試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第14章全等三角形（2）——考點考題點點通學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．如圖，在和中，，，且點B、C、E在同一條直線上．點P是邊上的一個動點，連接，則的最小值為．二、解答題2．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點為的中點，，．求證：．3．如圖，點在一條直線上，．(1)如圖（1），求證：；(2)如圖（2），平分交于點，求的度數(shù)．4．如圖，太陽光下有兩根垂直于地面的等長竹竿與，且兩根竹竿的影子分別為和，已知太陽光線．小明同學經(jīng)過探究得結(jié)論：．請問他的結(jié)論正確嗎？請給出理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標，點B的坐標是，將線段沿x軸向右平移得到線段，點D的坐標為，過點D作軸，垂足為E．動點P以每秒2個單位長度的速度勻速從點A出發(fā)，沿著的方向向終點D運動，設運動時間為t秒．(1)點C的坐標是________，當點P出發(fā)3秒時，點P的坐標是________，四邊形的面積是________；(2)三角形可以看作是哪個三角形經(jīng)過怎樣的平移得到的；(3)當點P在線段上運動時，是否存在點P使得三角形的面積是6．若存在，請直接寫出此時點P的坐標；若不存在，試說明理由；(4)當點P在運動時，請用含t的式子表示出點P的坐標．三、單選題6．據(jù)史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術(shù)的發(fā)明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風箏”圖案中，、、．則不一定能得到以下哪個結(jié)論（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個箏形，其中，，、交于點O，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個四、填空題9．如圖，點F，C在上，，，，與相交于點G，若，則的度數(shù)為．10．如圖，在與中，，分別交、于點，交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的序號為：．11．如圖，為的角平分線，點是上的一點，于，于，為上另一點，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是．（填序號）五、解答題12．某數(shù)學興趣小組同學就“測量河兩岸A，B兩點間的距離”這一問題，設計了如下方案：課題測量河兩岸A，B兩點間的距離測量工具測量角度的儀器、皮尺等測量方案示意圖測量步驟①在點B所在河岸同側(cè)的平地上取點C和點E，使得點A，B，C在一條直線上，且；②測得，；③在的延長線上取點D，使得；④測得的長度為．請你根據(jù)以上方案求出A，B兩點間的距離．13．如圖，在上各取一點E，D，使，連接，相交于點O，連接，．求證：(1)(2)．14．如圖1，點在的平分線上．(1)若，求證：．(2)如圖2，若．①已知，求的度數(shù)．②點在上，若，求證：．六、單選題15．如圖，、、三點在同一直線上，且，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．16．如圖，在和中，，，，AC，BD交于點M．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②．下列判斷中，正確的是（

）A．結(jié)論①對，結(jié)論②錯 B．結(jié)論①錯，結(jié)論②對 C．結(jié)論①②都對 D．結(jié)論①②都錯17．如圖1，兩個大小不同的三角板疊放在一起，圖2是由它得到的抽象幾何圖形，已知，且點在同一條直線上，，，連接．現(xiàn)有一只壁虎以的速度沿的路線爬行，則壁虎爬到點所用的時間為（

）A． B． C． D．七、填空題18．如圖，邊長為的正方形的中心與正方形的頂點E重合，且與邊，分別相交于點M，N，圖中陰影部分的面積記為，兩條線段，的長度之和記為，將正方形繞點E逆時針轉(zhuǎn)動適當角度，則有．19．如圖，、是外兩點，連接、，有、，．連接、交于點．（1）當時，的度數(shù)為．（2）用含的式子表示的度數(shù)為．20．如圖，和都是等邊三角形，，連結(jié)，，為直線，的交點，連結(jié)，當線段最長時，的值是．21．如圖，點是在等邊三角形內(nèi)一點．連結(jié)，，．將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．連接，，若，，，則的度數(shù)為；的面積為．八、解答題22．小明將兩個大小不同的含角的直角三角板按如圖1所示放置在同一平面內(nèi)．從圖1中抽象出一個幾何圖形（如圖2），其中，，，B、C、E三點在同一條直線上．(1)連接．請分別直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：___________，___________；(2)若不動，將繞著點A旋轉(zhuǎn)一個角度，與交于點O，如圖3，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．23．綜合與探究在和中，，，．【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，A，O，D三點共線，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，設，相交于點P，，相交于點Q，若，求的度數(shù)．【拓展延伸】（3）如圖3，，M，N分別為，的中點，連接，，，試說明且．24．如圖1，在中，，，D是上的一點，且，連接，．(1)試判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若將繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，仍然有，，試判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化；(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，且與交于點F，其他條件不變．①請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；②你能求出與所成的較小的角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由．九、單選題25．如圖，，，，，垂足分別是點、，，，則的長是（

）A． B． C． D．26．如圖，將一個直角三角板按如圖方式放在平面直角坐標系中，直角頂點落在處，頂點落在處．頂點落在第一象限，則頂點到軸的距離為(

)A．2 B．3 C．4 D．527．如圖，在四邊形中，，，，于點，若，，則四邊形的面積等于（

）A．35 B． C．20 D．1028．如圖，在中，，，是內(nèi)部的射線且，過點作于點，過點作于點．給出下面四個結(jié)論：①；②；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③十、解答題29．【猜想證明】（1）在平面內(nèi)，的直角頂點A放置在直線上，，，分別過B，C兩點作直線的垂線，垂足分別為D，E．①如圖所示，旋轉(zhuǎn)，當B，C兩點在直線的同側(cè)時．請直接寫出______；②如圖，旋轉(zhuǎn)，當B，C兩點在直線的異側(cè)時，點在A，E兩點之間，猜想，，三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【問題解決】（2）如圖，直線于點O，Q為直線上的任意一點．為直線上點右側(cè)的一動點，連接，過點作，且，的長度為2，求的面積．30．通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型．【探究問題】（1）如圖2，在直角中，，，點正好落在直線上，分別作于點，于點，則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（2）如圖3，將（1）中的直線繞點轉(zhuǎn)動到與相交，其余條件不變．請問（1）中結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【解決問題】（3）如圖4，直線經(jīng)過的直角頂點，的邊上有兩個動點、，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點、分別作，，垂足分別為點、，若，，設運動時間為，當以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等時，求此時的值．31．已知中，，D、A、E三點都在直線l上，且，其中．(1)模型：當時，如圖1，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為________；(2)拓展：當時，如圖2，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；(3)應用：當時，如圖3，若，延長，交直線l于點F，，，，求．32．（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：（2）如圖②，在四邊形中，若，，E、F分別是邊上的點，且，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．33．如圖，在中，，將沿著斜邊翻折得到，點E、F分別是射線、射線上的點，且．(1)初步探索：如圖1，點在線段上，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．小華同學探究此問題的思路是：延長至點，使得，連接，先證明，再證明，請你根據(jù)該思路探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)探索延伸：如圖2，點在線段的延長線上，、、之間的數(shù)量關(guān)系是．(3)靈活運用：在中，若，，，，則的周長為．34．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，E，F(xiàn)分別是上的點，且．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．

小明同學探究此問題的方法是，延長到點G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，．E，F(xiàn)分別是上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；

（3）實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心O北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，當時，兩艦艇之間的距離是多少海里，寫出推理過程．

十一、單選題35．如圖，已知五邊形中，，，則五邊形的面積為（

）A．8 B．16 C．12 D．10十二、解答題36．如圖，已知，，，．求證：．（提示：連接、、）37．如圖所示，，與交于點O．試說明：．38．方法探索數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．(1)嘉嘉同學經(jīng)過思考、探究發(fā)現(xiàn)可以添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．延長到點E，使，連接．可以判定，得出，這樣就能把線段、集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍，請你根據(jù)嘉嘉的思路寫出完整解答過程問題解決(2)由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2，在中，點D、E在上，且，過E作與相交于點F，且．求證：平分．39．【綜合與實踐題】【問題情境】補短法在解決線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用，具體的做法是將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題．例：如圖①，在四邊形中，，E是的中點，平分，試判斷，，之間的等量關(guān)系．小穎的方法：如圖②，延長、的相交于點F，構(gòu)造和等腰三角形即可判斷．【問題解決】（1）按照小穎的方法，判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由．【自主探究】（2）如圖③，在中，D是的中點，點E在上，連接交于點F，，試說明：．【拓展延伸】（3）如圖④，在四邊形中，，，，點F在上且滿足，，求的長．40．在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．【問題解決】（1）如圖1，是的中線，且，延長至點E，使，連接，可證得，其中判定全等的依據(jù)為：．【問題應用】（2）如圖2，是的中線，點E在的延長線上，平分，，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．【拓展延伸】（3）如圖3，是的中線，，，，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以說明．41．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學活動課上，馬老師提出了如下問題：如圖1，在中，，．是的中線，求的取值范圍．【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________；方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是________．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補，連接、，E是的中點，試說明：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點F，，，則的面積是________．42．如圖，在中，，外角的平分線與外角的平分線相交于點P，延長交的延長線于點D，延長交延長線于點E．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．43．如圖，已知，的平分線與的平分線相交于點E，的連線交于點D，求證：．44．如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．

45．（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．十三、單選題46．如圖，在中，，E是上一點，，于點D，若．則的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．747．如圖，在中，，點C的坐標為，點A的坐標為，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．48．如圖，直線m，n，l分別經(jīng)過正方形的頂點A、B、C，且，直線n與交于點E，若m與n之間的距離是3，n與l之間的距離是4，則的值為（

）

A． B． C． D．十四、填空題49．如圖，中，，，為平面上一點，，若，則的面積為．50．如圖，在中，，，，AD平分交BC于點D，過點D作交AB于點E，點P是DE上的動點，點Q是BD上的動點，則的最小值為．51．如圖，已知四邊形的對角互補，且，，．過頂點作于，則的值為．十五、解答題52．在中，，點在的內(nèi)部，，．(1)如圖1，線段的延長線交于點，且，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，點在線段的延長線上，連接交射線于點，且為的中點，求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第14章全等三角形（2）——考點考題點點通》參考答案題號67815161725262728答案DBCDADBBBB題號35464748答案BDDA1．16【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，連接，由平角的定義可得，則，證明得到，則，根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，且點B、C、E在同一條直線上．∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴的最小值為16，即的最小值為16，故答案為：16．2．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由全等三角形的判定方法可證明即可解答問題．【詳解】證明：點為的中點，在和中，，，，．3．(1)見詳解(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線和外角關(guān)系，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明即可求證；（2）利用全等三角形的性質(zhì)、角平分線和外角關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，；（2）解：，，，由（1）知，，平分，，∵，．4．小明的結(jié)論正確，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，證明即可解答．【詳解】解：小明的結(jié)論正確，理由如下：由題意得，．，．在與中，，，，即，小明的結(jié)論正確．5．(1)，，(2)三角形可以看作向右平移5個單位得到(3)存在，或(4)當時，點的坐標為；當時，點的坐標為【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，平面直角坐標系，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應用．（1）由平移的性質(zhì)得，而點的坐標，即可求解坐標；由題意得，，，求出，此時點在上，即可求解；再由求解面積；（2）證明，由（1）知，則三角形可以看作向右平移5個單位得到；（3）由，求出，再由或求出，即可求出時間，進而可求出坐標；（4）當點在上運動時，當點在上運動時，分別表示出點的坐標即可作答．【詳解】（1）解：點的坐標是，點的坐標為，由平移的性質(zhì)得，點的坐標，；由題意得，，，點的運動速度為每秒2個單位長度，出發(fā)3秒時，運動的距離為6個單位長度，此時點在上，且，∴點的坐標為，∵，∴故答案為：，，；（2）解：∵線段沿x軸向右平移得到線段，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵由（1）知∴三角形可以看作向右平移5個單位得到；（3）解：存在，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；或，解得：，∴綜上：或；（4）解：當點在上運動時，即時，，點的坐標為；當點在上運動時，即時，，點的坐標為，綜上，當時，點的坐標為；當時，點的坐標為．6．D【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)圖形分析利用手拉手模型解決是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件，分析和，易得，證明A，得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明B、C．【詳解】解：在和中，，，故選項A不符合題意；∴，∴，即，∵、，∴，故選項B不符合題意；∴，∴，即，故選項C不符合題意；無法證明，故選項D符合題意；故選：D7．B【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意證明，再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求得；【詳解】解：在和中，，，，，，；故選：B．8．C【分析】先證明與全等，再證明與全等即可判斷．【詳解】解：在與中，，∴，故③正確；∴，在與中，，∴，∴，，∴，故①②正確；四邊形的面積，故④錯誤；故選：C．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等和利用證明與全等．9．/75度【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．先證明，然后利用即可證得得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：∵，∴，即，∵在和中，，∴，∴．∵，∴，∴，故答案為：．10．①②④【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，可證明得到，則可證明，進一步可證明，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，據(jù)此可得答案．【詳解】解：在與中，，∴，∴，故②正確，∴，即，故①正確；∵，∴，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，故③錯誤；故答案為：①②④．11．①②③④【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．證明，由全等三角形的性質(zhì)可推出，證明，由全等三角形的性質(zhì)可推出．，，則可得出答案．【詳解】解：①∵為角平分線，∴，∵于點D，于點E，∴°，∵，∴，∴．故①正確；②∵，∴，，∴，∵，∴，∴．故②正確；③∵，∴，故③正確；④∵，∴，故④正確．故答案為：①②③④．12．【分析】本題考查了全等三角形的應用，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，（），，，，故A，B兩點間的距離為．13．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用公共邊，結(jié)合證明即可．（2）利用證明即可得到結(jié)論．本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴．（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．14．(1)見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的意義，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．（1）先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論成立；（2）①先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，從而可證得，再根據(jù)等邊對等角證得，進而求得；②先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，從而可得結(jié)論成立．【詳解】解：（1）證明：，．平分，．又，，．（2）①如圖，在上截取，連接．平分，，∵，，．，∴，，，．．②證明：如圖，連接，在和中，，．，，，．15．D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．利用可證明，從而得到，，再利用三角形外角性質(zhì)及鄰補角即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，在與中，，，，，∴在中，由三角形性質(zhì)得：，∴，故選：D．16．A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記對應性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件可知三角形的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知邊相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出角的大?。驹斀狻拷猓海?，，在和中，，，，故①正確；，，，，，，，，，故②錯誤；故選：A．17．D【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明得到，進而求得壁虎所走的路程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，又∴，∴，∵，，∴，∴壁虎爬到點所用的時間為，故選：D．18．【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的對角線，相交于點E，得到，，，，證明，得到，,繼而得到，解答即可．【詳解】解：如答圖，連接．邊長為的正方形的中心與正方形的頂點重合，即點是正方形的中心，，∴．又，，．在和中，，，，，．故答案為：．19．/140度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.設相交于點,可證明,得到,繼而得到,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到,當時即可得到.【詳解】解：如圖，設相交于點,,,,,,,,,,當時,,故答案為：；.20．/【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對的圓周角相等，圓中最長的弦相關(guān)問題，解直角三角形，掌握了以上知識是解答本題的關(guān)鍵；本題先證明，得出、、、四點共圓，進而作的外接圓，當為直徑時，取得最大值，即可求解．【詳解】解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴、、、四點共圓，如圖：作的外接圓，當為直徑時，取得最大值，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，故答案為：．21．/150度/【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明，得到，根據(jù)，證明是以為直角的直角三角形，即可求出的度數(shù)；過點A作，交延長線于點，過點P作，垂足為，利用直角三角形的性質(zhì)求出，進而求出，，利用等邊三角的性質(zhì)求出，利用即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴是以為直角的直角三角形，∴；過點A作，交延長線于點，過點P作，垂足為，∵，是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理判斷為直角三角形．22．(1)，(2)成立，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度，進而推出與的位置關(guān)系；（2）同（1）即可解答．【詳解】（1）解：，，即，在和中，∵，，，，在中，，，在中，，．（2）解：成立；理由如下：，，即，在和中，，，，，在中，，，在中，，．23．（1），理由見解析；（2）；（3）見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明即可得；（2）設與的交點為Q，由可得，又由于，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得；（3）根據(jù)證明，則可得，，進而可得，則可得．【詳解】解：（1），理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）設與的交點為Q．∵，∴，在和中，，，∴，∵，∴，∴，（3）證明：∵，∴，，∵M，N分別為，的中點，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，即，∴，即∴．24．(1)，，理由見解析(2)沒有發(fā)生變化(3)①，②能，【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型，是解題的關(guān)鍵：（1）延長交于點F，證明，得到，，推出，即可得出結(jié)論；（2）證明，得到，，推出，即可得出結(jié)論；（3）同法，證明，得到，進而求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：，．理由：延長交于點F，如圖在和中，．，．，．，．，．（2）由題意得，．．在和中，．，．，．，．，．與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化．（3）①，理由見②．②能，與所成的較小的角的度數(shù)為．和是等邊三角形，，，，．．．在和中，．．．即與所成的較小的角的度數(shù)為．25．B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，余角性質(zhì)，由已知可得，進而由余角性質(zhì)得到，即可得到，得到，，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，．，，在和中，，∴，，，，故選：．26．B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形，過點作軸于，由“”可證，可得，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸于，點，點，，，，，，在和中，，，，，，即頂點到軸的距離為．故選：B．27．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，三角形的面積公式等知識點，由,得,因為,所以,而,即可證明,得,可求得,于是得到問題的答案，證明出是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：,,,,在和中，,,,,,,故選：．28．B【分析】本題重點考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，由于點E，于點F，證明，則，可判斷①正確；再證明，得，，由，可判斷③正確，由，，推導出，可判斷②錯誤；于是得到問題的答案．【詳解】解：于點E，于點F，，，，故①正確；，，在和中，，，，，，，故③正確，，，，故②錯誤；故選：B．29．（1）①；②，見解析；（2）4【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，需熟練掌握角角邊的證明方法，由角角邊的證明方法證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)角角邊的證明方法即可證明≌；②根據(jù)角角邊的證明方法證明與全等，由此得到，即可得證；（2）根據(jù)角角邊的證明方法證明與全等，由此可得，再由邊角邊的證明方法證明與全等，由此可得，即可求解三角形的面積．【詳解】（1）①解：∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴在與中，，∴≌；故答案為：；②解：，理由如下：直線l，直線，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）解：分別過、兩點作直線的垂線，垂足分別為A、，直線l，直線，，，，在和中，由，，，直線，，即，，，即，，，，在和中，由，，，，．即的面積是4．30．（1）；（2）不成立，；（3）或或【分析】本題圍繞“一線三等角”模型，考查全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）先根據(jù)等角的余角相等推出，再由證明，得，，進而可得結(jié)論；（2）由證明，得，，進而可得結(jié)論；（3）由以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置決定，故需要對E，D的位置分：①當E在上，D在上時；②當E在上，D在上時；③當E在上，D在上時；④當E到達A，D在上時，分別討論．【詳解】解：（1）∵，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，故答案為：；（2）結(jié)論不成立，理由如下：∵，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，，∴；（3）∵以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等，∴，分情況討論：①當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴；②當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴；③當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴（不符合，舍去）；④當E到達A，D在上時，即，，，∵，∴，∴．綜上所述，當或或時，以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．31．(1)(2)成立，見解析(3)9【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得可得出，證可得，可得；（2）同（1）證可得，可得出結(jié)論；（3）由，得到，得出，由證得，得出，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：∵，∴，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論成立，證明如下：∵，∴，在中，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，在和中，，∴，∴，設的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴，∵，∴．32．（1）；（2）成立，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）延長到點G，使，連接，可證明，則可證明，得到，，再證明，進而證明，則，據(jù)此可得結(jié)論；（2）延長到點G，使，連接，可證明，再同（1）證明即可．【詳解】解：（1）如圖所示，延長到點G，使，連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．∴，即，又∵，∴，∴，，．（2）如圖所示，延長到點G，使，連接，，，，在和中，，∴，，．，，，即，又，，，，．33．(1)，見解析(2)(3)16或【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的周長，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).（1）延長至點，使得，連接，證明，得出，，證明，得出；（2）在上截取，連接，證明，得出，，證明，得出；（3）分兩種情況，由（1）（2）的結(jié)論可得出答案．【詳解】（1）解：理由：延長至點，使得，連接，∵將沿著斜邊翻折得到，，，，，，，，，，故答案為：；（2）解：在上截取，連接，∵將沿著斜邊翻折得到，，∴，∴，∴，，，，，∵，∴，∴；故答案為：；（3）當點在線段上時，如圖，的周長為：；當點在線段的延長線上時，如圖，的周長為：，故答案為：或．34．（1），證明見詳解；（2）結(jié)論仍然成立，證明見詳解；（3）280海里【分析】本題考查的是三角形知識的綜合運用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、理解方位角的概念是解題的關(guān)鍵，注意規(guī)律的總結(jié)和運用．（1）延長到點．使．連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（2）延長到點．使．連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（3）連接，延長相交于點，然后與（2）同理可證．【詳解】解：（1），證明如下：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）結(jié)論仍然成立；理由：延長到點．使．連接，如圖2，

在和中，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，連接，延長相交于點，

，，又，符合探索延伸中的條件，結(jié)論成立，即海里，答：此時兩艦艇之間的距離是280海里．35．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計算．可延長至F，使，利用可證明，連接，再利用證明，可將五邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個的面積，進而求解即可．【詳解】解：延長至F，使，連接，在與中，，∴，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴五邊形的面積是：．故選：B．36．見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，連接、、，證明得到，再證明得到，據(jù)此可證明．【詳解】證明：如圖所示，連接、、，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．37．見解析【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)．連接，利用證明，即可求證．【詳解】解：連接．如圖．在和中．，∴∴．（全等三角形對應角相等）．38．(1)見解析(2)見解析【分析】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運用類比的方法解決問題．（1）延長到點E，使，連接．可以判定，得出，這樣就能把線段、集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍，（2）延長到點M，使，連接．證明，得出，得出，由可得，從而可得，故可得平分．【詳解】（1）解：是的中點，，在和中，，，，在中，，即，中線的取值范圍是：；（2）證明：延長到點M，使，連接．在與中，，，，，，，，，，即平分．39．（1），見解析；（2）見解析；（3）3.4【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）延長、相交于點F，證明和全等得，再根據(jù)平分得，則，由此可得出，，之間的等量關(guān)系；（2）延長至點H，使，連接，證明和全等得，，再根據(jù)，得，進而得，由此即可得出結(jié)論；（3）過點延長、相交于點，根據(jù)三角形面積公式及得，證明和全等得，則，再根據(jù)，得，進而可得答案．【詳解】解：（1），，之間的等量關(guān)系是：，理由如下：如圖，延長、相交于點F，，，，是的中點，，在和中，，，，平分，，，，，；（2）延長至點H，使，連接，是的中點，，在和中，，，，，，，，（對頂角相等），，，；（3）延長、相交于點，，，，，，在和中，，，，，，，，因此，的長為3.4．40．（1）（2），證明見解析（3），，證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中線的定義得，進而可依據(jù)“”判定和全等，由此即可得出答案；（2）延長到F，使，連接，則，同（1）證明和全等得，再依據(jù)“”判定和全等得，由此即可得出線段與的數(shù)量關(guān)系；（3）過點C作于點H，證明和全等得，，則，證明，進而依據(jù)“”判定和全等得，，據(jù)此即可得出線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【詳解】解：（1）∵是的中線，∴，在和中，，∴，故答案為：；（2）線段與的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：延長到F，使，連接，如圖所示：則，同（1）證明：，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）線段與的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：，理由如下：過點C作于點H，如圖所示：∴，∵，∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∴，．41．（1）；（2）②④；（3）見解析；（4）【分析】（1）由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，，即可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（4）由全等三角形的性質(zhì)可得，，，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，延長至點，使．在和中，，，，，，，；（2）解：如圖2，延長至，使，連接，是中線，，又，，，，，，，，為中線，，，，又，，，，，∴正確選項的序號是：②④；（3）證明：如圖3，延長至，使，連接，是的中點，，又，，，，，，，與互補，，，又，，，，；（4），，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中點的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．42．(1)(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)平角定義求得，再根據(jù)角平分線的定義推導，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）在上截取，連接，先證明得到，，再證明，，進而證明得到，然后由可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵外角的平分線與外角的平分線相交于點P，∴，，∴，∴；（2）證明：在上截取，連接，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．43．證明見解析【分析】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計算，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，添加適當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，連接，由平分可得，利用可證得，于是可得，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得，結(jié)合，進而可得，由平分可得，利用可證得，于是可得，然后利用等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，在上截取，連接，平分，，又，，，，，，，平分，，，，，．44．見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及全等二角形的性質(zhì)的運用，解答時運用截取法正確作輔助線是解決本題關(guān)鍵所在．在上取點，使，連接，由角平分線的性質(zhì)可以得出，，從而可以得出，可以得出，進而可以得出，就可以得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在上取點F，使，連接，

∵，分別是，的平分線，∴，，∵，∴，在和中∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴．45．（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長到，使，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：在上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；方法：延長到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進而即可