2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——向量空間與線(xiàn)性變換理論研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間，V中的任意向量都可以唯一地表示為V的一個(gè)基的線(xiàn)性組合，該表示式中系數(shù)的全體組成的有序數(shù)組稱(chēng)為該向量的__________。2.設(shè)T是向量空間V上的一個(gè)線(xiàn)性變換，T的核T?1({0})稱(chēng)為T(mén)的__________，T(V)稱(chēng)為T(mén)的__________。3.設(shè)A是n階方陣，V=R?，T是V上的線(xiàn)性變換，T的矩陣為A，則T是可逆變換的充要條件是矩陣A的行列式|A|__________。4.設(shè)V?和V?是向量空間V的兩個(gè)子空間，則V?∩V?也是V的一個(gè)子空間。若V?⊕V?=V，則稱(chēng)V?和V?是V的一個(gè)__________分解。5.設(shè)A是n階矩陣，λ?是A的一個(gè)特征值，則齊次線(xiàn)性方程組(λ?I-A)x=0的基礎(chǔ)解系的全體稱(chēng)為A的屬于特征值λ?的__________。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列集合中，不構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上向量空間的是（）。A.所有以R為定義域，實(shí)數(shù)為值域的連續(xù)函數(shù)組成的集合。B.所有次數(shù)小于n（n為正整數(shù)）的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的集合，加法和數(shù)乘按多項(xiàng)式運(yùn)算進(jìn)行。C.平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的所有向量組成的集合。D.所有以R為定義域，實(shí)數(shù)為值域的分段常數(shù)函數(shù)組成的集合。2.設(shè)V是n維向量空間，α?,α?,...,α?是V的一個(gè)基，則V中任意向量β可以用這個(gè)基線(xiàn)性表示的唯一性等價(jià)于（）。A.α?,α?,...,α?線(xiàn)性無(wú)關(guān)。B.α?,α?,...,α?的個(gè)數(shù)等于n。C.對(duì)任意β∈V，存在唯一的一組數(shù)a?,a?,...,a?使得β=a?α?+a?α?+...+a?α?。D.α?,α?,...,α?生成的向量空間等于V。3.設(shè)T是n維向量空間V上的線(xiàn)性變換，T的核T?1({0})的維數(shù)稱(chēng)為T(mén)的__________。A.秩B.零度C.維數(shù)D.慣性指數(shù)4.設(shè)A是n階矩陣，V=R?，線(xiàn)性變換T的矩陣為A，則T是可逆變換的充要條件是（）。A.A的行列式|A|≠0。B.A的特征值都不為0。C.A是對(duì)角矩陣。D.A的秩為n。5.設(shè)T是n維向量空間V上的線(xiàn)性變換，λ?,λ?是T的互異特征值，α?,α?是分別屬于特征值λ?,λ?的特征向量，則（）。A.α?,α?線(xiàn)性相關(guān)。B.對(duì)任意k?,k?∈R，k?α?+k?α?都不是T的特征向量。C.α?,α?線(xiàn)性無(wú)關(guān)。D.存在線(xiàn)性變換S，使得S2=T。三、判斷題（每題3分，共15分，正確的劃√，錯(cuò)誤的劃×）1.任何向量空間都至少有兩個(gè)基。（）2.如果向量空間V的維數(shù)為n，那么V中任意n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成V的一個(gè)基。（）3.設(shè)T是向量空間V上的線(xiàn)性變換，若α∈ker(T)，則對(duì)任意β∈V，有T(α+β)=β。（）4.設(shè)A是n階可逆矩陣，V=R?，T是V上的線(xiàn)性變換，T的矩陣為A，則T是可逆變換，且T?1的矩陣為A?1。（）5.設(shè)T是n維向量空間V上的線(xiàn)性變換，若T在某個(gè)基下的矩陣為對(duì)角矩陣，則T是可對(duì)角化的。（）四、計(jì)算題（共20分）1.（10分）設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上所有2階反對(duì)稱(chēng)矩陣組成的集合，驗(yàn)證V對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成R上的一個(gè)向量空間。并求V的一個(gè)基及維數(shù)。2.（10分）設(shè)R3的線(xiàn)性變換T由下式給出：T(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x)，求T在基ε?=(1,0,0),ε?=(0,1,0),ε?=(0,0,1)下的矩陣表示。五、證明題（共50分）1.（15分）設(shè)T是n維向量空間V上的線(xiàn)性變換，證明：如果α?,α?,...,α?是V的一個(gè)基，且T(α?),T(α?),...,T(α?)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則T是單射。2.（15分）設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：A的特征值都是實(shí)數(shù)。3.（20分）設(shè)V是n維向量空間，T是V上的線(xiàn)性變換。證明：T是可逆變換當(dāng)且僅當(dāng)T的核T?1({0})和像T(V)的維數(shù)之和等于n（即rank(T)+nullity(T)=n）。---試卷答案一、填空題1.坐標(biāo)2.核；像3.不等于04.直和5.特征子空間二、選擇題1.D2.C3.B4.A5.C三、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√四、計(jì)算題1.解析思路：*驗(yàn)證構(gòu)成向量空間：需驗(yàn)證V對(duì)加法和數(shù)乘封閉，以及滿(mǎn)足八條運(yùn)算律（這些律由實(shí)數(shù)域R的運(yùn)算律和矩陣運(yùn)算律保證，關(guān)鍵看V是否非空及封閉性）。V非空（零矩陣在V中），任取A,B∈V（A,B為反對(duì)稱(chēng)矩陣），k∈R，驗(yàn)證(A+B)的每一項(xiàng)和kA的每一項(xiàng)是否仍為0（即是否為反對(duì)稱(chēng)矩陣）。*求基和維數(shù)：尋找V中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的生成集?？紤]最簡(jiǎn)單的反對(duì)稱(chēng)矩陣形式（如只有對(duì)角線(xiàn)上一半為0），嘗試構(gòu)造一組基，并通過(guò)線(xiàn)性無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)和生成性檢驗(yàn)來(lái)確定維數(shù)。例如，考慮形如(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)的矩陣，其中a,b,c為任意實(shí)數(shù)。要求這些矩陣之和仍為反對(duì)稱(chēng)矩陣，得到a+b=0,b+c=0,c+a=0，解得a=b=c=0，說(shuō)明這種形式不行。再考慮形如(0,c,-c),(c,0,-a),(-c,a,0)的矩陣，其中a,b,c為任意實(shí)數(shù)。驗(yàn)證任意兩個(gè)這樣矩陣的和仍是這種形式，且這組矩陣線(xiàn)性無(wú)關(guān)（可通過(guò)行列式或秩判斷），故它們生成V。這組矩陣包含3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量（視為3階反對(duì)稱(chēng)矩陣的空間），故維數(shù)為3，此組即為一個(gè)基。答案：（1）證明V對(duì)加法和數(shù)乘封閉（過(guò)程略）；（2）基可取{(0,1,-1),(1,0,-1),(-1,-1,0)}（或等價(jià)類(lèi)），維數(shù)為3。2.解析思路：*確定T(ε?),T(ε?),T(ε?)：直接將基向量代入T的變換規(guī)則。*表示為基的線(xiàn)性組合：將T(ε?),T(ε?),T(ε?)分別表示為ε?,ε?,ε?的線(xiàn)性組合，得到三個(gè)方程。*寫(xiě)出矩陣：將得到的線(xiàn)性組合的系數(shù)按列排成3階矩陣，即為T(mén)在給定基下的矩陣。答案：T(ε?)=(1,0,0)=1ε?+0ε?+0ε?；T(ε?)=(0,1,0)=0ε?+1ε?+0ε?；T(ε?)=(0,0,1)=0ε?+0ε?+1ε?。矩陣為[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]。五、證明題1.解析思路：*單射定義：需證明對(duì)任意α?,α?∈V，若T(α?)=T(α?)，則α?=α?。*利用條件：假設(shè)T(α?)=T(α?)，考慮T(α?)-T(α?)=T(α?+(-α?))=T(α?+β?)=T(β?)，其中β?=-α?。*利用T(α?),...,T(α?)線(xiàn)性無(wú)關(guān)：由T(α?+β?)=T(β?)，且T(α?),...,T(α?)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得到α?+β?是零向量（否則會(huì)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)矛盾），即α?=-β?=α?。*結(jié)論：T是單射。2.解析思路：*對(duì)角化思想：利用實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可正交對(duì)角化的性質(zhì)。設(shè)P是正交矩陣（列向量是單位正交向量），使得P?AP=Λ（對(duì)角矩陣），則x=P?APy，y=Pz（z為標(biāo)準(zhǔn)正交基），T(x)=T(Pz)=P??TPz=Py，且x?x=y?Λ?Py=y?Λy。T(x)?T(x)=y?Λ?Py=y?Λy=x?x，說(shuō)明T是自伴變換（對(duì)稱(chēng)變換）。*自伴變換特征值實(shí)數(shù)：利用自伴變換的定義(T(x))?=T(x)?=(Ax)?=A?x=ATx。若λ是T的特征值，α是非零特征向量，T(α)=λα，則(T(α))?=λ?α?=λα?，且(T(α))?=AT?α=ATα=AT(λα)=λATα=λ2α?。λ?α?=λ2α?，由α非零，α?非零，得λ?=λ2，即λ2-λ=0，λ(λ-1)=0，故λ為實(shí)數(shù)。3.解析思路：*必要性（rank(T)+nullity(T)=n）：應(yīng)用秩-零度定理，直接得到dim(V)=rank(T)+nullity(T)=n。*充分性（T可逆?rank(T)=n?rank(T)+nullity(T)=n）：假設(shè)T可逆?？赡孀儞Q保證其核中只有零向量（ker(T)={0}），其維數(shù)（nullity(T)）為0。同時(shí)，可逆變換保證其像等于整個(gè)空間V（T(V)=