專題1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】...................................................................................................................................3

【題型2用不等式表示不等關(guān)系】...........................................................................................................................4

【題型3比較數(shù)（式）的大小】...............................................................................................................................6

【題型4利用不等式的性質(zhì)證明不等式】...............................................................................................................8

【題型5利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】.............................................................................................10

【題型6不等式的綜合問題】.................................................................................................................................11

【題型7糖水不等式】.............................................................................................................................................13

1、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

高考對不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用、比較大小；單

(1)等式性質(zhì)獨考查的題目雖然不多，但不等式的相

(2)比較兩個數(shù)的大小關(guān)知識往往可以滲透到高考的各個知識

2022年Ⅱ卷：第12題，5分

(3)理解不等式的性質(zhì)，并領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解

能簡單應(yīng)用析幾何、數(shù)列等知識相結(jié)合，在知識的

交匯處命題，是進(jìn)行不等式變形、證明

以及解不等式的依據(jù)，是高考考查的一

個重點內(nèi)容.

知識點等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1．等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：如果a＝b，那么b＝a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性質(zhì)3可加（減）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

ab

性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.

cc

2．不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bb<a.

傳遞性：如果，，那么即，

(2)a>bb>ca>c.a>bb>ca>c.?

可加性：如果，那么＋＋

(3)a>bac>bc.?

(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.

(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

3．不等式的兩類常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)性質(zhì)

①a>b，ab>0；

?

②a<b<0；

?

③a>b>0，0<c<d；

?

④0<a<x<b或a<x<b<0．

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)?

若a>b>0，m>0，則

①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

；

②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

.

4．比較大小的基本方法

方法

關(guān)系作差法作商法

與0比較與1比較

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

【方法技巧與總結(jié)】

1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，

有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函

數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運用方法求解.

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】

【例1】（2025·天津南開·一模）設(shè)，則“”是“”的（）

22

A．充分不必要條件?,?∈?B．?必+要?不>充0分條件??>0

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷條件間的推出關(guān)系，即可得.

【解答過程】若，如，但不成立，充分性不成立；

22

若，顯然?+同?號>且0不為?0，=?則1,?=1?成?立>，0必要性成立；

22

所以??“>0?”,?是“”的必要不?充+分?條>件0.

22

故選：?B+.?>0??>0

【變式1-1】（2024·河南駐馬店·二模）已知，則下列說法一定正確的是（）

A．?>B．?>?>0

2

C．?>?+?D．?<??

22

【解題思?路?】>利?用賦值法來舉反例比較大小，利用作??差+法??來>比?較+大?小?，利用不等式的性質(zhì)來比較大小.

【解答過程】當(dāng)時，，且，故，C項錯誤；

2

因為，?=3,?=2，,?所=以1?=，?故+B?項錯?誤?；<?A

2

?>?>0?>?>0?>??，故D項正確.

2

?故?選+：??D?.?+??=??????>0

【變式1-2】（2025·河北石家莊·一模）如果，那么“”是“”的（）

11

??>0?>??<?

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【解題思路】由不等式的性質(zhì)作差后分別證明充分性和必要性即可.

【解答過程】若，，則，

則??，>即0?>，?充分性?成?立?<；0

11???11

???=??<0?<?

若，，則，

1111???

所以??>0，?必<要?性成?立?，?=??<0

?<?

所以如果，那么“”是“”的充要條件.

11

??>0?>??<?

故選：C.

【變式1-3】（2025·山東·二模）若，則下列不等式成立的是（）

A．B．?<?<0C．D．

221111

?<??+?<?+??<??<?

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可結(jié)合選項逐一求解.

【解答過程】對于A,由于，,故A錯誤，

22

對于B，由于關(guān)系不確?定<，?故<0?>?不一定成立，故B錯誤，

?,??+?<?+?

對于C，由于，所以，C錯誤，

11

?<?<0?>?

對于D，由于，則，故，D正確，

11

?<?<0?>?>0?<?

故選；D.

【題型2用不等式表示不等關(guān)系】

【例2】（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車

載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）

A．?B．???

C．5?+4?<100D．5?+4?≥100

【解題思5路?】+根4?據(jù)>已1知00列出不等式，化簡即可得出答5?案+.4?≤100

【解答過程】由已知可得，，

所以有.30?+24?≥600

故選：B5.?+4?≥100

【變式2-1】（2024·江西撫州·模擬預(yù)測）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)

校計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于

綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（）個

A．20B．22C．24D．26

【解題思路】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個，根據(jù)題意列出不等式可分別求出范圍，即可求

出.?????,?,?,?

【解答過程】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個，且，，，為正整數(shù)，

則由題意得，，???，??，?可?得?，

?≥?+1?≥?+1?≥?+12?≥?+1?≥4

所以，，，即至少有個.

故選：?≥B.7?≥6?≥54+5+6+7=22

【變式2-2】（2025·山西·二模）從坐標(biāo)平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標(biāo)為正數(shù)的點比橫坐標(biāo)為

負(fù)數(shù)的點多，縱坐標(biāo)為正數(shù)的點比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（）

A．第一象限點比第二象限點多B．第二象限點比第三象限點多

C．第一象限點比第三象限點少D．第二象限點比第四象限點少

【解題思路】分別設(shè)出各象限內(nèi)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為正數(shù)、負(fù)數(shù)時點的個數(shù)，根據(jù)題意列不等式，結(jié)合不

等式性質(zhì)求解即可.

【解答過程】設(shè)第一象限的點即橫坐標(biāo)為正數(shù)且縱坐標(biāo)為正數(shù)的點有個，

第二象限的點即橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)且縱坐標(biāo)為正數(shù)的點有個，?

第三象限的點即橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)且縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點有?個，

第四象限的點即橫坐標(biāo)為正數(shù)且縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點有?個，

又因為橫坐標(biāo)為正數(shù)的點比橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點多，縱坐?標(biāo)為正數(shù)的點比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點少，

所以①，且②，

由不等?+式?性>質(zhì)?可+知?，①+②?可+得?>?+，?即第二象限點比第四象限點少.

故選：D.?>?

【變式2-3】（2024·浙江金華·一模）某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現(xiàn)有辯題A、B可供選

擇，每位學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于

男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（）

A．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

B．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

C．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)

D．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及簡單的邏輯推理，找出正確的選項即可.

【解答過程】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女

生有n人.

已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即

.?+?>?+??+?>

?將這+兩?個不等式相加得到：，兩邊同時消去得到，即.

2?+?+?>2?+?+??+?2?>2??>?

這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).

故選：A.

【題型3比較數(shù)（式）的大小】

【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（）

222

A．B．?>0?C．?2??+?=0?<D?．?

【解題思路?>】?根>據(jù)?題意，由原?>式?可>得?，然后?由>作?>差?法分別比較與?>，?與>?的大小關(guān)系，即可得到結(jié)

22

?+?

果.?=2?????

【解答過程】由，且可得，即，

22

2222?+?

?>0??2??+?=02??=?+??=2?

則，

2222222

?+??+??2????

???=2???=2?=2?

又，即，化簡可得，

22

22?+?323

?<???<2???2??????<0

即，其中，

2

2222?72

所以???2?，+即??+?<0，所以2?+?，?+?=2?+4+8?>0

22

所以???<00<，?所<以?，?<?

22

???

???=2?>0?>?

又，所以，

22222

?+??+??2?????

綜上??所?述=，2???=.2?=2?>0?>?

故選：A.?>?>?

【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（）

A．B．?>?C．D．

22?

1??<1???>?|?|>1??>??

【解題思路】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.

【解答過程】，即，故選項A正確；

當(dāng)∵?>時?，,∴滿?足?<??,，∴但??+1<??+，1此時1??<，1??，故選項B，C錯誤；

2222??11

?=?1,?=?2?>??=1,?=4?<?|?|=|?2|=2<1

當(dāng)時，由可得，故選項D錯誤.

故選?<:A0．?>???<??

【變式3-2】（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）設(shè)的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為.若

,則（）?,?,?????????>?>

?A．B．

?<??<?

C．D．

【解題思?路<】根?據(jù)作差法比較大小,首先將要比較的?+?<,用2?表示,后作差變形,運用這個條件,

判斷正負(fù)即可比較出大小.?,?,??,?,??>?>?

【解答過程】根據(jù)題意得,,,?+?,

?+?+??+??+?2+??+?+2?

?=3?=2?=2=2=4

對于A選項,

?+??+?+2??+??2?

???=2?4=4,∵?>?>?,∴???>0,???>0,∴?+??2?>0,∴???=

?+??2?

4>0,∴?>?.

對于B選項,

?+?+??+?+2??+??2?

???=3?4=12,

?+??2?

∵?>?>?,∴???>0,???>0,∴?+??2?>0,∴???=>0,∴?>?.

對于C選項,12

?+?+??+?????+2?

???=3?2=6,∵?>?>?,∴???<0,???<0,∴2?????<0,∴??

????+2?

?=6<0,∴?<?.

對于D選項,

故選：B.∵?>?,?>?,∴?+?>2?.

【變式3-3】（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測）黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀

少的資源，長久以來也是一種投資工具.小李計劃投資黃金，根據(jù)自身實際情況，他決定分兩次進(jìn)行購買，

并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購入一定數(shù)量的黃金：方案二是每次購入一定金額的黃金.已知

黃金價格并不穩(wěn)定，所以他預(yù)設(shè)兩次購入的單價不同.現(xiàn)假設(shè)他兩次購入的單價分別為，且，則

下列說法正確的是（）?1,?2?1≠?2

A．當(dāng)且僅當(dāng)時，方案一的平均購買成本比方案二更低

B．當(dāng)且僅當(dāng)?1>?2時，方案二的平均購買成本比方案一更低

C．無論?的1>大?小2關(guān)系如何，方案一的平均購買成本比方案二更低

D．無論?1,?2的大小關(guān)系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低

【解題思路】根?1據(jù),?2題意，分別計算出方案一與方案二的平均購買成本，然后作差比較大小，即可判斷.

【解答過程】方案一：設(shè)每次購入的黃金數(shù)量為，則平均購買成本；

??1+??2?1+?2

方案二：設(shè)每次購入的黃金金額為，則平均購?買成本為?=2?=2

，?

2?2?2?1?2

??

??1+?2

?+??1+?2

?=12=?1?2=

所以，

22

?1+?22?1?2?1+?2?4?1?2?1??2

???=2??1+?2=2?1+?2=2?1+?2

且，則，即，

2

?1??2

?1≠?2???=2?1+?2>0?>?

無論的大小關(guān)系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低.

故選：?1,D?.2

【題型4利用不等式的性質(zhì)證明不等式】

【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a，b，c為三角形的三邊．

(1)求證：；

2222

?+?+??+?+?+??>2?

(2)若，求證：．

33

3333

?≥?≥??+?+?+?<?+?+?

【解題思路】（1）由，，

22

22?32?22?32?

結(jié)合三角形兩邊之和大?于+第?三邊+?的?性=質(zhì)可?得+答2案+.4?>?+2?+?+??=?+2+4?>?+2

（2）利用作差法求證，則，同理，結(jié)合不等式的

333

?33?33?33

性質(zhì)可得答案.2+???+?>02+?>?+?2+?>?+?

【解答過程】（1）因為a，b，c為三角形的三邊，所以a，b，，且，（關(guān)鍵：根據(jù)三

角形的三邊關(guān)系得到a，b，c滿足的條件）?∈0,+∞?+?>?

所以，

2

22?32?

?+?+??=?+2+4?>?+2

，

2

22?32?

?+?+??=?+2+4?>?+2

所以．

2222??

?+?+??+?+?+??>?+2+?+2=?+?+?>2?

（2）因為，

所以?≥?≥?，

3

?33733232733333113

2+???+?=?8?+4??+2??≥?8?+4?+2?=8?>0

所以，

3

?33

2+?>?+?

同理可得，

3

?33

2+?>?+?

所以．

33

3333??

?+?+?+?<2+?+2+?=?+?+?

【變式4-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)，，，證明：．

???

?>0?>0?>01<?+?+?+?+?+?<2

【解題思路】由，，和，，

??????

?+?+?>?+??+?+?>?+??+?+?>?+??+?>?+?+??+?>?+?+??+?>?+?+?

證明即可.

【解答過程】由題意知，，，

則有?，>0?>0?>，0，①

?+?+，?>?+?，?+?+?>?，+??+?+?>?+?

??????

?+?>?+?+??+?>?+?+??+?>?+?+?

所以．

??????

?+?+?+?+?+?>?+?+?+?+?+?+?+?+?=1

又根據(jù)①的結(jié)論可知，，，

??+???+???+?

?+?<?+?+??+?<?+?+??+?<?+?+?

所以．

????+??+??+?

?+?+?+?+?+?<?+?+?+?+?+?+?+?+?=2

綜上所述，.

???

1<?+?+?+?+?+?<2

【變式4-2】（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）已知，．

(1)求證：；?>?>1?<?<?2

(2)求證：??1??1?+．2?+2>0

【解題思路?】?+（?1?）>利?用?不+等??式的性質(zhì)證明即可；

（2）應(yīng)用作差法比較大小，即可證.

【解答過程】（1）由，則，故，

由，則?>?>1??，1故>0,??1>0(?，?1)(??1)>0

所以?<?<?2?+2<0,?+2<0，得證(?.+2)(?+2)>0

（2）由??1??1?+2?+2>0，而，

所以??+????????=?(???)+?(??，?即)=(???)(???)，?得?證?.>0,???>0

??+????????=(???)(???)>0??+??>??+??

【變式4-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）已知，求證：；

??

?>?>?>0???>???

（2）已知，，，求證：．

【解題思路?】>（?1）?（>2?）利?>用不0等式的性?質(zhì)?推??理<即?得?.??

【解答過程】（1）由，得，則，

又，則?，>即???<??，???<???

不等?>式?兩邊同?乘??>0，0得<???<??，?

111

?????????>???>0

而，所以．

??

?>?>0???>???

（2）由，，得，即，

又?，>所?以?>0??>?．????<???

?<?????<????

【題型5利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】

【例5】（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（）

ππ

4<?<?<22??2?

A．B．

πππ

?2,2?2,0

C．D．

【解題思路?】π,應(yīng)π用不等式的性質(zhì)，線性運算即可求出?π,0的取值范圍.

【解答過程】因為，所以2??2?，

ππππππ

4<?<2,4<?<22<2?<π,?π<?2?<?2

則，又，所以，

ππ

?2<2??2?<2?<?2??2?<0

從而．

π

?2<2??2?<0

故選：B．

【變式5-1】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知，，則的取值范圍（）

A．B．C2．<?≤4?1<?≤D0．2???

【解題思路4,】9由不等式的同向4可,9加性得到結(jié)果.5,85,8

【解答過程】因為，得，，

所以2<．?≤4?1<?≤04<2?≤80≤??<1

故選：4B<．2???<9

【變式】（江蘇南通模擬預(yù)測）設(shè)為實數(shù)，滿足，則的最大值為（）

5-22024··23

??

24

?,?3≤??≤8,4≤?≤9?

A．27B．24C．12D．32

【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)計算即可求解.

【解答過程】由，得，

111

22

3≤??≤88≤??≤3

又，所以，

24

??

2

4≤?≤916≤?≤81

所以，即，

43

11?1?

224

8×16≤??×?≤3×812≤?≤27

所以的最大值為

327.

?

4

?

故選：A.

【變式5-3】（2025·浙江·模擬預(yù)測）若負(fù)實數(shù)滿足：對于任意，總存在，使得，

則的范圍是（）??∈?4,??,?∈?4,???+?=1

?

A．B．C．D．

5511

?4,?4?4,?3?5,?3?5,?4

【解題思路】由條件得到，求得的范圍，由的取值范圍是的子集，構(gòu)造不等式求解即可.

1??1??1??

【解答過程】由題可知：對?=于任?意?，總存在?，?

使得，?∈?4,??,?∈?4,?

1??

?=?

所以的取值范圍是的子集即可，

1??

??

，

?4≤?≤??5≤1??11≤1??1

?

注?意4到≤?≤??≤?≤?，4

0<1??≤1??≤5

11??1，

?1??≤?41??≤451??1

115??≤?1??≤4

?1??≥?1??≥?

?4≤?

因為，所以5??1?4≤?

?4

≤?4≤5?≤551

5

443

?<0???≤???≤?≤?

≤?41

??1

?≤?3

故選：B.?≤4

【題型6不等式的綜合問題】

【例6】（24-25高一上·云南·期中）回答下列問題

已知都是正實數(shù)，比較與的大??；

(1)22

??

(2)已知?,?，?+??+，?求的取值范圍.

【解題思1路<】?（+）?<將3?2與<???相<減2并化簡2，?+分3類?討論判斷差的符號即可比較大??；

122

??

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)?+求解?即?可+.?

【解答過程】（）

122332222

???+???????????+????

?+???+?=??=??

，

222

??????????+?

因=為??都是正=實數(shù)，??所以，，，

2

所以?,?，當(dāng)且僅??當(dāng)>0?時+等?號>成0立???≥0

22.

??

（2）設(shè)?+?≥?+??=?，

則2?+3，?=??+?+????

?+?=2

???=3

解得，，

51

?=2?=?2

所以，

51

因為2?+3?=2?，+??2???，

所以1<?+?<3?，2<???<2，

55151

2<2?+?<2?1<?2???<1

所以，

35117

2<2?+??2???<2

即，

317

2<2?+3?<2

所以的取值范圍為.

317

2?+3?2,2

【變式6-1】（24-25高一上·上海寶山·階段練習(xí)）（1）已知，比較與的大??；

2

?∈?2?+3??17??3

（2）已知，，若，求證：和中至少有一個大于.

??1

?>0?>0?+?>4?+2?+22

【解題思路】（1）運用作差比較法，結(jié)合配方法進(jìn)行比較大小即可；

（2）用反證法，假設(shè)，，推出矛盾，即得證.

?1?1

?+2≤2?+2≤2?+?≤4

【解答過程】（1），

222

∵2?.+3??1?7??3=2??4?+2=2??1≥0

2

（∴22）?假+設(shè)3??1≥，7??3，

?1?1

?+2≤，2?+2≤2，，

∵?>0,?>0∴?+2>，0?+2>0

∴兩2式?相≤加?得+2，,2?≤?+2，這與矛盾，所以假設(shè)錯誤.

?+?≤4?+?>4

所以和中至少有一個大于.

??1

?+2?+22

【變式6-2】（24-25高一上·四川南充·階段練習(xí)）（1）已知，求的取值

范圍；?1≤?+?≤4,2≤???<3?+2?

（2）若，求證：.

ee

22

?>?>0,?<?<0,e<0(???)>(???)

【解題思路】（1）根據(jù)不等式的同向可加性結(jié)合待定系數(shù)法即可求的取值范圍；

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合逐步判斷即可得結(jié)論.?+2?

【解答過程】（1）設(shè)，

?+2?=??+?+????=?+??+????

所以，解得3，

?=2

?+?=11

???=2?=?2

，

3331

∵?2≤2?+?≤6,?2<?2???≤?1

即

3331

∴?2+?2<2?+?+2???≤6+?1?3<?+2?≤5,

的取值范圍是.

（∴2?）+證2明?：?3,5

∵??>??>0,?>?>0,

∴???>???>0,，

22

∴(???)>(???)>0

11

∴2<2,

(???，)(???)

∵e<0.

ee

22

∴(???)>(???)

【變式6-3】（24-25高一上·上海黃浦·期中）設(shè)，，，是四個正數(shù)．

????

(1)已知，比較與的值的大??；

2?+??

?>??+2??

(2)若，求證：，，，中至少有一個小于1．

【解題思?+路1】（?+1）1利?用+作1差?比+較1即<可1判6斷；????

（2）利用反證法即可證明．

【解答過程】（1）因為，

則?>?>0，

22

2?+??2??+????2???+????

?+2???=?+2??=??+2?<0

所以；

2?+??

?+2?<?

（2）假設(shè)，，，都不小于1，即，，，，

則?，???，，?≥1?≥，1?≥1