、公式：代入

(5-4)?1+5+、/3=0(,_2)?+0+口=。

*+(叼+5?0/+(2_2)72+2?、?0

3i++9-5扎=。J0+4+(2-2R=0

由：

且由上式知：2式知，由3式，故，則知：；（由1

式）再由：

(2-,)00

0(2-0.)2-0

02(2"n)

展開得:

則知：；

由：(2-q)(2-q)-4=(25)?-2?

=(2-on-2X2-q+2)=0

即：；；

再由：，知:

4、解：由題目所給條件知:

可?內(nèi)；5?q;巧■，;

則由Tresca條件：

知：

則知:

考試科目：彈塑性力學試題

班號研班姓名

成績______

一、概念題

（1）最小勢能原理等價于彈性力學平衡微分方程和靜力邊界

條件，用最小勢能原理求解彈性力學近似解時，僅要求位移函

數(shù)滿足已知位移邊界條件。

（2）最小余能原理等價于應變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件,

用最小余能原理求解彈性力學近似解時，所設(shè)的應力分量應

預先滿足平衡微分方程和靜力邊界條件。

(3)彈性力學問題有位移法和應力法兩種基本解法，前者以

位移為基本未知量，后者以應力為基本未知量。

二、已知軸對稱的平面應變問題，應力和位移分量的一般解為:

AA

b廠=—-+2C,o。=+2c,「廠8=。

廠r

_]一〃2—4(1+4)+251—4)，4=0

UrE

r1-jLi]一4

利用上述解答求厚壁圓筒外面套以絕對剛性的外管，厚壁圓

筒承受內(nèi)壓P作用，試求該問題的應力和位移分量的解。

解：邊界條件為：

時：；。

時：；。

將上述邊界條件代入公式得：

2+20=-。

cr

urf=^^|---(l+^-)+2CZ?(l--^)~|=0

riEb1-//1一〃

解上述方程組得：

pa2b2Q-2")

P(j2

f----------------

-2g2(1—2〃)+/]

則該問題的應力和位移分量的解分別為:

-2〃)

2

//(l-2〃)+/rb(1—2〃)+a

p〃2"(i—24)1pa1

。2(1-2〃)+〃2戶

0

1一〃pa%2Q—2〃)

--------------------------1I--------------------------

E[r[a2+b2(l-2^)]{1-^)[a2-^-b2(l-2

三、已知彈性半平面的。點受集中力時，在直角坐標

下半平面體內(nèi)的應力分量為：

2Px3

71(X2+J2)

2Pxy2

2

兀(x+y2)2

2P%2y

71(X2+)2)2

利用上述解答求在彈性半平面上作用著n個集中力構(gòu)成的力

系，

這些力到所設(shè)原點的距離分別為%試求應力",，葭y的

般表達式。

解：由題設(shè)條件知，第個力在點(X,y)處

產(chǎn)生的應力將為：

b⑺=2P(x+洲

K"卜+行+(丁-乃尸]2

⑺一IP(x+a1y-y^

<Cj---------------------------------

YV〃[(…八/卅?

T⑺=2P(%+a)2(y-%)

22

孫兀(x+a)2+(y-y,)]

故由疊加原理,n個集中力構(gòu)成的力系在點(x,

y)處產(chǎn)生的應力為：

2P弋(x+〃)3

a

71iT[(x+〃)2+(y_y)2『

(x+a)()-y)2

卜+a)2+(y-yyf

(x+a)2(y-yJ

[(x+af+Cy-yf]2

四、一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為，抗彎剛度

為常數(shù)，彈簧系數(shù)為，承受分布荷載作用。試用最小勢能原

理導出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。

解：第一步：全梁總應變能為:

外力做功為：

總勢能為:

第二步：由最小勢能原理可知：

3n=o等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。

2?

dx-^q8wdx-\-^Sk\^|

項號網(wǎng)副v=/

Nd2w(c1

=LEI/q彳a*—I“小”dx+^

（*）

—6wdx

dx

將其代入（*）式并整理可得:

5w||十Avw%v|j=0

1

dxt

由于當時，,;

所以平衡微分方程為:(WW)

靜力邊界條件為:

五、已知空間球?qū)ΨQ問題的一般解為:

首先求出空心球受均勻內(nèi)外壓時的解答，然后在此基礎(chǔ)上導

出無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時

的解答C

解：（1）相應空心球受均勻內(nèi)外壓時的邊界

條件為：

R=a：OR=_qa

R=b：°R=一%

將上述邊界條件代入得:

J-2-EB=F

1-2"(1+〃)/

2E

一B=_qb

(1+〃啟

可解得:

八_(%/q/3]、2〃)

D久一_(%-心)0+〃)。％3

2(a3-h3)E

故空心球受均勻內(nèi)外壓時的解為:

_(%。3〃3*_24)(/一逆+歐3：3]

RL一卜二丁歸?2(QL；)E—?R2

-%《）伉1

干廠（八.）33

_（夕屹3一/不L（%一七）叩1

2「_。3）?R3

（2）當無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁

受有均勻壓力時，即在上式中令、、，則可得：

u二伏尸(1+4)

4~2ER2

q/

~~R^

*q/

六、已知

%+耳二°

1z、

%=5""，+勺°

Oij=屁%+2?

推導以位移分量表示的平衡微分方程。

解：由得

1/、

e~￡kk~Z（Uk,k+Uk,k）=憂k、k

將上述兩式代入，得到

為=/i="必+Mj+〃》）

代入心//+4=0得

4以內(nèi)一+〃鼠力?+叫,/+耳=。

而4以肉跖=M,ki=ujji=uj,u

故平衡方程可寫成

力+（'+4）町/+耳=。

由因為工

CZA-?

/、°2V72

%?=(%*=(1左+豕g+，%=▽%

所以以位移分量表示的平衡微分方程的最終形式為：。

七、證明彈性力學功的互等定理（用張量標記）。

證明：（1）先證可能功原理

考慮同一物體的兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)與物體所

受的實際荷載和邊界約束沒有必然的聯(lián)系。第一狀態(tài)全用力學

量（、、）來描述，它在域內(nèi)滿足平衡方程

%,產(chǎn)+即=。

并在全部邊界條件上滿足力的邊界條件：

第二狀態(tài)全用幾何量（65）//））來描述。它在域內(nèi)滿

足幾何方程

且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊

界處的值。從而利用力的邊界條件和高斯積分定理，可得

Js片%/"dS=￡a^u^UjdS=⑻）嚴

=L%,『）小"川+L%W）w

利用平衡方程，式（*）右端第一項可化為

第二項利用張量的對稱性和幾何方程可改寫成

f：^dV=fer，"—(%W+%的)dV

jylJJVlJ2

=fW1(〃jy+〃.㈤WV=[bp￡/)dV

JylJ2LJJl1JVlJlJ

即式(*)成為

Js4%產(chǎn))ds=-￡F^u^dV+Lb產(chǎn)與嚴dV

n[F^dV+￡那％(%S=1％(，)%(?

式（**）即為可能功原理。

（2）考慮同一物體的兩種不同真實狀態(tài)，設(shè)第一

狀態(tài)的體力和面力為和，相應的應力、應變狀態(tài)為；第

二狀態(tài)則為、和。由于都是真實狀態(tài)，所以兩個狀態(tài)都

同時是靜力可能狀態(tài)和變形可能狀態(tài)，且都滿足廣義虎克定

律

aij=C派盧kl

根據(jù)可能功原理（令s=Lk=2）有

L耳⑴%.⑵dV+J屋％⑵dS=L%⑴為⑵dV(a

J*⑵%⑴”+￡月⑵%.⑴dS=L為⑵為⑴”0

對于線彈性體，有彈性張量的對稱性得

5/）與⑵=，盧J'）%⑵=，殉⑵%⑴=//⑵加⑴=

即積分后（a）（b）兩式的右端相等，相應地左端

也應相等，故得到

\vF^u^dV+(P^u^dS=「耳⑵5⑵%"

八、證明受均勻內(nèi)壓的厚壁球殼，當處于塑性狀態(tài)時，用Mises

屈服條件或Tresca屈服條件計算將得到相同的結(jié)果。

證明：1.厚壁球殼的彈性應力分布(采用球坐標系)

平衡方程：

幾何方程：，

物理方程：

,特征方程為：

R

u=Aef4-Be2t=Ar+—

r

解得：

引入邊界條件：，可得：

03(2/+/)

U=/f-(1―24)3+1+：613b3

磁-。2r2J

最大周向拉應力為：

2.塑性分析

Mises屈服準則：

Tresca屈服準則:

在球坐標下，球?qū)ΨQ厚壁球殼內(nèi)部無剪應力，故、、即為

三個主應力，有對稱性可知=,代入兩屈服準則便可得到

相同的形式：，故原結(jié)論得證。

中南大學考試試卷

2009―2010學年2學期時間

100分鐘

彈塑性力學課程40學時2.5學

分考試形式：閉卷

一、專業(yè)年級：城地0801-0803

總分100分，占總評成績70%

注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上

判斷題(本題18分，每小題3分)

1.彈性體的應力就是一種面力。

(X)

2.彈性體中任意?點都有

(J)

3.物體是彈性的就是說應力和應變之間的關(guān)系是直線。

(X)

4.極坐標系下的彈性力學方程只能用來描述具有軸對稱

性的受力物體。(X)

5.下圖為線性硬化彈塑性材料。

(J)

0

圖1

6.平面應力與平面應變問題的平衡方程、幾何方程、物理

方程完全相同。（X）

二、概念解釋（本題16分，每小題2分）

1、塑性；2、屈服準則；3、外力（即外荷載）；4、均勻性，各

向同性；5、主應力和主方向；6、翻譯：主應力，剪應變，平

面應變問題

三、簡答題（本題17分）

L簡述半逆解法的適用條件及其實施的主要過程。（6分）

主要使用條件是常體力平面問題,這時候可以使用基于

應力函數(shù)的解法。

半逆解法的主耍實施過程

（a）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件

等九假設(shè)部分或者全部應力分量的某種函數(shù)形式;

（b）根據(jù)應力分量與應力函數(shù)的關(guān)系以及用應力函數(shù)給

出的變形協(xié)調(diào)關(guān)系,確定應力函數(shù)的形式;

再次利用應力分量與應力函數(shù)的關(guān)系求出應力分量,

并讓其滿足邊界條件,對于多聯(lián)通域,還要滿足位移單值條

件。

2.簡述圣維南原理及其作用（6分）

圣維南原理:若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為

分布不同但靜力等效的面力,則近處的應力分布將有顯著改

變,而遠處所受的影響可忽略不計?？梢酝茝V為:如果物體一

小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于

零）,那么,這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力,而遠處

的應力可以不計

3、在主軸坐標系下，線彈性體應變能密度是，請將其寫

成約定求和的指標記法。（5分）

解答

（向十十%個）=b邑

0=gbgi=L2,3

四、證明題（本題12分）

平面問題中，物體中任意兩條微小線元PB和PC,線段長

度如圖2所示，變形以后，變到了P'B,和