專題1.4基本不等式及其應(yīng)用（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】...............................................................................................................................3

【題型2直接法求最值】...........................................................................................................................................4

【題型3配湊法求最值】...........................................................................................................................................6

【題型4常數(shù)代換法求最值】...................................................................................................................................7

【題型5消元法求最值】...........................................................................................................................................8

【題型6齊次化求最值】.........................................................................................................................................10

【題型7多次使用基本不等式求最值】.................................................................................................................11

【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】.........................................................................................................13

【題型9利用基本不等式解決實際問題】.............................................................................................................15

【題型10基本不等式與其他知識交匯】...............................................................................................................17

1、基本不等式及其應(yīng)用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的重

(1)了解基本不等式的推點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來

2022年I卷：第12題，5分

導(dǎo)過程看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考

2023年新高考I卷：第22題，

(2)會用基本不等式解決查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，

12分

最值問題應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、

2025年北京卷：第6題，4分

(3)理解基本不等式在實求最值和求取值范圍的問題；同時要注

2025年上海卷：第8題，5分

際問題中的應(yīng)用意基本不等式在立體幾何、平面解析幾

何等內(nèi)容中的運用.

知識點基本不等式

1.兩個不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”

時取“=”

基本不等式a＋b當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”

ab≤(a>0,b>0)

2時取“=”

a＋b

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．

2

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

2．基本不等式與最值

已知x，y都是正數(shù)，

(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2P；

1

(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2.

4

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取

等號的條件．

3．常見的求最值模型

nn

(1)模型一：mx2mn(m0,n0)，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立；

xm

nnn

(2)模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，當(dāng)且僅當(dāng)xa時等號成

xaxam

立；

x11c

(3)模型三：(a0,c0)，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立；

2c

axbxcaxb2acba

x

mx(nmx)1mxnmxn2nn

(4)模型四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時

mm24mm2m

等號成立.

4．利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為

，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常

數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】

【例1】（2025·北京·高考真題）已知，則（）

A．?>0,?>B．0

22111

?+?>2???+?≥??

C．D．

112

?+?>???+?≤??

【解題思路】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.

【解答過程】對于A,當(dāng)時，，故A錯誤；

22

對于BD，取?=，?此時?+?=2??，

111111

11

?=2,?=4?+?=2+4=6<2×4=8=??

，故BD錯誤；

1122

??11??

+=2+4=6>2×4=42=

對于C，由基本不等式可得，故C正確.

故選：C.?+?≥2??>??

【變式1-1】（2025·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“”是“”的（）

22

A．充要條件B．必要不充分條件?∈CR．充分?不+必?要≥條2件?D．+既?不≥充2分也不必要條件

【解題思路】由基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【解答過程】若，則成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，

2

22?+?

若，?不+妨?設(shè)≥2?+?，則≥2≥2不成立，?=?=1

22

所以?“+?≥2”是“?=?=?”的1充分不?+必?要≥條2件.

22

故選：?C+.?≥2?+?≥2

【變式1-2】（2025·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（）

A．?>0?B>．0?+?=1

1221

??≤4?+?≥2

C．D．

11

?+?+1>2?+?≤1

【解題思路】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.

【解答過程】因為，，且，

?>0?>0?+?=1

由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），A正確；

?+?21

??≤2=4?=?

由基本不等式知，則，

2222

?+??+?1?+?

2≤22≤2

即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），B正確；

221

?+?≥2?=?

由題得，

11112

2

?+?+1=1??+?+1=1??

由已知，故，所以，

2

22

0<?<11??∈0,11??>2

故，C正確；

11

?+?+1>2

由基本不等式可得，

?+??+?1

222

即（當(dāng)且僅≤當(dāng)=時取等號），D錯誤.

故選?：+D.?≤2?=?

【變式1-3】（2025·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示

圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，

設(shè)，，用該△圖?形??能證明的不等式為（）．

??=???=?

A．B．

?+?2??

2≥???>0,?>0?+?≤???>0,?>0

C．D．

22

?+??+?22

2≤2?>0,?>0?+?≥2???>0,?>0

【解題思路】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD

?+?

△?????=2??=???????△???

判斷.

【解答過程】解：由圖知：，

1?+??+????

??=2??=2,??=?????=2??=2

在中，，

22

22?+?

??△?????=??+??=2

所以，即，

22

?+??+?

故選：??C≤.??2≤2?>0,?>0

【題型2直接法求最值】

【例2】（24-25高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（）

1

?=3?+??>0

A．4B．5C．D．

【解題思路】利用基本不等式即可得解.3223

【解答過程】因為，

所以?>0，

11

?=3?+?≥23???=23

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.

13

3?=??=3

則的最小值是.

1

?=3?+??>023

故選：D.

【變式2-1】（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（）

1

?>0?+?

A．B．C．D．3

【解題思路?1】根據(jù)基本不等式1可求最小值.2

【解答過程】因為，所以，

11

?>0?+?≥2?×?=2

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

1

?=??=1

所以的最小值是.

1

?+?2

故選：C.

【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）若，則的最大值是（）

2

?>0?=(1??)8??

A．B．0C．1D．2

【解題思路?2】將式子利用多項式乘以多項式展開，再利用基本不等式求解即可.

【解答過程】因為，

所以?>0

22

?=(1??)8??=8???8?+2

2

=10?+8?

?

2

≤10?2×8?

?，

當(dāng)=且10僅?當(dāng)8=2，即時等號成立，

21

?=8??=2

所以的最大值為2，

2

?=(1??)8??

故選：D.

【變式】（河北保定二模）已知，是非零實數(shù)，則的最小值為（）

2-32025··xy22

?9?

22

?+?

A．6B．12C．2D．4

【解題思路】由基本不等式即可求解.

【解答過程】，

2222

?9??9?

2222

?+?≥2?×?=6

當(dāng)且僅當(dāng)，

22

?9?

22

即?=?，等號成立，

所以?=3?的最>小0值為，

226

?9?

22

?+?

故選：A.

【題型3配湊法求最值】

【例3】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若，則的最小值為（）

1

?>14?+??1

A．4B．6C．8D．無最小值

【解題思路】將式子配湊成，然后利用基本不等式求解即可.

1

4(??1)+??1+4

【解答過程】若，則，

111

?>14?+??1=4??1+??1+4≥24??1???1+4=8

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為8．

131

4??1=??1?=24?+??1

故選：C．

【變式3-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（）

11

?∈0,+∞?=?+2+2?+1

A．B．2C．D．

【解題思路2】變形應(yīng)用基本不等式求解即可.223

【解答過程】由，得，

又?∈0,+∞2?+1>1，

112?+112?+11

?=?+2+2?+1=2+2?+1≥22×2?+1=2

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

2?+112?1

故選：A.2=2?+1?=2

【變式3-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）

A．B．C?．=?3?2?D．

999

3428

【解題思路】根據(jù)基本不等式可得最值.

【解答過程】當(dāng)時，，

3112?+3?2?29

0<?<2?=?3?2?=2?2??3?2?≤2?2=8

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

3

2?=3?2??=4

當(dāng)或時，恒成立，

3

?≤0?≥2?≤0

綜上所述的最大值為，

9

?=?3?2?8

故選：D.

【變式3-3】（2025·河北石家莊·一模）已知，則的最小值為（）

116

?∈0,4??=?+4??

A．B．C．D．

49171925

3234

【解題思路】利用基本不等式來求得正確答案.

【解答過程】，

?∈0,4,??∈?4,0,4??∈0,4

1161116

??=+=+?+4??

?4??4?4??，

14??16?14??16?25

=417+?+4??≥417+2?×4??=4

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立

4??16?4

?=4??,?=5

故選：D.

【題型4常數(shù)代換法求最值】

【例4】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（）

14

?>0?>0?+?=1????

A．B．C．D．

?9?7?5?3

【解題思路】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得出答案.

14

【解答過程】因為，，且，?+?

所以?>0?>0?+?=1，

1414?4??4?

?+?=?+??+?=5+?+?≥5+2???=9

當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，時等號成立，

?4?12

?=??>0?>0?=3?=3

所以的最大值為．

14

?????9

故選：A.

【變式】（山東模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為（）

4-12025··22

(?+1)+?

?,??+2?=1??

A．B．17C．D．16

37

【解題思路2】代入，再由基本不等式即可8求+4解；5

?+2?=1

【解答過程】由題意知，

222222

(?+1)+?(?+?+2?)+?4?+8??+5?4?5?4?5?

??=??=??=?+?+8≥2???+8=8+45

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

4?5?545?5

?=??=2?=11

因此，的最小值為．

22

(?+1)+?

故選:C.??8+45

【變式4-2】（2024·江蘇宿遷·一模）若，則的最小值為（）

36

?>0,?>0,?+2?=3?+?

A．9B．18C．24D．27

【解題思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值．

【解答過程】由，得

3613616?6?

?>0,?>0,?+2?=3?+?=3(?+2?)(?+?)=3(15+?+?)

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

16?6?6?6?

≥3(15+2???)=9?=??=1,?=1

所以的最小值為9.

36

?+?

故選：A.

【變式4-3】（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（）

11

?≥0?≥0?+1+2?+4?=13?+4?

A．B．C．D．

【解題思路2】分析可知，3，，4將代數(shù)式8與相乘，展開后

11

?+1≥12?+4?>0?+1+2?+4??+1+2?+4?

可求出的最小值.

【解答過3程?】+因4?為，，則，，由題意可知，則，

?≥0?≥0?+1≥12?+4?≥02?+4?≠02?+4?>0

11

3?+4?=3?+4?+1?1=?+1+2?+4??+1+2?+4??1

，

?+12?+4??+12?+4?

=2+2?+4?+?+1?1≥2+22?+4?×?+1?1=3

?+12?+4?

當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，

2?+4?=?+1

11?=1

?+1+2?+4?=1?=0

所以?的≥最0小,?值≥是0.

故選：3?B+.4?3

【題型5消元法求最值】

【例5】（2025·陜西寶雞·二模）已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）

11

?,??+?=1?+2?

A．B．6C．D．

【解題思路2+】2利2用“1”的妙用和代入消元思想，借助4于2基本不等式即可求得3所+求2式2的最小值.

【解答過程】由可得，因，則，

1

?+?=1??=??1?>0,?>0?>1

于是1，

1?+?111

?+2?=?+2?=1+??+2?=1+??1+2?=3+??1+2(??1)

因，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

111

??1+2(??1)≥2??1?2(??1)=22??1=2(??1)

即，時，的最小值為.

21

故選?=：1D+.2?=2?1?+2?3+22

【變式5-1】（2024·山西·三模）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）

2

?+3???2=02?+?

A．B．C．D．

2101021

3333

【解題思路】根據(jù)題意分析可知，利用基本不等式運算求解.

5?2

2?+?=3+3?

【解答過程】因為正實數(shù)x，y滿足，則，

22?

?+3???2=0?=3??3

則，

2?5?25?2210

2?+?=2?+3??3=3+3?≥23?3?=3

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

5?210410

3=3??=5,?=15

所以的最小值為.

210

故選：2?A+.?3

【變式5-2】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（）

129

????=2?+?+2?+?

A．B．C．D．

【解題思路2】2利用基本不等式3可得最值.324

【解答過程】根據(jù)題意，，可得，

2

?

則??=2，?=

12919

2

?+?+2?+?=?+?+2?+?

設(shè)，則，原式為，

199

?+?=??≥2?+2?≥2?×2?=32

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

32

故選：C.?=2

【變式5-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足，則當(dāng)取得最大值時，

221

2????+2???=0???

的最大值為（）

15

?+??6?

A．4B．C．5D．

911

22

【解題思路】由題意得，從而利用基本不等式求得的最大值及成立的條件，從而

111

222?2?

?=2????+2????=??1+??+

化為，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

5156

2

??6??+??3?

【解答過程】依題意，由，得，

11

2222

所以2????+2???=，0?=2????+2?

??111

2?2?

22??

2????+2???1+?3

???==≤2×2????1=

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

??

?=??=?

則代入中，得，所以，

111

22222

2????+2???=02?????+2???=0?=3?

因此，

1515612613299

2

?+??6?=?+??3?=?2?+?=?2??2+2≤2

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)，，，時，取得最大值.

2322159

?=3?=4?=3?=3?+??6?2

故選：B.

【題型6齊次化求最值】

【例】（高一下重慶沙坪壩階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）

624-25··2

?+?

?,??+2?=1??

A．B．C．D．

11

222222+122+1

【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.

【解答過程】，因為，故，

2222

?+??+?(?+2?)?+??+2??2??2?

??=??=??=?+?+1?>0,?>0?>0,?>0

則，當(dāng)且僅當(dāng)，也即取得等號，

?2??2??2?2

?+?+1≥2?×?+1=22+1?=?,?+2?=1?=2?1,?=1?2

故的最小值為

2.

?+?

??22+1

故選：D.

【變式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值為（）

?+6?+6

?+?=2??

A．12B．C．D．

2562?3

【解題思路】借助“1”的活用3將+分2式2其次化后結(jié)合基2本不等式計算即可得.2

【解答過程】由，則

2

?+6?+62?+12?+12?+??+6?+??+3?+?

?+?=2??=2??=2??

，

22

4?+9?+13??2?9?132?9?1325

=2??=?+2?+2≥2??2?+2=2

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.

2?9?64

?=2??=5?=5

故選：C.

【變式】（高一上安徽蕪湖期末）已知，則的最小值為（）

6-224-25··2

32?+3?+1

2??1

A．B．?≥

C．7+63D．6+63

【解題思7路+】4先3變形已知6+，4再3利用基本不等式求最值

2.

2?+3?+16

??1=2??1+??1+7

【解答過程】，

22

2?+3?+12??1+7??1+66

??1=??1=2??1+??1+7

，，

31

∵?≥2∴??1≥2

，

66

∴2??1+??1+7≥7+22??1×??1=7+43

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

6

2??1=??1?=3+1

故的最小值為

2.

2?+3?+1

故選：??1C.7+43

【變式】（高三上山西期末）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（）

6-324-25··xy2

?+3?

?+2?=3??

A．B．4C．D．6

【解題思路2】2由+1條件可得，再利用4基2本+不1等式求其最小值即可

2.

?+3??2?

??=?+?+1

【解答過程】由題意知，

2222

?+3??+?+2???+??+2??2?

??=??=??=?+?+1≥22+1

當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立，

?2?323

?+2?=3?=??=2+2?=2+2

即的最小值為

2.

?+3?

??22+1

故選:A.

【題型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2025·天津紅橋·一模）已知，則的最小值為（）

1?

2

?>0,?>0?+4?+?

A．B．C．4D．2

【解題思路4】2利用基本不等式2即2得.

【解答過程】因為，

所以?>0,?>0，

1?