2025年大學(xué)《天文學(xué)》專業(yè)題庫——天文學(xué)中的數(shù)學(xué)建模與計(jì)算方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.簡(jiǎn)述開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式及其在天體力學(xué)中的意義。2.解釋什么是數(shù)值解法，并說明在求解天體運(yùn)動(dòng)的微分方程時(shí)為何常常需要使用數(shù)值解法而不是解析解法。3.概述線性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算在天文數(shù)據(jù)處理（如坐標(biāo)變換、圖像處理）中的作用。二、1.設(shè)一顆彗星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其近日點(diǎn)距離為$r_p$，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為$r_a$。試?yán)瞄_普勒第三定律，推導(dǎo)其軌道半長(zhǎng)軸$a$和軌道周期$T$的表達(dá)式，并說明推導(dǎo)過程中用到的關(guān)鍵物理定律或數(shù)學(xué)關(guān)系。2.在天體物理中，常使用泰勒級(jí)數(shù)近似描述某些在特定點(diǎn)附近變化緩慢的函數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1-x}$，其在$x=0$附近的泰勒展開式為$f(x)\approx1+x+x^2+x^3+\cdots$。假設(shè)某天體受到的微弱擾動(dòng)使其偏離平衡位置，其勢(shì)能$U(r)$可近似表示為$U(r)\approxU(0)+\frac{1}{2}k(r-r_0)^2$，其中$k$為力常數(shù)。請(qǐng)解釋該勢(shì)能表達(dá)式如何反映了天體所受的恢復(fù)力，并說明其與簡(jiǎn)諧振子勢(shì)能表達(dá)式的聯(lián)系。3.天文觀測(cè)數(shù)據(jù)常受到各種噪聲的影響。簡(jiǎn)述均方根誤差（RootMeanSquareError,RMSE）的概念及其在天文數(shù)據(jù)擬合中評(píng)估模型優(yōu)劣的作用。三、1.考慮一維熱傳導(dǎo)問題$\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$，其中$u(x,t)$表示位置$x$處時(shí)間$t$的溫度，$\alpha$為熱擴(kuò)散系數(shù)。假設(shè)初始溫度分布為$u(x,0)=f(x)$，邊界條件為$u(0,t)=u(L,t)=0$。請(qǐng)描述使用有限差分法離散該方程的基本思路，并給出時(shí)間步長(zhǎng)$\Deltat$和空間步長(zhǎng)$\Deltax$需要滿足的穩(wěn)定性條件（CFL條件）。2.在天體動(dòng)力學(xué)模擬中，常常需要計(jì)算兩個(gè)相互吸引的天體之間的引力。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)引力問題，可以使用數(shù)值積分方法（如歐拉法或辛普森法則）來計(jì)算在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)天體間的相對(duì)位移。設(shè)兩個(gè)天體質(zhì)量分別為$m_1$和$m_2$，初始位置為$\mathbf{r}_1(t)$和$\mathbf{r}_2(t)$，初始速度為$\mathbf{v}_1(t)$和$\mathbf{v}_2(t)$，引力常數(shù)為$G$。請(qǐng)寫出使用歐拉法更新兩個(gè)天體位置和速度的基本公式。3.假設(shè)你獲得了一組測(cè)量某恒星亮度的數(shù)據(jù)點(diǎn)$(t_i,I_i)$，$i=1,2,\dots,N$。請(qǐng)描述如何使用最小二乘法擬合一條線性模型$I(t)=I_0+I_1t$來描述該恒星的亮度隨時(shí)間的變化，并寫出計(jì)算擬合參數(shù)$I_0$和$I_1$的公式。四、1.設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來描述一個(gè)單星系統(tǒng)的總能量。該模型應(yīng)包含天體的質(zhì)量、軌道半長(zhǎng)軸以及萬有引力常數(shù)。請(qǐng)寫出該模型的總能量表達(dá)式，并解釋式中各項(xiàng)的物理意義。2.蒙特卡洛方法在天文學(xué)中可用于模擬隨機(jī)過程或估計(jì)復(fù)雜事件的概率。例如，可以用來估計(jì)球狀星團(tuán)中隨機(jī)選取兩個(gè)恒星距離小于某個(gè)閾值的概率。請(qǐng)簡(jiǎn)述使用蒙特卡洛方法解決該問題的基本步驟，包括如何生成隨機(jī)樣本以及如何利用樣本計(jì)算所需概率。3.天文數(shù)據(jù)常常需要進(jìn)行平滑處理以去除噪聲。請(qǐng)比較兩種常見的平滑方法：算術(shù)平均法和移動(dòng)平均法。簡(jiǎn)要說明各自的原理、優(yōu)缺點(diǎn)以及它們?cè)谔幚聿煌愋蛿?shù)據(jù)時(shí)的適用性。試卷答案一、1.開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$，其中$T$是軌道周期，$a$是軌道半長(zhǎng)軸，$G$是萬有引力常數(shù)，$M$是中心天體（如太陽）的質(zhì)量。該定律表明所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道周期平方與其軌道半長(zhǎng)軸立方之比都相等，它揭示了行星軌道大小與公轉(zhuǎn)周期之間的關(guān)系，是牛頓萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的具體體現(xiàn)。2.數(shù)值解法是指使用計(jì)算方法近似求解無法得到精確解析解的數(shù)學(xué)問題（如微分方程）的方法。天體運(yùn)動(dòng)的微分方程通常是高度非線性的，難以找到封閉形式的解析解。數(shù)值解法通過將連續(xù)問題離散化（如時(shí)間離散化、空間離散化），逐步計(jì)算解在每個(gè)離散點(diǎn)上的近似值，從而得到解的近似圖像或數(shù)值序列。這使得我們能夠處理復(fù)雜的天體力學(xué)問題，如非圓軌道、攝動(dòng)效應(yīng)等。3.矩陣運(yùn)算在天文數(shù)據(jù)處理中作用廣泛。例如，利用旋轉(zhuǎn)矩陣可以將天體坐標(biāo)從一個(gè)坐標(biāo)系（如地心慣性坐標(biāo)系）轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系（如天球坐標(biāo)系）；利用矩陣可以表示線性觀測(cè)方程組，通過求解線性方程組得到未知參數(shù)（如天體位置、速度）；在圖像處理中，卷積矩陣可以用于圖像模糊、銳化等操作；矩陣運(yùn)算也是處理多體問題（如恒星集群動(dòng)力學(xué)）和計(jì)算光線追跡（如引力透鏡）的基礎(chǔ)。二、1.根據(jù)開普勒第三定律，對(duì)任意兩顆相互繞轉(zhuǎn)的天體（設(shè)質(zhì)量分別為$m$和$M$，軌道半長(zhǎng)軸為$a$，周期為$T$），有$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$。對(duì)于繞太陽運(yùn)行的單星系統(tǒng)，$M$代表太陽質(zhì)量$M_\odot$，$m$代表行星質(zhì)量（通常遠(yuǎn)小于太陽質(zhì)量，可忽略），則$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM_\odot}$。軌道半長(zhǎng)軸$a$定義為近日點(diǎn)距離$r_p$和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離$r_a$的平均值，即$a=\frac{r_p+r_a}{2}$。將$a$代入開普勒第三定律，得到$\frac{T^2}{(\frac{r_p+r_a}{2})^3}=\frac{4\pi^2}{GM_\odot}$。推導(dǎo)的關(guān)鍵在于開普勒第三定律本身，以及橢圓軌道幾何性質(zhì)（半長(zhǎng)軸是長(zhǎng)短軸之和的一半）。這個(gè)關(guān)系式表明了行星軌道大小與其公轉(zhuǎn)周期的確定關(guān)系。2.泰勒級(jí)數(shù)是將一個(gè)足夠光滑的函數(shù)在某一點(diǎn)附近用無限項(xiàng)多項(xiàng)式之和來近似表達(dá)。對(duì)于$f(x)=\frac{1}{1-x}$，其在$x=0$處的泰勒展開式為$f(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots$。在天體物理中，若一個(gè)物理量$u$是另一個(gè)變量（如偏離平衡位置的量$x$）的函數(shù)$u(x)$，且$x$的值足夠小，則可以用$u(0)+u'(0)x+\frac{1}{2}u''(0)x^2+\cdots$來近似$u(x)$。例如，勢(shì)能$U(r)\approxU(0)+\frac{1}{2}k(r-r_0)^2$表示當(dāng)天體偏離平衡位置$r_0$不遠(yuǎn)時(shí)，其勢(shì)能變化可以用一個(gè)二次項(xiàng)來近似。根據(jù)力是勢(shì)能的負(fù)梯度，$\frac{\partialU}{\partialr}\approxk(r-r_0)$，對(duì)應(yīng)的力$\mathbf{F}\approx-k(r-r_0)\hat{r}$是一個(gè)恢復(fù)力，將天體拉回平衡位置，類似于簡(jiǎn)諧振子的力$F=-kx$。3.均方根誤差（RMSE）是衡量觀測(cè)值與模型預(yù)測(cè)值之間差異的一種統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式為$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(O_i-P_i)^2}$，其中$O_i$是第$i$個(gè)觀測(cè)值，$P_i$是第$i$個(gè)預(yù)測(cè)值，$N$是觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。RMSE的大小反映了模型預(yù)測(cè)的平均偏離程度，RMSE越小，說明模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)越吻合，模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度越好。在天文數(shù)據(jù)擬合中，通過比較不同模型的RMSE，可以選擇擬合效果最好的模型。三、1.有限差分法通過將連續(xù)的微分方程離散化到網(wǎng)格點(diǎn)（時(shí)間和空間點(diǎn)）上，用差商近似代替微商，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程$\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$，在點(diǎn)$(x_i,t_n)$處，時(shí)間步長(zhǎng)為$\Deltat$，空間步長(zhǎng)為$\Deltax$，可以使用中心差分格式近似時(shí)間導(dǎo)數(shù)和空間二階導(dǎo)數(shù)：$\frac{u(x_i,t_{n+1})-u(x_i,t_n)}{\Deltat}\approx\frac{\partialu}{\partialt}$，$\frac{u(x_{i+1},t_n)-2u(x_i,t_n)+u(x_{i-1},t_n)}{(\Deltax)^2}\approx\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$。代入原方程，得到$u(x_i,t_{n+1})\approxu(x_i,t_n)+\alpha\Deltat\frac{u(x_{i+1},t_n)-2u(x_i,t_n)+u(x_{i-1},t_n)}{(\Deltax)^2}$。該方法的穩(wěn)定性通常由Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)條件保證，對(duì)于一維熱傳導(dǎo)方程，CFL條件要求$\alpha\Deltat/(\Deltax)^2\leq\frac{1}{2}$。滿足此條件時(shí)，數(shù)值解才會(huì)穩(wěn)定收斂。2.使用歐拉法求解質(zhì)點(diǎn)引力問題，首先根據(jù)牛頓萬有引力定律計(jì)算引力大小$F=G\frac{m_1m_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^2}$，方向沿$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$的方向。設(shè)$\mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$，則$\mathbf{F}=G\frac{m_1m_2}{|\mathbf{r}_{12}|^3}\mathbf{r}_{12}$。作用在質(zhì)量為$m_1$的天體上的加速度為$\mathbf{a}_1=\frac{\mathbf{F}}{m_1}=G\frac{m_2}{|\mathbf{r}_{12}|^3}\mathbf{r}_{12}$。作用在質(zhì)量為$m_2$的天體上的加速度為$\mathbf{a}_2=-\mathbf{F}/m_2=-G\frac{m_1}{|\mathbf{r}_{12}|^3}\mathbf{r}_{12}$。在極小時(shí)間步長(zhǎng)$\Deltat$內(nèi)，速度和位置的變化近似為$\Delta\mathbf{v}_1\approx\mathbf{a}_1\Deltat$，$\Delta\mathbf{v}_2\approx\mathbf{a}_2\Deltat$，$\Delta\mathbf{r}_1\approx\mathbf{v}_1\Deltat$，$\Delta\mathbf{r}_2\approx\mathbf{v}_2\Deltat$。因此，更新公式為：$\mathbf{v}_1(t+\Deltat)\approx\mathbf{v}_1(t)+\mathbf{a}_1(t)\Deltat$，$\mathbf{v}_2(t+\Deltat)\approx\mathbf{v}_2(t)-\mathbf{a}_2(t)\Deltat$，$\mathbf{r}_1(t+\Deltat)\approx\mathbf{r}_1(t)+\mathbf{v}_1(t)\Deltat$，$\mathbf{r}_2(t+\Deltat)\approx\mathbf{r}_2(t)+\mathbf{v}_2(t)\Deltat$。3.使用最小二乘法擬合線性模型$I(t)=I_0+I_1t$，目標(biāo)是找到參數(shù)$I_0$和$I_1$使得模型預(yù)測(cè)值$I_0+I_1t_i$與觀測(cè)值$I_i$之間的殘差平方和$\sum_{i=1}^N(I_i-(I_0+I_1t_i))^2$最小。為此，分別對(duì)$I_0$和$I_1$求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零：$\frac{\partial}{\partialI_0}\sum(I_i-I_0-I_1t_i)^2=-2\sum(I_i-I_0-I_1t_i)=0$，$\frac{\partial}{\partialI_1}\sum(I_i-I_0-I_1t_i)^2=-2\sumt_i(I_i-I_0-I_1t_i)=0$。整理得到正規(guī)方程組：$NI_0+I_1\sumt_i=\sumI_i$，$I_0\sumt_i+I_1\sumt_i^2=\sumt_iI_i$。解此方程組，得到參數(shù)估計(jì)值：$I_1=\frac{N\sumt_iI_i-\sumI_i\sumt_i}{N\sumt_i^2-(\sumt_i)^2}$，$I_0=\frac{\sumI_i\sumt_i^2-\sumt_i\sumt_iI_i}{N\sumt_i^2-(\sumt_i)^2}$。其中，$\sumt_i^2-\frac{(\sumt_i)^2}{N}$是數(shù)據(jù)點(diǎn)$t_i$的方差。四、1.單星系統(tǒng)的總能量（機(jī)械能）是動(dòng)能與引力勢(shì)能之和。設(shè)天體質(zhì)量為$m$，軌道半長(zhǎng)軸為$a$，角動(dòng)量為$\mathbf{L}$。軌道速度$v=\sqrt{\frac{GM}{a}}$（對(duì)于圓軌道），動(dòng)能$T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\frac{GM}{a}=\frac{GMm}{2a}$。引力勢(shì)能$U=-\frac{GMm}{a}$（以無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零）。因此，總能量$E=T+U=\frac{GMm}{2a}-\frac{GMm}{a}=-\frac{GMm}{2a}$。該表達(dá)式表明，對(duì)于孤立的單星系統(tǒng)，其總能量是一個(gè)常數(shù)，且總是負(fù)值，取決于天體質(zhì)量$m$和軌道半長(zhǎng)軸$a$。其中，$\frac{GMm}{a}$是天體在軌道上的引力勢(shì)能，$\frac{GMm}{2a}$是其相對(duì)于無限遠(yuǎn)處勢(shì)能的動(dòng)能平均值。2.使用蒙特卡洛方法估計(jì)球狀星團(tuán)中隨機(jī)選取兩個(gè)恒星距離小于閾值的概率，步驟如下：*生成隨機(jī)樣本：在代表星團(tuán)密度的空間體積內(nèi)，隨機(jī)生成大量代表恒星位置的樣本點(diǎn)$\{\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N\}$。樣本點(diǎn)的生成需要依據(jù)星團(tuán)的實(shí)際密度分布（例如，使用高斯分布或更復(fù)雜的分布函數(shù)）。*計(jì)算距離：對(duì)于每一對(duì)隨機(jī)生成的樣本點(diǎn)$(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j)$，計(jì)算它們之間的距離$d_{ij}=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|$。*統(tǒng)計(jì)事件：判斷距離$d_{ij}$是否小于預(yù)設(shè)閾值$D_{\text{閾}}$。統(tǒng)計(jì)滿足$d_{ij}<D_{\text{閾}}